河南省商丘市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文

2016-2017 学年第二学期期终考试 高二数学(文)试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时, 将答案答在答题卡上 (答题 注意事项见答题卡) ,在本试卷上答题无效. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {a, b} ,集合 B 满足 A ? B ? {a, b, c},则集合 B 的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 ) D.第四象限 )

2. 已知 z (1 ? i) ? ?i ,那么复数 z ? z 对应的点位于复平面内的( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限

3.下列命题中,真命题是(

A. ?m0 ? R ,使函数 f ( x) ? ? x2 ? m0 x( x ? R) 是奇函数 B. ?m0 ? R ,使函数 f ( x) ? ? x2 ? m0 x( x ? R) 是偶函数 C ?m ? R ? m∈R,函数 f ( x) ? ? x ? mx( x ? R) 都是奇函数
2

D ?m ? R ,函数 f ( x) ? ? x ? mx( x ? R) 都是偶函数
2

4.在△ABC 中,角 A,B,C 是三角形三内角,则“A≤B”是“sin A≤sin B”的( A.必要非充分条件 C.充分必要条件 5.已知函数 f ( x) ? ? A.0 B.非充分非必要条件 D.充分非必要条件 )

)

? lg x,( x ? 1) ,则 f ( f (?4)) ? ( ?| 3x ? 2 |,( x ? 1)
B.1 C. 2 lg 2

D. lg 5

6. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (??, ??) 上 的 偶 函 数 , 且 在 ( ??, 0] 上 是 增 函 数 , 设 a ? f (log4 7) ,

b ? f (log 1 3) , c ? f (2 ) ,则 a, b, c 的大小关系是(
1.6
2

) D. a ? b ? c

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

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7.方程 log 2 x ? 2 x ?1 ? 0 的根必落在区间( A. ( , )

) C. ( ,1)

1 1 8 4

B. ( , )

1 1 4 2

1 2

D. (1, 2)

? f ( x) , 8.已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数, 若对于 x ? 0 , 都有 f ( x ? 2) 且当 x ? [0, 2) 时,
,则 f (?2016) ? f (2017) 的值为( f ( x) ? log2 ( x ?1 ) A. ?2 B. ?1 C. 1 ) D. 2 )

9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = ? A.-1
4

x?0 ?log2 (4 ? x), ,则 f (2019) 的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D. 2 )

B. -2

C.1

10.函数 f ( x) =x -4x+3 在区间[-2,3]上的最小值为( A.72 B.27 C.-2 D.0

11 设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对任意 x ? R 都有 f ( x) > f ?( x ) 成立,则( A.2017f(ln 2016)>2016f(ln 2017) C.2017f(ln2016)<2016f(ln2017)
3 2

)

B.2017f(ln2016)=2016f(ln 2017) D.2017f(ln2016)与 2016f(ln2017)的大小不确定
2

12.已知函数 f ( x) =x +ax +bx+c 有两个极值点 x1, x2, 若 f(x1)=x1<x2, 则关于 x 的方程 3(f(x)) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为( A.3 B.4 ) C.5 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 注意事项:1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚; 2.考生做答时,用黑色签字笔将答案答在答题卷上,答在试题卷上的答案无效. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.设 A ? x | x ? 1 B ? ?x | ax ? 1 ? 若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值集合为

D.6

?

?

14 . 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y ? f ?x ? 的 图 象 关 于 直 线

x?

1 2

对称,则

f (1) ? f ( 2? ) f
2

(? 3) ? f
3

( 2 0? 17 f)

(2 ?0f1 8 )

? (2019) ______.

15.计算 i ? 2i ? 3i ?

? 2017i 2017 ?

16.设 f(x),g(x)分别是定义 在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 且 f(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________

2
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 命题 p:关于 x 的不等式 x +2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f(x)=(3-2a) 是增函 数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A ,不等式 ? x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B .
2 2
2

x

(Ⅰ)求 A ? B ; (Ⅱ)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B ,求不等式 ax ? x ? b ? 0 的解集.
2 2

19.(本小题满分 12 分) 商丘示范区某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸(单位: mm)的值落在[29.94,30.06) 的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其内径尺寸,得结果如下表: 甲厂: 分组 频数 分组 频数 分组 频数 乙厂: 分组 频数 分组 频数 分组 频数 [29.86,29.90) 29 [29.98,30.02) 159 [29.90,29.94) 71 [30.02,30.06) 76 [30.10,30.14) 18 [29.94,29.98) 85 [30.06,30.10) 62 [29.86,29.90) 12 [29.98,30.02) 182 [29.90,29.94) 63 [30.02,30.06) 92 [30.10,30.14) 4 [29.94,29.98) 86 [30.06,30.10) 61

(Ⅰ)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (Ⅱ)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件 的质量有差异”? 甲厂 优质品 非优质品 乙厂 合计

3
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合 计 附:K =
2

a+b

n ad-bc 2 c+d a+c

b+d



P(K2≥k) k

0.05 3.841

0.01 6.635.

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上, 只有

f (1) ? f (3) ? 0 .

(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x ) =0 在闭区间[-2017,2017]上的根的个数,并证明你的结论. 21.(本小题满分 12 分)

a 1 2 x x 已知函数:f(x)=x-(a+1)ln x- (a∈R),g(x)= x +e -xe . x 2
(Ⅰ)当 x∈[1,e]时,求 f(x)的最小值; (Ⅱ)当 a<1 时,若存在 x1∈[e,e ],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求 a 的取 值范围. 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22.(本小题满分 10 分)[选修 4-4 参数方程] 已知动点 P 、 Q 都在曲线 C : ?
?x=2cos ? ? ?y=2sin
2

t, t

(t 为参数 ) 上,对应参数分别为 t = α 与 t =

2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

23. (本小题满分 10 分) [选修 4-5 不等式选讲] 设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x -8x+1,记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为
2

N.

4
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(Ⅰ)求 M; 1 2 2 (Ⅱ)当 x∈M∩N 时,证明:x f(x) +x[f(x)] ≤ . 4

商丘市一高 2016—2017 学年度高二第二学期期终考试试卷 数学参考答案 一、选择题 CABCB BCCBD AA

二.填空题 13. ??1,0,1? 三、解答题: 17 设 g(x)=x +2ax+4, 由于关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,
2 2

14.0 15.1008+1009i

16.

? ??, ?3? ? ?0,3?

5
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所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 故 Δ =4a -16<0, ∴-2<a<2.
x
2

……2 分 ……3 分

又∵函数 f(x)=(3-2a) 是增函数, ∴3-2a>1,∴a<1. ……4 分

又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.……5 分

? ?-2<a<2, (1)若 p 真 q 假,则? ?a≥1, ?

∴1≤a<2;

……7 分

(2)若 p 假 q 真,则?

? ?a≤-2或a≥2, ?a<1, ?

∴a≤-2. ……9 分 ……10 分 ……2 分 ……4 分 ……6 分

综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1≤a<2,或 a≤-2.

2 18 解: (Ⅰ)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A=(-1,3)

2 由 x ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ,所以 B=(-3,2) ,

∴A∩B=(-1,2) (Ⅱ)由不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为(-1,2) ,
2

所以 ?

? 1? a ? b ? 0 , ?4 ? 2a ? b ? 0
……10 分

……8 分

解得 ?
2

?a ? ?1 ?b ? ?2

∴ ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得解集为 R.

……12 分

360 19. (Ⅰ) 甲厂抽查的产品中有 360 件优质品, 从而甲厂生产的零件的优质品率估计为 =72%; ……2 500 分

320 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 =64%. ……4 分 500 (Ⅱ)

甲厂

乙厂

合计
6
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优质品 非优质品 合计

360 140 500

320 180 500

680 320 1 000

……7 分

K2=

- 500×500×680×320

2

≈7.35>6.635,……11 分

所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异.” ……12 分

20.(Ⅰ):由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? 2和x ? 7 , 从而知函数 y ? f ( x) 不是奇函数,

由?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ……2 分 ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10
又 f (3) ? f (0) ? 0, 而f (7) ? 0, f (3) ? f (?3), f (3) ? ? f (?3) , 故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数; ……4 分

(Ⅱ)由 ?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ……6 分
又 f (3) ? f (0) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, ……8 分 从而可知函数 y ? f ( x) 在[0,2017]上有 404 个解, ……10 分 在[-2017.0]上有 403 个解,所以函数 y ? f ( x) 在[-2017,2017]上有 807 个解. ……12 分

21. (Ⅰ)依题意得,f(x)的定义域为(0,+∞), ∵f′(x)=

x- x2

x-a

(a∈R),……1 分

7
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∴①当 a≤1 时,x∈[1,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a. ……2 分 ②当 1<a<e 时,x∈[1,a],f′(x) ≤0,f(x)为减函数,x∈[a,e],f′(x)≥0,f(x)为增函 数,f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1. ……3 分 ③当 a≥e 时,x∈[1,e],f′(x)≤0,f(x)为减函数,f(x)min=f(e)=e-(a+1)- .……4 分 e 综上,当 a≤ 1 时,f(x)min=1-a; 当 1<a<e 时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1; 当 a≥e 时,f(x)min=e-(a+1)- . e
2

a

a

……5 分

(Ⅱ)若存在 x1∈[e,e ],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立, 即 f(x1)min<g(x2)min. 当 a<1 时,x1∈[e,e ],由(1)可知,
2

……6 分

f′(x)>0,f(x)为增函数, ……7 分
∴f(x1)min=f(e)=e-(a+1)- , e

a

g′(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex), ……8 分
当 x2∈[-2,0]时 g′(x)≤0,

g(x)为减函数,g(x2)min=g(0)=1,
2

……10 分

a e -2e ∴e-(a+1)- <1,即 a> ,……12 分 e e+1

22. (Ⅰ)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).
?x=cos α +cos 2α , ? M 的轨迹的参数方程为? ?y=sin α +sin 2α ?

……2 分 (α 为参数,0<α <2π ).……5 分

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离

d=

x2+y2= 2+2cos α (0<α <2π ).……8 分

当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. ……10 分

?3x-3,x∈[1,+ ? 23. (Ⅰ)f(x)=? ? -∞, ?1-x,x



……2 分

4 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤ ,故 1≤x≤ ;……4 分 3 3 当 x<1 时,由 f(x)=1-x≤1 得 x≥0,故 0≤x<1.

8
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? ? 4 ? 所以 f(x)≤1 的解集为 M=?x?0≤x≤ 3 ? ? ?

? ? ?. ? ?

……5 分

? 1?2 2 (Ⅱ)证明:由 g(x)=16x -8x+1≤4 得 16?x- ? ≤4, ? 4?
1 3 解得- ≤x≤ . 4 4
? ? ? 1 3 因此 N=?x?- ≤x≤ 4 4 ? ? ? ? ? 3 ? 故 M∩N=?x?0≤x≤ 4 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?. ? ?
2

……6 分

……7 分

……8 分
2

当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x,于是 x f(x)+x·[f(x)]

1 ? 1?2 1 =xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)= -?x- ? ≤ . 2? 4 4 ?

……10 分

9
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