【优选】高三数学上学期期末质量检测模拟试题理

泉港一中 2018-2019 学年上学期期末质量检测模拟试卷 高三年级理科数学试题
(考试时间:150 分钟 总分:150 分)

第 I 卷(选择题,60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合,则=( ) A. {0,4} B. C. [0,4] D. (0,4) 2.已知等差数列的首项和公差均不为零,且,,成等比数列,则 ( ) A. B. C. D. 3.△ABC 中,点 D 在 AB 上,满足.若,则( ) A. B. C. D. 4.已知函数,图象相邻两条对称轴的距离为,将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象 关于轴对称,则函数的图象( )
∷∷∷∵∵∵
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称
5.已知函数,若函数 y ? f ?x?? 2t 有两个不同的零点,则 t 的取值范围( )

A.

?? ?

?

1 2

,1 2

? ??

B. ?? ?1,1 ?? ? 2 2?

C.

D.

6.已知定义在 R 上的函数满足以下三个条件:①对于任意的,都有;②对于任意的③函数的

图象关于 y 轴对称,则下列结论中正确的是( ) ∷∷∷∵∵∵

A.

B.

C. D.

7.已知空间四边形 ABCD,∠BAC=,AB=AC=2,BD=CD=6,且平面 ABC⊥平面 BCD,则空间

四边形 ABCD 的外接球的表面积为( 8.函数的图像大致是 ( )

)A. 60π

B. 36π

C. 24π

D. 12π ∷∷∷∵∵∵

-1-

A.

B.

C.

D.

9.平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,平面 α ∥平面 A1BD,平面 α ∩平面 ABCD=l,

则直线 l 与直线 A1C1 所成的角为(

) ∷∷∷∵∵∵

A.30° B.45° C.60° D.90°

10.某几何体的三视图如图所示,其侧视图为等边三角形,则该几何体的体

积为( )

A. B. C. D.

11.在中,角所对的边分别为,若,则当取最小值时, =( )

A. B. C. D.

12.已知函数 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,若 g ? x? ? f ? x ?1? ? 2 , g?? x? 为 g ? x? 的导函数,

对 ?x?R ,总有 g?? x? ? 2x ,则 g ? x? ? x2 ? 1 的解集为( )

A. ???,0?

B. ???, ?1?

C. ??1, ??? D. ?0, ???

第 II 卷(非选择题,90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设变量满足约束条件:,则的最大值是___________
14.直线 2ax ? by ? 3 与圆 x2 ? y2 ? 1相交于 A、B(其中 a、b 为实数),且 ?AOB ? ? 3
( O 是坐标原点),则点 P(a,b) 与点 (1, 0) 之间距离的最大值为________. 15.如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,BC ? AC ,AC1 ⊥ A1B ,M ,
-2-

N 分别是 A1B1 , AB 的中点,给出下列结论:① C1M ⊥平面 A1ABB1 ;② A1B ⊥ NB1 ;③

平面 AMC1 / / 平面 CNB1 ;其中正确结论的序号是

. ∷∷∷∵∵ ∵

16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上,底面是正三角形且和球心在同一平面内,若此

三棱锥的最大体积为,则球的表面积等于__________. ∷∷∷∵∵∵
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. ∷∷∷∵∵∵
(一)必考题:共 60 分.

17.(本小题满分 12 分)已知数列为公差不为的等差数列,满足,且成等比数列.

(Ⅰ) 求的通项公式;

(Ⅱ) 若数列满足,且求数列的前项和.

18.(本小题满分 12 分)已知向量,函数. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)在中,角对边分别是,且满足,求的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y2 - 6x +5 = 0 相交于不同的两点
A,B.
(Ⅰ)求圆 C1 的圆心坐标;
(Ⅱ)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k(x - 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在,求出 k 的
取值范围;若不存在,说明理由.
-3-

20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥中,底面是边长为 2 的菱形,,,平面平面,点为棱的 中点. (Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由; (Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.
21.(本小题满分 12 分)已知函数为常数. (Ⅰ)若是函数的一个极值点,求此时函数的单调区间; (Ⅱ)若对任意的,,不等式恒成立,求实数 m 的取值范围.
-4-

(二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:?????xy= =aa+ siancoφs

φ, (φ

为参数,实数 a>0),曲线 C2:

??x=bcos φ ,
?
??y=b+bsin φ



为参数,实数 b>0).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,

射线 l:θ =α ???ρ ≥0,0≤α ≤π2 ???与 C1 交于 O,A 两点,与 C2 交于 O,B 两点.当 α =0 时,

|OA|=2;当

α

=π2

时,|OB|=4. ∷∷∷∵∵∵

(Ⅰ)求 a,b 的值;

(Ⅱ)求 2|OA|2+|OA|·|OB|的最大值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数

f(x)=2|x+a

|+???x-1a???

(a≠0

). ∷∷∷∵

∵∵

(Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)<4;

(Ⅱ)求函数 g(x)=f(x)+f(-x)的最小值.

-5-

泉港一中 2018-2019 学年上学期期末质量检测模拟试卷

高三年级理科数学试题参考答案

1~5:CDBDA 6~10:BACDA

11~12:CD

13. 14. 2 15.①②③ 16.

17.(Ⅰ) 设等差数列的公差为,依题意得

又,解得,所以.

(Ⅱ)依题意得,即 (且)

所以 ,

.

对上式也成立,所以,即,

所以.

18.(1)

(2)由,得
, 从而得 故
-6-

19.解:(1)由 x2 ? y2 ? 6x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3?2 ? y2 ? 4 ,

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ?3,0? ;

(2)设 M ? x, y ? ,则∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB ,



kC1M

? kAB

?

?1 即

x

y? ?3

y x

?

?1 ,



线段

AB

的中点

M

的轨迹的方程为

? ??

x

?

3 2

?2 ??

?

y2

?

9 4

? ??

5 3

?

x

?

3???



(3)由(2)知点

M

的轨迹是以

C

? ??

3 2

,

0

? ??

为圆心

r

?

3 2

为半径的部分圆弧

EF

(如下图所示,

不包括两端点),且

E

? ???

5 3

,

2 3

5

? ???



F

? ???

5 3

,

?

2

3

5

? ???

,又直线

L



L y

? ? ? ? y ? k x ? 4 过定点 D 4, 0 ,∷∷∷∵∵∵

E

当直线 L 与圆 C 相切时,由

k

? ??

3 2

?

4

? ??

?

0

k 2 ?12

?

3 得k 2

??3, 4

又 kDE

?

?kDF

?

?

0

?

? ?
?

?

2

5 3

4?5

? ?
?

?

25 7

,结合上图可知当

3

O

C

F

k

?

??? ?

3 4

,

3 4

? ? ?

? ?? ?

2

5 7

,

2

5 7

?
? ?

时,直线

L



y

?

k

?

x

?

4?

与曲线

C

只有一个交点

D x

20.(Ⅰ)在棱上存在点,使得平面,点为棱的中点.

理由如下:取的中点,连结、, 由题意,且, 且, 故且. 所以,四边形为平行四边形.
-7-

所以,,又平面,平面, 所以,平面. (Ⅱ)由题意知为正三角形,所以,亦即, 又,所以,且平面平面,平面平面, 所以平面,故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系, 设,则由题意知,,,, ,, 设平面的法向量为, 则由得,令,则,, 所以取,显然可取平面的法向量, 由题意:,所以. 由于平面,所以在平面内的射影为, 所以为直线与平面所成的角, 易知在中,,从而, 所以直线与平面所成的角为. 21.∵, ∴. (1)∵是函数的一个极值点, ∴, ∴, ∴, 令,解得或; 令解得, ∴函数的单调递增区间是,,单调递减区间是. (2)∵, ∴,当且仅当时等号成立. ∴当时,在上恒成立, ∴在上单调递增, ∴. 故问题等价于:对于任意的,不等式恒成立,即恒成立.
-8-

设,,则, 令,则, ∴在上递减, ∴, 故, ∴在上单调递减, ∴, ∴, ∴实数的取值范围为.

22.【解析】(Ⅰ)由曲线 C1:?????xy= =aa+ siancoφs

φ, (φ

为参数,实数 a>0), ∷∷∷∵∵ ∵

化为普通方程为(x-a)2+y2=a2,展开为:x2+y2-2ax=0, 其极坐标方程为 ρ 2=2aρ cos θ ,即 ρ =2acos θ ,由题意可得当 θ =0 时,|OA|=ρ

=2,∴a=1.2 分 ∷∷∷∵∵∵

曲线 C2:?????xy= =bbc+obssφin,φ (φ

为参数,实数 b>0), ∷∷∷∵∵∵

化为普通方程为 x2+(y-b)2=b2,展开可得极坐标方程为 ρ =2bsin θ ,

由题意可得当 θ =π2 时,|OB|=ρ =4,∴b=2.5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ =2cos θ ,ρ =4sin θ .

∴2|OA|2+|OA|·|OB|=8cos2θ +8sin θ cos θ =4sin 2θ +4cos 2θ +4 ∷∷∷∵∵∵

=4 2sin???2θ ??? +π4 +4,8 分∷∷∷∵∵∵

∵2θ +π4 ∈???π4 ,54π ???,∴4

2sin???2θ +π4 ???+4 的最大值为 4

2+4, ∷∷∷∵∵∵

当 2θ

+π4 =π2 ,θ

=π8

时取到最大值.10

分 ∷∷∷∵∵∵

23.【解析】(Ⅰ)∵ a=1,∴原不等式为 2|x+1|+|x-1|<4,

∴???x<-1,

或???-1≤x≤1, 或???x>1,

3分

??-2x-2-x+1<4 ??2x+2-x+1<4 ??2x+2+x-1<4, ∷∷∷∵∵∵

5 ∴-3<x<-1 或-1≤x<1 或 ,

-9-

∴原不等式的解集为???x???-53<x<1???.5

分 ∷∷∷∵ ∵∵

(Ⅱ)由题意得 g(x)=f(x)+f(-x)

=2(|x+a|+|x-a|)+??????x+1a???+???x-1a??????∷∷∷∵∵∵

| | ≥2|2a|+|2a|=4 a

+|2a|≥4

2,8 分 ∷∷∷∵ ∵∵

当且仅当

2|a|=|a1|,即

a=±

2 2 ,且-

2 2 ≤x≤

2 2 时,g(x)取最小值

4

2.10 分 ∷∷∷∵∵∵

- 10 -


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