黑龙江省佳木斯市第二中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


2014—2015 学年度下学期期末考试

高二数学(理科)试卷
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟。 (1) 答题前,考生先将自己的姓名、班级填写清楚,考条粘贴到指定位置。 (2) 选择题用 2B 铅笔作答。 (3) 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。 (4) 保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设 i 是虚数单位,复数 A. 2

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为 2?i 1 B. ? 2 C. ? 2

D.

1 2

2.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , P(? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P(? ≤ 0) ? ( A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84

)

3.已知变量 x, y 呈线性相关关系,回归方程为 y ? 0.5 ? 2 x ,则变量 x, y 是( A.线性正相关关系 C. 由回归方程无法判断其正负相关 B. 线性负相关关系 D.不存在线性相关关系

^

)

4.下面几种推理是类比推理的是





A .两条直线平行,同旁内角互补,如果 ?A 和 ?B 是两条平行直线的同旁内角,则
?A ? ?B ? 180?

B.由平面向量的运算性质,推测空间向量的运算性质 C.某校高二级有 20 个班,1 班有 51 位团员,2 班有 53 位团员,3 班有 52 位团员,由此 可以推测各班都超过 50 位团员 D.一切偶数都能被 2 整除, 2
100

是偶数,所以 2

100

能被 2 整除

5.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 , AA1 ? 1 则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所 成角的正弦值为 ( A、 ) C、

6 6

B、

2 5 5

15 5

D、

10 5

6. 在 2012 年 12 月 30 日那天,佳木斯市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量 及其价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是: y ? ?3.2 x ? a ,则 a =( ) A.24 B.35.6 C.40.5 D.40

7.已知 A、B、C 是不共线的三点,O 是平面 ABC 外一点,则在下列条件中,能得到点 M 与 A、B、C 一定共面的条件是( ) A. OM ?

???? ?

? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? OB ? OB ? OC 2 2 2
? 1 ??? ? ???? 1 ??? 3 3

B. OM ? OA ? OB ? OC D. OM ? 2OA ? OB ? OC

C. OM ? OA ? OB ? OC

???? ?

8、直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A. 30° ) B. 45° C.60° D.90°

9.由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有(
A.72 B.60 C.48 D.52

)

10.随机变量

,若 B. C.

,则

的值为 D.

A.

11.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两 名学生不能分到同一个班,则不同的分法的总数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.12

12.在 (1 ? x) 5 (2 ? x) 的展开式中,含 x 3 项的系数为 ( A.30 B.-20 C.-15

) D. ? 30

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)

2? ? 13.若二项式 ? x ? 2 ? 的展开式共 7 项,则该展开式中的常数项为 x ? ?

n

.

14. 五名高二学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名 同学拿对自己衣服的不同情况有 _____________ 种.(具体数字作答) 15.不等式|x+1|-2>0 的解集是 .

16 . 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 4sin ? 的 圆 心 到 直 线

??

?
6

( ? ? R)

的 距 离



.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x) ? 5; (2)若不等式 f ( x) ? a(a ? R) 的解集为空集,求 a 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分) 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

, ( t 为参数) ,以坐标原点为
2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0 (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测,设各项技 术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 标的概率为
5 ,至少一项技术指标达 12

11 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数, 求 E? 与 D? .

20. (本小题满分 12 分) 延迟退休年龄的问题,近两年引发社会广泛关注,延迟退休年龄的事已是一种必然的趋势, 然而反对的声音也随之而起,现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查,随 机抽调了 50人,他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”持反对态度的人数如下表 月收入 (千 元) 频数 反对人数

?1,2?
5
4

?2,3?
10 8

?3,4?
15
12

?4,5?
10 5

?5,6?
5
2

?6,7?
5
1

(1)由以上统计数据填写下面的 2? 2 列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下 认为月收入以 5 千元为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异? 月收入不低于 5 千元的人数 反对 赞成 合计 参考公式: K ?
2

月收入低于 5 千元的人数

合计

n(ad ? bc)2 ,n ? a ?b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

临界值表

k0

3.841

5.024

6.635

7 .879

P(k ? k0 )

0.05

0.025

0 .010

0.005

?2,3? 的被调查对象中各随机选取两人进行追踪调查, (2)若对在 ?1,2 ? , 记选中 4 人中赞成 “延
迟退休年龄”的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列及数学期望.

21、 (本小题满分 12 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,F 是 DD1 的中点, (1) 求点 A 到平面 A1DE 的距离; (2) 求证:CF∥平面 A1DE, D1 (3) 求二面角 E-A1D-A 的平面角大小的余弦值。
A1 F B1

C1

D E A B

C

(第 21 题图)

22(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 ?ACB ? 90 , AA 1 ? BC ? 2 AC ? 2 .
o

(Ⅰ)若 D 为 AA1 中点,求证:平面 B1CD ? 平面 B1C1D ; ( Ⅱ ) 在 AA1 上 是 否 存 在 一 点 D , 使 得 二 面 角
C1

B1 ? CD ? C1 的大小为 60°.

B1

A1

D C A B

(第 22 题图)

理科参考答案
一、选择题 1 2 A A 3 B 4 B 5 D 6 D 7 C 8 C 9 B 10 B 11 C 12 D

二、填空题 13. 60 14. 20 15. (-∞,-3)∪(1,+∞) 16.

3

三、解答题

? 3 x ? 1 ( x ? 1) ? ? 17.解: (1) f ( x ) ? ? x ? 3 ( ?1 ? x ? 1) ?? 3 x ? 1 ( x ? ?1) ? ?

? f ( x) ? 5 的解集为

? 4 ? x x ? 或x ? ?2 3 ?

?

……5 分

(2) f ( x) ? ?2,??? , f ( x) ? a ?a ? R ?的解集为空集,则 a ? ?? ?,2?

……10 分

18、解: (I)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ;

????3 分

曲线的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 1
2 2

????6 分

(II)设点 P(2 ? cos? , sin ? ) (? ? R) ,则

| 2 cos(? ? ) ? 5 3 | | 3 (2 ? cos? ) ? sin ? ? 3 3 | 6 d? ? 2 2
所以 d 的取值范围是 [

?

5 3?2 5 3?2 , ] 2 2

????12 分

19.解: (Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2
5 ? P 1 ? (1 ? P 2 ) ? (1 ? P 1) ? P 2 ? ? ? 12 由题意得: ? 11 ?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P )? ? 1 2 ? ? 12

????3 分

1 3 2 2 3 解得: P . , P2 ? 或 P , P2 ? ,∴ P ? P 1P 2 ? 1 ? 1 ? 2 4 3 3 4

即,一个零件经过检测为合格品的概率为 . (Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为
13 ?1? 5?1? 1 ? C54 ? ? ? C5 ? ? ? 2 2 16 ? ? ? ?
5 5

1 2

????6 分

??????10 分 ?????12 分

1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~B(4, ), E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 2 2 2 2

20.解: (1) K ?
2

50 ? (33 ? 203)2 ? 6.27 ? 6.635 。不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提 10 ? 40 ? 32 ?18

下 认 为 月 收 入 为 5 千 元 为 分 界 点 的 “ 延 迟 退 休 年 龄 ” 的 态 度 有 差 异。 ????6 分

(2)在 ?1,2 ? 中有 5 人,赞成 1 人,在 ?2,3? 中有 10 人,赞成 2 人,则 X 的可能取值为 0,1,2,3

X P
∴ E( X ) ? 分

0 28 75

1 104 225

2 7 45

3

2 225
??????12

4 5

21、 (1)分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0), A1 (2,0,2),E(1,2,0), D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则

???? ? ???? DA1 ? ? 2,0, 2 ? , DE ? ?1, 2,0 ? ,
设平面 A1DE 的法向量是 n ? ? a, b, c ? ,

z

D1 A1 F

C1 B1

?

y D x E A B C

? ???? ? ?n ? DA1 ? 2a ? 2c ? 0 ? 则 ? ? ???? , n ? DE ? a ? 2 b ? 0 ? ? ? 取 n ? ? ?2,1, 2 ? ,

??? ? ? DA ? n 4 -----------4 分 d? ? 。 ? 9 n ??? ? (2) CF ? ? 0, ?2,1? , ??? ? ? ??? ? ? ?CF ? n ? ?2 ? 2 ? 0,?CF ? n ,所以,CF∥平面 A1DE。


点 A 到平面 A1DE 的距离是

?????7

???? ? ???? DC ? n 1 (3) DC ? ? 0, 2,0 ? 是面 AA1D 的法向量, cos ? ? ???? ? ? DC n 3


?????12

22(Ⅰ)如图,以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 则 C(0,0,0), A(1,0,0), B1 (0, 2, 2), C1 (0,0, 2), D(1,0,1) . 即 C1 B1 ? (0,2,0), DC1 ? (?1,01 ),CD ? (1,0,1) ??2 分

由 C1 B1 ? CD ? (0,2,0) ? (1,0,1) ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 得 C1 B1 ? CD 由 DC1 ? CD ? (?1,0,1) ? (1,0,1) ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 得 DC1 ? CD 分 又 DC1 ? C1B ? C1 ∴ CD ? 平面 B1C1D 又 CD ? 平面 B1CD ??????6 ??????4

∴平面 B1CD ? 平面 B1C1D 分 (Ⅱ)当 AD ? 分

2 AA1 时二面角 B1 ? CD ? C1 的大小为 60°. 2

?????7

设 AD ? a ,则 D 点坐标为 (1, 0, a ) , CD ? (1,0, a), CB1 ? (0,2,2) 设平面 B1CD 的法向量为 m ? ( x, y, z)

??? ?

????

??

?? ???? ? ?? ?m ? CB1 ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 则由 ? ?? ??? ?? ? 令 z ? ?1 得 m ? (a,1, ?1) ? x ? az ? 0 ? ?m ? CD ? 0
分 又∵ CB ? (0, 2,0) 为平面 C1CD 的法向量

????8

??? ?

?? ??? ? m ? CB 1 1 则由 cos 60 ? ?? ??? ? ? ? 2 m ? CB a ?2 2
?

????

10 分 解得 a ? 12 分

2 ,故 AD ? 2 ?

2 AA1 . ∴在 AA1 上存在一点 D 满足题意?????? 2

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