3.1.1方程的根与函数的零点(lij)


问题探究

方程 3x+3=0的根与函数 y=3x+3的图象有什么关系?

问题探究
3 2.5

2

f ( x) ? 3 x ? 3

1.5

3x ? 3 ? 0

1

0.5

-2
-2 -1

-1

1
1

2
2

3

问题探究

我们如何对方程f(x)=0的 根与函数y=f(x)的图象的关系 作进一步阐述?

方程 的根 和 函数的零点

思考讨论 我们知道,令一个一元二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0,则得到 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x

-1

O1

3

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y

-1

O1

3

o
x=1

x

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

2. 解方程: x2-2x-3=0

x2-2x+1=0

x2-2x+3=0

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x -1 O1 3 y y 2

o
x=1

x

x

0 1

3

2. 解方程: x2-2x-3=0 x1=-1; x2=3

x2-2x+1=0

x2-2x+3=0

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

2. 解方程: x2-2x-3=0 x1=-1; x2=3

x2-2x+1=0 x1=x2=0

x2-2x+3=0

引入
1. 画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像
y x y y

2

-1

O1

3

o
x=1

x
0 1

x 3

2. 解方程: x2-2x-3=0 x1=-1; x2=3

x2-2x+1=0 x1=x2=0

x2-2x+3=0 无实根

归纳:

以a>0为例

x2-2 x-3=0 x2-2 x+1=0 方 Δ> 0 Δ= 0 判别式程 Δ x1=x2=1 x1=-1,x2=3 有两个相等的 方程的根 方程 ax2 +bx+c=0 两个不相等的 (a>0) 的根 数 实数根 、 =+1 x2 y=x2x -2 -3x2 实数根 y=x2x -2 函 1x 1x y y 函数y=ax2 +bx+c

x2-2 x+3=0 Δ< 0 无实数根 没有实数根 y=x2-2x+3 y 4 2

(a>0)的图象

问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗?请举例 ! O 2
x x2 x 123 -1 1 -2 -4 -1 x 112 3 x 一个交点 (1,0) ( x1,0)
O

2

4

-1 1 2 3 x
没有交点

O

函数的图象与x 轴的交点

两个交点 ( x1,0),( x2,0) (-1,0) (3,0)

结论:一元二次方程的实数根就是 相应二次函数图象与x轴交点的横坐标.

函数零点的定义: 对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point)。
零点是点吗?

注意:

零点指的是一个实数。

互动交流
问题4:函数的零点与方程的根有什么联系?
联系: ①数值上相等:求函数零点就是求方程的根. ②存在性相同:函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

数 学 建 构
函数y=f (x) 有零点. 方程f (x)=0 有实数根 辨析练习:判断下列说法的正误: 函数y=f (x)的图 象与x轴有交点

1.函数y=x+1有零点x=-1;
2.函数y=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0) ; 3.函数y=x2-2x-3的零点是-1和3; 4..函数

y
y?

1 x

1 y? x

没有零点.

O

x

探究

3、零点的求法
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根

以a>0为例
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象 函数的零点个数

判别式△ = b2-4ac
h ?x? = x2- 2?x-3

-15

-10

△>0

两个不相等 的实数根x1 、x2
-5

x1
-2

x2

两个

-4

△=0
-10

有两个相等的 实数根x1 = x2
-5

2
-6

一个
-8

-10

x1
没有

4-2

△<0

没有实根
2
-4

-10

-5

代数法

1
-2
-6

图像法

学以致用
求下列函数的零点
2 ? - 5x ? 6 ( ) f x x ( 1)

2和 3 0

(2) f (x) ? 2x -1

求函数零点的步骤: (1)令f(x)=0;

(2)解方程f(x)=0;
(3)写出零点

零点存在性的探究:
y

问题5:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点?
a O b c d x

观察函数的图象并填空: ①在区间(a,b)上f(a)· f(b)_____0(“ <”或 < 有 “>”). 在区间(a,b)上______(有/无 < )零点; ② 在区间(b,c)上f(b有 )· f(c) _____ 0(“<”或 “>”). < 有 有/无)零点; 在区间(b,c)上______( ③ 在区间(c,d)上f(c)· f(d) _____ 0(“<”或”

观察下面函数图象思考:

虽然函数f(x) 满足了f(-1)f(1)<0,但它在 区间(-1,1)上却没有零点,为什么?

函数零点存在性定理:
y a O c b y

x

c
O a

b

x

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

画图象举反例:
例2 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例
(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a) · f(b) < 0, 则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( ) (2)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a) · f(b) >0,则 f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( ) (3)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且在区间(a,b)内存 在零点,则有 f (a) · f(b) < 0 ( ) (4)已知函数 y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) · f(b) < 0,则f(x)在 函数零点存在定理的三个注意点: 区间(a,b)内存在零点. ( )
y y 1 函数是连续的。

y

a

2 定理不可逆。

O

O a b x O x b b 3 至少存在一个零点,不排除更多。

a

x

小结论

例 3. 求证:函数f(x)= x3+x2+1在区间(-2,-1)上存在零点.
证明: 因为 f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0

f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0

f(-2) f(-1)<0
且函数f(x)的图象在区间[-2,-1]上是不间断的,
所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点

思考:能否确定函数y=f(x)在区间(-2,-1)内存在几个零点?

归纳整理,整体认识

本节课你收获了什么?

归纳整理,整体认识

一个关系:函数零点与方程根的关系:
函数 方程

数 值
零点 存在性 个 数 根

两种思想:函数方程思想;数形结合思想.
三种题型:求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间.

研讨新知
函数y=f(x)在区间[a,b]上图像连续且 是单调函数且f(a)· f(b)<0 问该函数在区间(a,b)内有几个零点?
尝试画出满足条件的图形进行观察

只有一个

a

b

零点存在性定理的应用: 例4 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数,并确定 零点所在的区间[n,n+1](n∈Z) 解法1:利用计算机作出函数的图像,然后判断 与X轴交点的个数

几何画板

零点存在性定理的应用: 例4 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数,并确定 零点所在的区间[n,n+1](n∈Z)
解法2 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 f ( x) -4 -1.3 1.1

9

3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2
y
10 f(x8)=lnx+2x- 6 6 4 2 x

由表可知f(2)<0,f(3)>0,从而f(2)· f(3)<0,
又f(x)在区间[2,3]上连续 ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点.

问题6:如何说明零点的唯一性?

O 123456 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数, -2 所以它仅有一个零点. -4

零点存在性定理的应用: 例4 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数,并确定 零点所在的区间[n,n+1](n∈Z)

解法3: 数形结合
lnx+2x-6=0的根

几何画板

? ?

lnx=-2x+6的根 可看成y=lnx与y=-2x+6 图像交点的横坐标
6

y

y= lnx
O 1234

x

y=-2x +6

学以致用
求f(x)= 2 +3x-7零点的个数
方法一: ∵ f(1)<0 f(2)>0
几何画板

x

∴ f(1)· f(2)<0 又f(x)在区间[1,2]上连续 ∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点 ∵函数f(x)在定义域(-∞,+∞)内是增函数 ∴函数f(x)仅有一个零点

学以致用
方法二:

2 x ? 3x - 7 ? 0
y
14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 1 2 3 4 5 6 7 8

?2

x

? -3x ? 7

? ?? ?y ? -3x ? 7
9 10

y ? 2x

x

拓展延伸:函数f(x)= 2 +3x-7在区间(1,2)上有
零点,那么它更靠近那个端点呢?
几何画板

x

布置作业:

1.利用函数图象判断下列方程有几个根:

(1)2x(x-2)=-3;(2)ex-1+4=4x.
2.写出并证明下列函数零点所在的大致区间: (1)f(x)=2xln(x-2)-3; (2)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 3.思考题:方程2-x =x在区间______内有解,如何求

出这个解的近似值? 请预习下一节.

作业: 4.设m为常数,讨论函数 2 f (x) ? x - 4 x ? 5 - m 的零点个数. 5.若函数 f ( x) ? 2 x - 3x - m 在区间(-1,1)内有零点,求实 数m的取值范围.
2

秦九韶(公元1202-1261), 系统地总结和发展了高次方 程数值解法,提出了“正负 开方术”,此法可以求出任 意次代数方程的正根

花拉子米(约780~约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。

阿贝尔(1802~1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。









问 题

甲原来在河的北岸,现在在河的南岸,能断定甲过河了 吗?过了几趟? 乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河? 过了几趟?


相关文档

人教版·数学Ⅰ_§3.1.1方程的根与函数的零点
3.1.1方程的根与函数的零点
3.1.1-1方程的根与函数的零点
3[1].1.1方程的根与函数的零点(公开课)
3.1.1方程的根与函数的零点讲解
3.1.1方程的根与函数的零点(第1课时)
3.1.1方程的根与函数的零点(第2课时)
3.1.1方程的根与函数的零点限时练
3.1.1《方程的根与函数的零点》导学案(元)
电脑版