2018年高考数学二轮复习专题八数学思想方法与高考数学文化第1讲函数与方程思想数形结合思想课件_图文

第 1讲 函数与方程思想、数形结合思想 数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点,描述两 个量之间的依赖关系,刻画数量之间的本质特征,在提出数 学问题时,抛开一些非数学特征,抽象出数量特征,建立明 确的函数关系,并运用函数的知识和方法解决问题 . 有时需 要根据已知量和未知量之间的制约关系,列出方程(组),进 而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系, 相互为用的. 2.数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数 与形的相互转化来解决数学问题的思想 .数形结合思想的应 用包括以下两个方面: (1)“ 以形助数 ” ,把某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质; (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确. 热点一 应用 1 函数与方程思想 求解不等式、函数零点的问题 【例 1】 (1)(2017· 衡阳联考)设 0<a<1, e 为自然对数的底数, 则 a, ae,ea-1 的大小关系为( A.ea-1<a<ae B.ae<a<ea-1 ) C.ae<ea-1<a D.a<ea-1<ae (2)(2017· 衡水中学质检)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x+4)=f(x),且当 ?1?x x∈[-2,0]时,f(x)=?3? -6.若 ? ? 在区间(-2, 6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个 不同的实数根,则实数 a 的取值范围是________. 解析 (1)设 f(x)=ex-x-1,x>0,则 f′(x)=ex-1, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(0)=0,f(x)>0, ∴ex-1>x,即 ea-1>a. 又 y=ax(0<a<1)在 R 上是减函数,得 a>ae, 从而 ea-1>a>ae. (2)由 f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4, 因为当 ?1?x x∈[-2,0]时,f(x)=?3? -6. ? ? 所以若 x∈[0,2],有-x∈[-2,0], 则 ?1?-x f(-x)=?3? -6=3x-6, ? ? 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(x)=f(-x)=3x-6,x∈[0,2], 由 f(x)-loga(x+2)=0 得 f(x)=loga(x+2), 作出函数 f(x) 的图象如图. 当 a>1 时,要使方程 f(x)-loga(x+2)=0 恰有 3 个不同的实数根, 则等价于函数 f(x)与 g(x)=loga(x+2)有 3 个不同的交点,则满足 ? ?g(2)<f(2), ? ?loga4<3, ? 即? ? ?g(6)>f(6), ? ?loga8>3, 解得 4<a<2,故 a 的取值范围是( 4,2). 3 3 答案 (1)B (2)( 4,2) 3 探究提高 1.第(1)题构造函数,转化为判定函数值的大小,利用 函数的单调性与不等式的性质求解. 2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题 (1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应 用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题. (2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函 数解决. π x 【训练 1】 (1)设函数 f(x)=2-cos x,则方程 f(x)=4所有实根的 和为( A.0 π C. 2 ) π B. 4 3π D. 2 (2)(2015· 全国Ⅱ卷)已知曲线 y=x+ln x 在点(1, 1)处的切线与曲 线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________. 解析 π x x π (1)由 f(x)= -cos x= ,得 - =cos x, 2 4 2 4 x π 令 y=2-4,y=cos x. 在同一坐标系内作出两函数图象,易知两图象只有一个交点 ?π ? ? ,0?. ?2 ? π π ∴方程 f(x)=4的实根之和为2. 1 (2)由 y=x+ln x,得 y′=1+ x, ∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), ? ?y=2x-1, 联立? 消去 2 ? ?y=ax +(a+2)x+1, y 得 ax2+ax+2=0. 依题意,Δ=a2-8a=0,∴a=8(a=0 舍去). 答案 (1)C (2)8 应用 2 函数与方程思想在数列中的应用 【例 2】 (2017· 深圳调研)已知等差数列{an}的公差 d≠0,a1+a4 =14,且 a1,a2,a7 成等比数列. (1)求{an}的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn; ? ? 1 ? ? Sn (2)令 bn= ,若{bn}是等差数列,求数列?b b ?的前 n 项和 ? n+k ? n n+1? ? Tn 的最小值. 解 (1)a1+a4=2a1+3d=14, 由 a1, a2, a7 成等比数列得 a1(a1+6d)=(a1+d)2, 整理得 d2=4a1d, ∵d≠0,∴d=4a1, 由 d=4a1 与 2a1+3d=14 联立,解得 a1=1,d=4, n(1+4n-3) ∴an=a1+(n-1)d=4n-3,Sn= =2n2-n. 2 2n2-n (2)由(1)知 bn= ,∵{bn}为等差数列, n+k 1 ∴2b2=b1+b3,代入可解得 k=- 或 k=0, 2 1 ? 1 1 1? ?1 当 k=- 时,bn=2n,则 = ?n-n+1? ?, 2 bnbn+1 4? ? 1 1 ? 1? n ?1 1 1 1 ? ∴Tn= ?1-2+2-3+…+n-n+1?= , 4? ? 4(n+1) x 又 y= = 4(x+1) 在(0,+∞)上是增函数, ? 1? 4?1+x ? ? ? 1 1 ∴当 n=1 时,Tn 有最小值8

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