2017_2018学年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介检测含解析新人教A版选修4_4

苏子愀然 ,正襟 危坐, 而问客 曰:“ 何为其 然也? ”客曰 :“‘ 月明星 稀,乌 鹊南飞 。’此 非曹孟 德之诗 乎?西 望夏口 ,东望 武昌, 山川相 缪,郁 乎苍苍 ,此非 孟德之 困于周 郎者乎 ?方其 破荆州 ,下江 陵,顺 流而东 也,舳 舻千里 ,旌旗 蔽空, 酾酒临 江,横 槊赋诗 ,固一 世之雄 也 ,而今安 在哉? 四、柱坐标系与球坐标系简介 A 级 基础巩固 一、选择题 1.空间直角坐标系 Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面 Oyz 内的是( ) A.???1,π2 ,2??? B.???2,π3 ,0??? C.???3,π4 ,π6 ??? D.???3,π6 ,π2 ??? 解析:由 P(ρ ,θ ,z),当 θ =π2 时,点 P 在平面 Oyz 内. 答案:A 2.已知点 M 的球坐标为???1,π3 ,π6 ???,则它的直角坐标为( ) A.???1,π3 ,π6 ??? B.???34, 43,12??? C.???34,34,12??? D.??? 43,34, 23??? 解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), 因为点 M 的球坐标为???1,π3 ,π6 ???, 所以 x=1·sin π 3 cos π 6 3 =4, y=1·sin π 3 sin π 6 = 43, z=1·cos π 3 1 =2. 所以 M 的直角坐标为???34, 43,12???. 答案:B 3.设点 M 的直角坐标为 (2,0,2),则点 M 的柱坐标为( ) A.(2,0,2) B.(2,π ,2) C.( 2,0,2) D.( 2,π ,2) 解析:设点 M 的柱坐标为(ρ ,θ ,z), 所以 ρ = x2+y2=2,tan θ =yx=0, 所以 θ =0,z=2,所以点 M 的柱坐标为(2,0, 2). 苏子愀然 ,正襟 危坐, 而问客 曰:“ 何为其 然也? ”客曰 :“‘ 月明星 稀,乌 鹊南飞 。’此 非曹孟 德之诗 乎?西 望夏口 ,东望 武昌, 山川相 缪,郁 乎苍苍 ,此非 孟德之 困于周 郎者乎 ?方其 破荆州 ,下江 陵,顺 流而东 也,舳 舻千里 ,旌旗 蔽空, 酾酒临 江,横 槊赋诗 ,固一 世之雄 也 ,而今安 在哉? 答案:A 4.在空间直角坐标系中的点 M(x,y,z),若它的柱坐标为???3,π3 ,3???,则它的球坐标 为( ) A.???3,π3 ,π4 ??? B.???3 2,π3 ,π4 ??? C.???3,π4 ,π3 ??? D.???3 2,π4 ,π3 ??? 解析:因为 M 点的柱坐标为 M???3,π3 ,3???,设点 M 的直角坐标为(x,y,z). 所以 x=3cos π 3 =32,y=3sin π 3 =3 2 3,z=3, 所以 M 点的直角坐标为???32,3 2 3,3???. 设点 M 的球坐标为(γ ,φ ,θ ). γ 是球面的半径,φ 为向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 正方向夹角,θ 为向量 OM 与 z 轴 正方向夹角. 所以 r= 94+247+9=3 2,容易知道 φ =π3 ,同时结合点 M 的直角坐标为 ???32,3 2 3,3???, 可知 cos θ =z γ =3= 32 22, 所以 θ =π4 , 所以 M 点的球坐标为???3 2,π3 ,π4 ???. 答案:B 5.在直角坐标系中,点(2,2,2)关于 z 轴的对称点的柱坐标为( ) A.???2 2,3π4 ,2??? B.???2 2,π4 ,2??? C.???2 2,5π4 ,2??? D.???2 2,7π4 ,2??? 解析:(2,2,2)关于 z 轴的对称点为(-2,-2,2), 则ρ = (-2)2+(-2)2=2 y -2 2,tan θ =x=-2=1, 因为点(-2,-2)在平面 Oxy 的第三象限内, 苏子愀然 ,正襟 危坐, 而问客 曰:“ 何为其 然也? ”客曰 :“‘ 月明星 稀,乌 鹊南飞 。’此 非曹孟 德之诗 乎?西 望夏口 ,东望 武昌, 山川相 缪,郁 乎苍苍 ,此非 孟德之 困于周 郎者乎 ?方其 破荆州 ,下江 陵,顺 流而东 也,舳 舻千里 ,旌旗 蔽空, 酾酒临 江,横 槊赋诗 ,固一 世之雄 也 ,而今安 在哉? 所以 θ =54π , 所以所求柱坐标为???2 2,54π ,2???. 答案:C 二、填空题 6.已知点 M 的球坐标为???4,π4 ,34π ???,则它的直角坐标为_______,它的柱坐标是 ________. 答案:(-2,2,2 2) ???2 2,34π ,2 2??? 7.已知在柱坐标系中,点 M 的柱坐标为???2,2π3 , 5???,且点 M 在数轴 Oy 上的射影为 N, 则|OM|=________,|MN|=________. 解析:设点 M 在平面 Oxy 上的射影为 P,连接 PN,则 PN 为线段 MN 在平面 Oxy 上的射影. 因为 MN⊥直线 Oy,MP⊥平面 Oxy, 所以 PN⊥直线 Oy. 所以|OP|=ρ =2,|PN|=???ρ cos 2π 3 ???=1, 所以|OM|= ρ 2+z2= 22+( 5)2=3. 在 Rt△MNP 中,∠MPN=90°, 所以|MN|= |PM|2+|PN|2= ( 5)2+12= 6. 答案:3 6 8.已知点 M 的球坐标为???4,π4 ,34π ???,则点 M 到 Oz 轴的距离为________. 解析:设点 M 的直角坐标为(x,y, z), 则由(r,φ ,θ )=???4,π4 ,34π ???, 知 x=4sinπ4 cos34π

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