最新-8-4多元复合函数的求导法则63067-PPT文档资料_图文

第四节 多元复合函数的求导法则

高等数学(下)

河海大学理学院

求导法则(链式法则) 如图示 u

z

x
y

?z ? ?z ? ? ?x ? u ? ?z ?z ? ? ? ?y ?u ?

v

u ?z ? v ? ? , x ?v ? x u ?z ? v ? ? . y ?v ? y

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一、链式法则
定理 1 如果 z ? f ( u, v )点( u, v ) 可微, 而u ? ? ( x, y)
及 v ? ? ( x , y )都在点( x , y )具有偏导数,则复合函数

z ? f [? ( x , y ),? ( x , y )]在点( x , y )的两个偏导数为: ?z ?z ?u ?z ? v ?z ?z ?u ?z ?v ? ? , . ? ? ?y ?u ?y ?v ?y ?x ?u ?x ?v ?x

?f ?u
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?f ?v



? z ? z ? ? u ? ? v ? o ? ?z ? ? ? u ? v ?? ? z? z? u? z? vo ? ? ? ? ?? ? ? ? x? u ? x? v ? x ?? x
由 u、v 在x 处可导,知: 当? x? 0 ,
2 2

由于函数 z ? f ( u, v ) 在点( u, v ) 可微,则

u? ?? v? ?? ?u ?u ?v ?v ? ? ? ? ? ?? ? , ? , ? , x x? ?? x? ?? ?x ?x ?x ?x ?
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? z ? z ? z ? u ? z ? v 所以 ? lim ? ? ?? . x ? 0 ? x? ? x? u? x? v? x
注 ①该定理可推广到任意的中间变量和任意的 自变量的情况.求导时,要兼顾到每一个中间变量. 如

dz ? z du ? z dv ? z dw ? ? ? dt? u dt? v dt? w dt

?全导数公式 ?

再如
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?z dz ?u ? ?x du ?x

u ? xy v ? x ? y z? e sin v 例 1设 , 而 , ,
u

? z ? z 求 和. ? x ? y ? z ? z ? v ? z ? u 解 ? ? ? ? ?v ? x ?x ? u ? x
u u
u

? e ( y sin v ? cos v ) ? e sin v ? y ? e cos v ? 1 ?z ?z ? v ?z ? u ? ? ? ? ?y ?v ? y ?u ? y u u u ? e ( x sin v ? cos v ) ? e sin v ? x ? e cos v ? 1
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v ? cos t z ? uv ? sin t, u ? e, 例 2设 而 ,
t

dz ? z du ? zdv ? z 解 ? ? ? ? ? dt? u dt? vdt? t

dz 求 全 导 数. dt

? ve ? u sin t ? cos t t t ? e cos t ? e sin t ? cos t
t

? e (cos t ? sin t ) ? cos t .
t
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? f ( u , x , y ) 其中 u ? ? ( x ,y ) 注②特殊地 z


z ? f [ ? ( x , y ), x , y ],

? z ? f ? u ? f ? ? ? , ? x ? u? x ? x
两者的区别

区 ? z ? f ? u ? f 别 ? ? ? .类 ? y ? u? y ? y 似
把 z ? f (u, x , y )

z?f[ ? (x ,y ), x ,y ]中 的 u 及 y 看 作 不 把 复 合 函 数 x y 中 的 看 作 不 变 而 对 的 偏 导 数变而对 x 的偏导数

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? f ( u , x , y )中,若 u、x、y 都是 ③在z ?z ?f 独立的自变量,则   ? , ?x ?x
例如:设

u ? f( x ,y ,z ) ? e ? u ? u 2 和 z ?x sin y,求
?x
?y

2 2 2 x ? y? z ,而

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半抽象函数情形 w ?f( x ? y ? z ,xyz ) f具 例 3 设 , 有 二 阶

? w ?w 连 续 偏 导 数 , 求 和 . x ? z ? x ? ? x ? y ? z ,v 解 令u ? xyz ; 2 ? f (u ,v ) ? f (u ,v) ? ?? , ?? , f12 记 f1 ? u ? v ? u
2

同理有

?? , f22 ?? . f 2?, f11

f ? u ? f ? v ?w ? ? ? f ? yz f ; ? ? ? ? ? 1 2 u? x ? v? x ?x ? ??等仍是通过中间变量u,v是自变量的函数 f 1?, f 2?, f12
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? ? ? w ? ? f ? f 1 2 ?? yz ?) ? ? ? yz ; f2 ? ( f1 y f 2? ? z ? z ? x ? z ?z
2

?w ? ?x

? ? f f2 ; 1 ?yz

? f 2? ? ? ? ? ? f ? xy f ; 21 22 ?z 2 ? w f ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? yf2 yz ( f ? xy f ) xy f 于是 ? 11 21 22 12 ?x?z 2
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? f 1? ? ? ? ? ? f ? xy f ; 11 12 ?z

? ? ? ? ? ? ? ? f ? y ( x ? z ) f ? xy z f ? y f . 11 12 22 2



x z ? f ( x, ) 设 y , f 具有二阶连续偏导数, ?2 z ?2z 求 ?x 2 和 ?x?y .

答案

2 1 ? z ? ? ? f12 ? ? ? 2 f22 ? ? ? f11 2 ?x y y
2

x x 1 ? z ? ? ? 3 f22 ? ? ? 2 f2 ? ? ? 2f 12 ?x?y y y y
2
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2 z ? f ( x ? y ) , f 具有二阶连续导数, 例 设 ?2 z ? 2z 求 ?x 2 和 ?y 2 .

答案

f ??
2f ? ?4y f ??
2

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代换 例4 设 u = f(x,y)有连续的二阶偏导数, 令 解

?x ? ? ?? ? ? y ? ? ??

?u ?u ?u ,证明: 2 ? 2 ? . ?x ?y ?? ??
2 2 2

u ? f ( x , y ) ? f ( ? , ? ) ? F ( , ) ?x ? ? ?? ? F ( ? , ? ) 把u 看成 u ?f(x ,y )与 ? ? y ? ? ??
复合而成,则

? ? ? ?? ?

? u ? u ? u ? ?1? ?1 ? ? ? x ? y

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?u ? ? u ? ? u ?u ?u ? ? ( )? ( )? 2 ? 2 . ? ? ? ? ? ?? x ? ?? y ?x ?y
2

2

2

自己做:

谓之自变量代换.

设 u = u(x,y)有连续的二阶偏导数,试利用

? ? x? y ? 2 2 2 ? ? u ? u ? u 1 ,将方程 变换 ? ? 4 ? 3 ? 0 2 2 ? ? x? y ? x ? x ? y ? y ? 3 ?
化为以

?、?

为自变量的方程.

? u ?0 ????
2

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二、全微分形式不变性
z? f(u ,v )具 定 理 2设 函 数 有 连 续 偏 导 数 , 则 不 论u 是 自 变 量 还 是 中 间 、 v 变 量 , 都 有 全 微 分

? z ? z dz ? du ? dv ; . ? u ? v

全微分形式不变形的实质:

、 v 无论 z 是自变量 u 的函数或中间变量

u 、 v 的函数,它的全微分形式是一样的.
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v ? ( x , y ) u ? ( x , y ) 证 当 是 中 间 变 量 时 , 即 及 u 、 v

? z ? z dz ? dx ? dy ? x ? y z? u ? z? v ?? ? z? u ? z? v ?? ? ? dy ? dx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? u? y ? v? y ? u? x ? v? x ?? ? ? ?

?

?

z?? v ? v ? ? z?? u ? u ? ? ? dy ? ? ? dx ? dy ?? ? dx v?? x ? y ? ? u x ? y ? ? ?? ?z ?z ? du ? dv . ?u ?v
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例5 设 z =f (u2 + v2 ),f 具有连续导数,
u = eysinx,v = excosy,求 dz. 解

? ? dz ? f ? 2 udu ? f ? 2 vdv y y du ? esin xdy ? ecos xd
x x

dv ? ecos ydx ? esin ydy

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例 6 已知 e


? xy

?z ?z ? 2 z ? e ? 0,利用全微分求 和 . ?x ?y
z

? d ( e? 2 z ? e ) ? 0 ,
z

? xy

? e d ( ? xy ) ? 2 dz ? e dz ? 0 ,
z

? xy

( e ? 2 ) dz ? e( xdy ? ydx )
z

? xy

ye xe dz ? z dx ? z dy ( e? 2 ) ( e? 2 ) ? xy ? xy ? z ?z ye xe ? z , ? z . ?y e ?2 ?x e ?2
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? xy

? xy

三、小结
1、链式法则(分三种情况)
(特别要注意课中所讲的特殊情况)

2、全微分形式不变性
(理解其实质)

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思考题
u ? ?( x) , v ??( x), 设z ? f (u, v, x), 而

dz ?f du ?f dv ?f 则 ? ? ? , dx ?udx ?v dx ?x dz ?f 试 问 与 是 否 相 同 ? 为 什 么 ? dx ?x

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思考题解答
. z x的 等 式 左 端 的 是 作 为 一 个 自 变 量 函 数 ,

u , v , x 而 等 式 右 端 最 后 一 项 是 作 为 的 三 元 函 数 , f
dz ? f du ? f dv ? f ? ( . x? ( u , v , x )? x? ( u , v , x )? x u , v , x ) dx ? u dx ? v dx ? x

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习题: 设 z ? f ( x, y )在(1,1) 可微, 且 f (1,1) ? 1 , f x (1,1) ? 2, f y (1,1) ? 3,? ( x) ? f ( x, f ( x, x)).求
d 3 ? ( x ) x ?1 . dx

答案

d3 2 ? ( x ) ? 3 ? ( x ) f ? f ( f ? f ) x y x y dx
d 3 ? (x) x?1 ?51 dx

?

?

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2019年全国硕士研究生入学统考题

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