2011-2012学年第一学期期末高一数学试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012 学年第一学期统一检测题 高一数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? { 0 ,1, 2 ,3} , B ? {1, 2 , 4} ,则集合 A ? B ? A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}

2.若集合 A ? { x | ? 2 ? x ? 1} , B ? { x | 0 ? x ? 2} ,则集合 A ? B ? A. { x | ? 2 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 1} B. { x | ? 1 ? x ? 1} D. { x | 1 ? x ? 2}

3.某城市有学校 700 所,其中大学 20 所,中学 200 所,小学 480 所. 现用分层抽样方 法从中抽取一个容量为 70 的样本,进行某项调查,则应抽取中学的数量为 A.2 B.20 C.48 D.70

4.已知某厂的产品合格率为 90%,现抽出 10 件产品检查,则下列说法正确的是 A.合格产品少于 9 件 C.合格产品正好是 9 件 5.函数 y ? ( ) x ? 2 的图象必过
2 1

B.合格产品多于 9 件 D.合格产品可能是 9 件

A.第一、三、四象限 C.第一、二、三象限

B.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限

6.已知函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) ,若 f ( a ) ? 1 ,则 a 等于 A.0 B.1 C.2 D.3

7.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是
? A. y ? ? 10 x ? 200 ? C. y ? ? 10 x ? 200 ? B. y ? 10 x ? 200 ? D. y ? 10 x ? 200

8.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数 字外完全相同. 现从中随机取出 2 个小球, 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的 概率是 A.
1 12

B.

1 10

C.

1 5

D.

3 10

9.若 log

2
a

? 1 ,则

a 的取值范围是 B. ( , ?? )
3 2

3

A. ( 0 , )
3

2

C. ( 0 , ) ? (1, ?? )
3

2

D. ( ,1)
3

2

10.若 f ( x ) 和 g ( x ) 都是奇函数,且 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 8, 则在(-∞,0)上 F ( x ) 有 A.最小值-8 B.最大值-8 C.最小值-6 D.最小值-4
开始

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.函数 y ? lg( x ? 2 ) 的定义域是 ▲ .

S=0, T=0, n=0 是 T>S 否 S=S+5 输出 T n=n+2 结束 T=T+n

12.有一杯 2L 的水,其中含有 1 个细菌,用一个小杯 从这杯水中取出 0.1L,则这一小杯水中含有细菌的 概率是 ▲ .

13.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的 中位数分别是__▲ _.
甲 8 9 1 2 5 7 8 5 6 乙 9 4 5 8 2 6 3 5 7

2 3 4 5 6

14.阅读右边程序框图,该程序输出的结果是__▲__.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 15. (本小题满分 12 分) 某个制药厂正在测试一种减肥新药的疗效,有 500 名志愿者服用此药,结果如下: 体重变化 人数 体重减轻 274 体重不变 93 体重增加 133

如果另有一人服用此药,估计下列事件发生的概率: (1)此人的体重减轻; (2)此人的体重不变; (3)此人的体重增加.

16. (本小题满分 12 分) 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽 5 门功课,得到的观测值如下: 甲 乙 60 80 80 60 70 70 90 80 70 75

分别计算两个样本的平均数 x 和方差 s 2 ,并根据计算结果估计甲、乙谁的平均成绩较 好?谁的各门功课发展较平衡?

17. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ?
e ?e
x ?x

, g (x) ?

e ?e
x

?x

2

2

.

(1)求证: f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) ? g ( x ) ; (2)求证: g ( 2 x ) ? [ g ( x )] 2 ? [ f ( x )] 2 ; (3)判断 f ( x ) 与 g ( x ) 的奇偶性,并说明理由.

18. (本小题满分 14 分) 已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点(2, (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (3)判断函数 f ( x ) 的单调性,并说明理由.
2 2

).

19. (本小题满分 14 分) 如图, 有一块矩形空地 ABCD, 要在这块空地上开辟一个内接四边形 EFGH 为绿地, 使其四个顶点分别落在矩形的四条边上. 已知 AB=a(a>2) ,BC=2,且 AE=AH=CF=CG, 设 AE=x,绿地 EFGH 面积为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数解析式,并求出它的定义域; (2)当 AE 为何值时,绿地面积 y 最大?并求出最大值.
H A B E D G C F

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (1 ? k ) x ?
m x ? 2 ,其中 k , m ? R

,且 m ? 0 .

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)k 如何取值时,函数 f ( x ) 存在零点,并求出零点.

2011—2012 学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10 D

二、填空题 11. (2,+∞) ; 12.0.05; 13.45,46; 14.30

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)记“此人的体重减轻”为事件 A, 则 P ( A) ?
274 500 ? 0 . 548



(4 分)

(2)记“此人的体重不变”为事件 B, 则 P(B) ?
93 500 ? 0 . 186



(8 分)

(3)记“此人的体重增加”为事件 C, 则 P (C ) ?
133 50 0 ? 0 . 266

.

(12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解: x甲 ?
x乙 ? 1 5 1 5 1 5 [( 80 ? 73 ) ? ( 60 ? 73 ) ? ( 70 ? 73 ) ? ( 80 ? 73 ) ? ( 75 ? 73 ) ] ? 56
2 2 2 2 2

1 5

( 60 ? 80 ? 70 ? 90 ? 70 ) ? 74



(2 分) (4 分)

( 80 ? 60 ? 70 ? 80 ? 75 ) ? 73


2 2 2

s甲 ?
2

[( 60 ? 74 ) ? ( 80 ? 74 ) ? ( 70 ? 74 ) ? ( 90 ? 74 ) ? ( 70 ? 74 ) ] ? 104
2 2

, 分) (6

s乙 ?
2

, (8 分) (10 分) (12 分)

因为 x甲 ? x 乙 ,所以甲的平均成绩较好.
2 2 因为 s甲 ? s 乙 ,所以乙的各门功课发展较平衡.

17. (本小题满分 14 分) 证明: f ( x ) ?
e ?e
x ?x

, g (x) ?
2x

e ?e
x

?x

2

2 e ?e 2
?2 x

(1)因为 f ( 2 x ) ?
2 f (x) ? g (x) ? 2 ?


? e ?e
x ?x

(1 分)
? e
2x

e ?e
x

?x

?e 2

?2 x



(3 分) (4 分)

2

2

所以 f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) ? g ( x ) . (2)因为 g ( 2 x ) ?
[ g ( x )] ? [ f ( x )]
2 2

e

2x

?e 2

?2 x


?2 x

(5 分)
? e
2x

?

e

2x

?2?e 4

?2?e 4

?2 x

?

e

2x

?e 2

?2 x



(7 分) (8 分)

所以 g ( 2 x ) ? [ g ( x )] 2 ? [ f ( x )] 2 . (3)显然 f ( x ) 的定义域为 R. 因为 f ( ? x ) ?
e
?x

?e 2

?(? x)

? ?

e ?e
x

?x

? ? f (x)



(10 分) (11 分)

2

所以 f ( x ) 为奇函数. 显然 g ( x ) 的定义域为 R. 因为 g ( ? x ) ?
e
?x

?e 2

?(? x)

?

e ?e
x

?x

? g (x) ,

(13 分) (14 分)

2

所以 g ( x ) 为偶函数.

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)依题意设 f ( x ) ? x ? ,则 2 ? ? 解得 ? ? ?
1 2
2 2



(2 分) (4 分)

.
? 1 2

所以, f ( x ) ? x

.

(5 分) (8 分) (9 分) (10 分)
? x2 ? x1 x 2 x1

(2)显然 f ( x ) 的定义域为(0,+∞) ,所以 f ( x ) 为非奇非偶函数. (3)任取 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) ,且 x 1 ? x 2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 2 ? x 2 2
? 1 x1 ? 1 x2
? 1 ? 1

(11 分)
x 2 ? x1 x1 x 2 ( x2 ? x1 )

=

(

x2 ?

x 1 )(

x2 ? x1 )

x1 )

x1 x 2 (

x2 ?

?

(12 分)

因为 0 ? x 1 ? x 2 ,所以 x 1 x 2 ? 0 , x 1 ?

x 2 ? 0 , x 2 ? x1 ? 0 ,

所以 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) . 故函数 f ( x ) 在(0,+∞)上是减函数.

(13 分) (14 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图,由题意,得 S ? AEH ? S ? CFG ?
S ? BEF ? S ? DGH ? 1 2
2

1 2

x

2

, (1 分) (2 分)

D

G

C F

( a ? x )( 2 ? x ) ,

H A B

E

所以 y ? S 矩形 ABCD ? 2 S ? AEH ? 2 S ? BEF ? ? 2 x ? ( a ? 2 ) x .(4 分)
?x ? ?a 由? ?2 ?a ? ? 0, ? x ? 0, ? x ? 0, ? 2,

得0 ? x ? 2 .

(6 分)

故 y ? ? 2 x 2 ? ( a ? 2 ) x ,定义域为 ?0 , 2 ? . (2)当
a? 2 4 ? 2 ,即 2 ? a ? 6

(7 分)
a? 2 4

时,则 x ?

时, y max ?

(a ? 2) 8

2

; 分) (9



a? 2 4

? 2 ,即 a ? 6 时, y ? ? 2 x ? ( a ? 2 ) x 在 ? 0 , 2 ? 上是增函数,
2

(10 分) (12 分)

则 x ? 2 时, y max ? 2 a ? 4 . 综上所述, 当 2 ? a ? 6 , AE ?
a?2 4

时,绿地面积最大值为

(a ? 2) 8

2

; (14 分)

当 a ? 6 , AE ? 2 时,绿地面积最大值为 2 a ? 4 .

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)显然函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) . (2)函数 f ( x ) ? (1 ? k ) x ? 因为 m ? 0 ,所以 (1 ? k ) x ?
m x m x ?2 ? 0 ? 2 的零点即方程 (1 ? k ) x ? m x ?2 ? 0

(2 分) 的解, (3 分)

与 ( k ? 1) x 2 ? 2 x ? m ? 0 有相同的解. (4 分)
m 2 ? 0,

①当 k ? 1 时,由 ( k ? 1) x 2 ? 2 x ? m ? 0 ,得 x ? ? 所以函数 f ( x ) 有一个零点 x ? ?
m 2

.

(6 分)

②当 k ? 1 时, ( k ? 1) x 2 ? 2 x ? m ? 0 的判别式 ? ? 4 m ( k ? 1) ? 4 . 当 ? ? 0 ,即 k ? 1 ?
1 m

时,函数 f ( x ) 有一个零点 x ? ? m ;

(8 分)

当 ? ? 0 ,即 m ( k ? 1) ? 1 ? 0 时, 若 m ? 0 ,则 k ? 1 ?
1 m

,且 k ? 1 时,
1? 1 ? m ( k ? 1) k ?1

函数 f ( x ) 有两个零点 x ? 若 m ? 0 ,则 k ? 1 ?
1 m



(10 分)

,且 k ? 1 时,
1? 1 ? m ( k ? 1) k ?1

函数 f ( x ) 有两个零点 x ? 综上所述,

.

(12 分)

当 k ? 1 时,函数 f ( x ) 有一个零点 x ? ?

m 2



当k ? 1 ?

1 m

时,函数 f ( x ) 有一个零点 x ? ? m ;
1 m

若 m ? 0 ,当 k ? 1 ?

,且 k ? 1 时,函数 f ( x ) 有两个零点 x ?

1?

1 ? m ( k ? 1) k ?1



若 m ? 0 ,当 k ? 1 ?

1 m

,且 k ? 1 时,函数 f ( x ) 有两个零点 x ?

1?

1 ? m ( k ? 1) k ?1

.

(14 分)


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