湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟考试数学(文科)试题

注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题 卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共 4 页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟考试数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.复数 z ? ?i(i ? 1) ( i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1 ? i 2.下列命题中的假命题是 A. ?x ? R, 2x?1 ? 0 C. ?x ? R, ln x ? 1 B. 1 ? i

共 45 分)

一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共计 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符

C. ? 1 ? i
* B. ?x ? N ,

D. ? 1 ? i

? x ? 1?

2

?0

D. ?x ? R, tan x ? 2

3.已知随机变量 x, y 的值如右表所示,如果 x 与 y 线性

9 ,则实数 b 的值为 2 1 1 1 1 A. ? B. C. ? D. 2 2 6 6 4.已知命题 p : ?4 ? x ? a ? 4 ,命题 q : ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的
相关 且回归直线方程为 y ? = bx + 取值范围是 A.

??1,5?

B.

??1,5?

C.

? ?1,5?

D.

? ?1,5?

5.圆柱形容器内盛有高度为 6 cm 的水,若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面 的球(如右图所示) ,则球的半径是

6 cm 7 C. 3 cm
A.

B. 2 cm D. 4 cm 的 一

?x ? y ? 2 ? 6.已知 O 是坐标原点,点 A ? ?2,1? ,若点 M ? x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 上 ?y ? 2 ?
个动点,则 OA ? OM 的取值范围是

·1·

A. ? ?1,0?

B. ? ?1, 2?

C. ?0,1?

D.

?0, 2?

7.按照如图的程序运行,已知输入 x 的值为 2 ? log2 3 , 则输出 y 的值为 A. 7 C. 12 B. 11 D. 24

8.如图, F 1 、 F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1的公 2

共焦点, A 、 B 分别是 C1 与 C2 在第二、四象限的公共点. 若四边形 AF 1BF 2 为矩形,则 C1 的离心率是

1 1 2 3 B. C. D. 2 3 2 2 第 8 题图 9.若 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意实数 x ,都有 f ( x ? 2) ≤ f ( x) ? 2 ,
A. ≥ f ( x) ? 3 ,且 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,则 f (2015) 的值是 f (x ? 3 ) A. 2019 B. 2019 C. 2019 D. 2019

第Ⅱ卷(非选择题

共 105 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10. 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的 极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,直线的参数方程为 ? 是 . .

? ? x ? 3t ( t 为参数) ,则圆心到直线 的距离 y ? t ? ?

11.若 f (cos x) ? cos 2 x ,则 f (sin 75 ) ?

12.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知 在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是

0.19 . 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应
在三年级抽取的学生人数为 . 13.已知向量 a ? ( x,8) , b ? (4, y) , c ? ( x, y) ( x ? 0, y ? 0) ,若 a // b ,则 c 的最小值 为 . . 14.已知某几何体的三视图(如下图) ,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视 图为直角梯形,则此几何体的体积 V 的大小为

·2·

第 14 题图

15. 两千多年前, 古希腊毕达哥拉斯学派 的数学家曾经在沙滩上研究数学问题, 他 们在沙滩上画点或用小石子来表示数, 按 照点或小石子能排列的形状对数进行分 类,如下图中的实心点个数 1,5,12, 第 15 题图 22 , …, 被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1 ? 1 , 第 2 个五角形数 记作 a2 ? 5 ,第 3 个五角形数记作 a3 ? 12 ,第 4 个五角形数记作 a4 ? 22 ,……,若按此规律 继续下去, (1) a5 ? _________;(2) 若 an ? 117 ,则 n .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 c ? (Ⅰ)求角 C 和角 A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积 S .

3 , b ? 1 , B ? 30

17. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛,于是他们制定了一个规则,规则为:(如图)以 O 为 起点,再从 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 , 这 5 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积 为 X ,若 X ? 0 就让甲去;若 X ? 0 就让乙去;若 X ? 0 就是丙去. (Ⅰ)写出数量积 X 的所有可能取值; (Ⅱ)求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率, 并由求出的概率来说明这个规则公平吗?

18. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , PD / /QA , QA ? AB ? (Ⅰ)证明:平面 PQC ? 平面 DCQ ; (Ⅱ)求二面角 D ? PQ ? C 的余弦值.

1 PD . 2

19. (本小题满分 13 分)
·3·

已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 ,且 S3 ? S5 ? 50 , a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {

bn } 是首项为 1 公比为 2 的等比数列,求数列 {bn } 前 n 项和 Tn . an

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 个顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx 交椭圆 C 于 A, B 两点, 在直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上存在点 P ,使得 ?PAB 为等边三角 形,求 k 的值.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, 一内角为 60 的菱形的四 a 2 b2

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c ( a, b, c 是常数)在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,且

f( 1 ) ? 0 .
(Ⅰ)求常数 a, b, c 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? x ? mf ( x) ( m ? R )在区间 (1,3) 内不是单调函数,求实数 m 的取值范围.
2

2019 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题( 5 ? 9 ? 45 )
/ /

题号 答案
/

1 A

2 B
/

3 D

4 A

5 C

6 B

7 D

8 C

9 C

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 ) 10. 3 ; 11. 三、解答题:
·4·

3 ; 12.16; 2

13.8;

14.

40 ; 3

15. (1)35; (2)9.

16 解: (Ⅰ)∵

sin C c 3 3 ? ? sin C ? , ∵c > b , ∴C ? B , sin 30 ? sin B b 1 2
或 C ? 120 , A ? 30 ……………………6 分

∴ C ? 60 , A ? 90

注:只得一组解给 5 分. (Ⅱ)当 A ? 90 时, S ? bc sin A ? ; 2 2 所以 S=

1

3

当 A ? 30 时, S ?

1 3 , bc sin A ? 2 4

3 3 2 或 4 ……………………………12 分

注:第 2 问只算一种情况得第 2 问的一半分 3 分. 17 解: (Ⅰ) OA 1 OA 2 ? (1,0) (1, ?1) ? 1

OA1 OA3 ? (1,0) (0, ?1) ? 0 OA1 OA5 ? (1,0) (?1,1) ? ?1 OA2 OA4 ? (1, ?1) (0,1) ? ?1 OA3 OA4 ? (0, ?1) (0,1) ? ?1 OA4 OA5 ? (0,1) (?1,1) ? 1

OA1 OA4 ? (1,0) (0,1) ? 0 OA2 OA3 ? (1, ?1) (0, ?1) ? 1 OA2 OA5 ? (1, ?1) (?1,1) ? ?2 OA3 OA5 ? (0, ?1) (?1,1) ? ?1

…………………………3 分

X 的所有可能取值为 ?2, ?1, 0,1 …………………………5 分
(Ⅱ)P(甲去)=

3 10 2 P(乙去)= 10 5 P(丙去)= 10

…………………………7 分 …………………………9 分 …………………………11 分

甲乙丙去的概率不相同,所以这个规则不公平…………………………12 分 18 证明: (Ⅰ)∵ PD ? 面 ABCD , ∴ PD ? CD ,又 CD ? AD, AD ? DP ? D ,

所以 CD ? 面 ADPQ ,∴ CD ? PQ , 在直角梯形 ADPQ 中,设 AQ ? a ,则 DQ ?

2a, PQ ? 2a, DP ? 2a ,

所以 DQ ? PQ ,又 CD ? DQ ? D ,所以 PQ ? 面 DCQ ,又 PQ ? 面 PQC ,
·5·

∴平面 PQC ⊥平面 DCQ ………………6 分 (Ⅱ)由(1)知 PQ ? 面 DCQ ∴ ?DQC 就是二面角 D ? PQ ? C 的平面角………………9 分 在 Rt ?DQC 中 DQ ?

2a, CQ ? 3a ,所以 cos?DQC ?

6 3 ……………12 分

3? 2 5? 4 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? 19 解: (Ⅰ)依题得 ? 2 2 ………………2 分 ?(a ? 3d )2 ? a (a ? 12d ) ? 1 1 1
解得 ?

?a1 ? 3 ………………4 分 ?d ? 2

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ,即? an ? 2n ? 1……………6 分
(Ⅱ)

bn ? 2n?1 , bn ? an ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n?1 ………………7 分 an
① ②…………9 分

?Tn ? 3? 20 ? 5 ? 21 ? 7 ? 22 ???? ? (2n ?1) 2n?1

2Tn ? 3? 21 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ???? ? (2n ?1) 2n?1 ? (2n ? 1) 2n
2(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) 2n 两式相减得: Tn ? ?3 ? 2 ? 1? 2

? 1 ? (2n ?1) 2n ………………13 分
20 解:(Ⅰ)因为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2
所以 a ? 3, b ? 1,

一内角为 60 的菱形的四个顶点,

x2 ? y 2 ? 1……………… 4 分 椭圆 C 的方程为 3
(Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? ,则 B ? ? x1 , ? y1 ? (i)当直线 AB 的斜率为 0 时, AB 的垂直平分线就是 y 轴,
·6·

y 轴与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点为 P(0,3) ,
又 AO ?

3, PO ? 3 ?| AB |?| PA |?| PB |? 2 3 ,

所以 ?PAB 是等边三角形,所以 k ? 0 满足条件;………………6 分 (ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设 AB 的方程为 y ? kx

? x2 2 ? ? y ?1 所以 ? 3 ,化简得 (3k 2 ? 1) x2 ? 3 ? y ? kx ?
所以 AO ? 1 ? k 2 又 AB 的中垂线为 y ? ?

解得 x1 ?

3 3k ? 1
2

3 3k 2 ? 3 ……………… 8 分 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

1 x ,它 l 的交点记为 P( x0 , y0 ) k

3k ? x0 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ? ? ? k ?1 由? 解得 ? 1 y?? x ? y ? ?3 ? k ? 0 ? k ?1 ?
则 PO ?

9k 2 ? 9 ……………… 10 分 (k ? 1) 2

因为 ?PAB 为等边三角形, 所以应有 PO ? 3 AO

代入得到

9k 2 ? 9 3k 2 ? 3 ,解得 k ? 0 (舍) , k ? ?1 ? 3 (k ? 1)2 3k 2 ? 1
b , x

综上可知, k ? 0 或 k ? ?1 ……………… 13 分
' 21 解: (Ⅰ)由题设知, f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ( x ) ? a ?

因为 f ( x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 , 所以 f ' (e) ? ?

e ?1 b e ?1 ,且 f (e) ? 2 ? e ,即 a ? ? ? ,且 ae ? b ? c ? 2 ? e , e e e

又 f (1) ? a ? c ? 0 ,解得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 ………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0) 因此, g ( x) ? x ? mf ( x) ? x ? mx ? m ln x ? m( x ? 0)
2 2

·7·

' 所以 g ( x) ? 2 x ? m ?

m 1 ? (2 x 2 ? mx ? m)( x ? 0) ………………7 分 x x

令 d ( x) ? 2x2 ? mx ? m( x ? 0) . ( ⅰ ) 当 函 数 g ( x) 在 (1,3) 内 有 一 个 极 值 时 , g ' ( x) ? 0 在 (1,3) 内 有 且 仅 有 一 个 根 , 即 又因为 d (1) ? 2 ? 0 , 当 d (3) ? 0 , 即 m ? 9 时, d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,

d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根 x ?
2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 m ? 9 ,所以有 m ? 9 .

3 ,当 d (3) ? 0 时,应有 d (3) ? 0 , 即 2

' ( ⅱ ) 当 函 数 g ( x) 在 (1,3) 内 有 两 个 极 值 时 , g ( x) ? 0 在 (1,3) 内 有 两 个 根 , 即 二 次 函 数

d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有两个不等根,
?? ? m 2 ? 4 ? 2 ? m ? 0 ? d (1) ? 2 ? m ? m ? 0 ? ? 所以 ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 8 ? m ? 9 . ? ?1 ? m ? 3 ? ? 4
综上,实数 m 的取值范围是 (8,??) ………………13 分

·8·


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