吉林省辽源市田家炳高级中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题

2018-2019 学年度上学期期中考试试卷

一、单选题(60 分)

(高一数学)

1.已知集合









A.

B.

C.

D.

2.设全集为 R,函数

的定义域为 M,则 = (

)

A.

B.

C.

D.

3.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( )

A.



B.



C.



D.



4.函数

的值域为( )

A.

B.

C.

5.已知 f(2x+1)=x2+x,则 f(3)=(

A.

B.

C.

D.

6.已知函数

定义域是

) ,则

D. 的定义域是 ( )

A.

B.

C.

D.

7.下列函数中,既是 偶函数,又在

单调递增的函数是( )

A.

B.

C.

D.

8.函数

的单调增区间是( )

A.

B.

C.

D.

9.若

是 R 上的单调递增函数,则实数 的取值范围为( )

A. (1,+∞) B. [4,8) C. (4,8) D. (1,8)

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10.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a﹣1,3a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( )

A.

B.

C.

D.

11.已知 A. 12.函数





,则 的大小关系为( ).

B.

C.

D.

的零点所在的区间是( )

A. ( ,1) B. (1,2) C. (e,3) D. (2,e)

二、填空题(20 分) 13.已知函数 f(x)是

上的减函数,若 f(a2 -a)>f(a+3),则实数 a 的取值范围为____.

14.已知 f

=lg x,则 f(x)=________.

15.函数 y=8-23-x(x≥0)的值域是________.

16.函数 y ? 2x ?1 ? x 的值域是______.

三、解答题 17.(10 分) ()
.



()

18.(12 分)U ? {x | ?6 ? x ? 5}, M ? {x | 1 ? 2x ? 4} , N ? {x | 0 ? x ? 2} . 8
(1)求 M ? ( ?U N ) ; (2)若 C ? {x | a ? x ? 2a ?1} 且 C ? M ? M ,求 a 的取值范围.
2
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19.(12

分)已知函数

f

?x?

?

a 2x ?

1

?

1

是奇函数,其中

a

是常数.

(1)求函数 f ? x? 的定义域和 a 的值;

(2)若 f ? x? ? 3,求实数 x 的取值范围.

20.(12 分)函数

为 上的奇函数,且



(1)求函数

的解析式;

(2)若

区间

恒成立,求 的取值范围.

21.(12 分)已知一元二次函数 f (x) ? ax2 ? 2x ? c(a ? 0) 的图像与 y 轴交于点 (0,1) , 且满足 f (?4) ? f (0) .
(I)求该二次函数的解析式及函数的零点.
(II)已知函数在 (t ?1, ??) 上为增函数,求实数 t 的取值范围.

22.(12 分)设函数 对任意

时,



(1)证明 为奇函数.

(2)证明 在 上是减函数.

(3)若

都有 ,求 的取值范围.

,且当
3
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参考答案

1.B

【解析】

【分析】

利用指数函数的单调性化简集合 ,利用列举法表示集合 ,结合交集定义求解即可.

【详解】

集合





,故选 B.

【点睛】

集合的基本运算的关注点:

(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问

题的前提;

(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于

解决;

(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图.

2.A

【解析】

【分析】

由 0 指数幂的底数不为 0 ,分母中根式内部的代数式大于 0 联立不等式组求解 ,再由补集

运算得结论.

【详解】





解得 且











,故选 A.

【点睛】

定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求

解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函

4
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数 的定义域为 ,则函数

的定义域由不等式

求出.

3.D

【解析】

【分析】

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.

【详解】

A.函数 g(x)=x0 的定义域为{x|x≠0},所以两个函数的定义域不同,所以 A 不是相同函



B.g(x)= =x﹣2,g(x)的定义域为{x|x≠﹣2},所以两个函数的定义域不同,所以

B 不是相同函数. C.g(x)=( )2=x,x≥0,两个函数的定义域不相同,所以 C 表示的是不是相同函数. D.由 g(x)= =|x|,得两个函数的定义域和对应法则相同,所以 C 表示的是相同函数. 故选:D. 【点睛】 本题考查了判断两个函数是否是同一个函数.判断的标准是看两个函数的定义域和对应法则 是否相同. 4.A 【解析】 【分析】 利用常数分离法即可求出其值域. 【详解】 ∵x∈[0,+∞), ∴x+1 ≥1,













∴函数 y= = 故选:A.

的值域为:[﹣1,1).

5
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【点睛】 本题考查了一次分式函数在给定区间上的值域,处理手段一般是常熟分离法,结合反比例函 数的图象即可解决问题. 5.C 【解析】 【分析】 先用换元法求出 的解析式,再计算 的值. 【详解】



,则









,故选 C.

【点睛】

本题主要考查函数解析式的求法,属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种:(1)

根据实际应用求函数解析式;(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后

参数的范围;(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式;

(4)消元法求函数解析式,这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.

6.B

【解析】

【分析】

由已知函数

的定义域求得 y=f(x)的定义域,再由 2x+1 在 f(x)的定义域内求

得 x 的范围得答案.

【详解】

∵函数 y=f(x﹣1)定义域是[﹣3,2],即﹣3≤x≤2,

∴﹣4≤x﹣1≤1,即函数 y=f(x)的定义域为[﹣4,1],

由﹣4≤2x+1≤1,得



∴y=f(2x+1)的定义域是[

].

故选:B.

6
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【点睛】

本题主要考 查函数的定义域、不等式的解法,属于中档题.定义域的三种类型及求法:(1)

已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意

义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数 的定义域为 ,则函数

的定义域由不等式

求出.

7.D

【解析】

【分析】

根据偶函数的义域必须关于原点对称,以及满足 f(x)=f(-x),可依次判断选项中是否满足这

两个条件,即可得到结果.

【详解】

A.

定义域为

,故不满足偶函数的定义;B.

,故

不是偶函数;C.

=

,定义域是 x 不为 0,关于原点对称,是偶函数,

但是在

单调递减,故不正确;D

=

,定义域是 x 不等于 0,且关于原点

对称,满足偶函数的定义域,在

上单调递增.满足题意.

故答案为:D.

【点睛】

本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质;

对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式,但是直接解不等式非常麻烦的问题,可以考虑

研究函数的单调性和奇偶性等,以及函数零点等,直接根据这些性质得到不等式的解集.

8.A

【解析】

函数

,是复合函数,外层减函数,需要求内层的减区间,且和定义域取

交集,
故答案为:A。 9.B 【解析】 【分析】
7
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由题意,逐段考查函数的单调性,结合函数 【详解】

处的性质,即可求得结果.

是 R 上的单调递增函数,

结合指数函数和一次函数的单调性,得

解得

故选 B. 【点睛】 本题考查函数的单调性及其应用,重点考查对基础概念的理解和计算能力. 10.B 【解析】 【分析】 由定义域关于原点对称求出 a 的值,再由 f(﹣x)=f(x)求得 b 的值,则答案可求. 【详解】

由 f(x)=ax2+bx 是定义在[a﹣1,3a]上的偶函数,得 a﹣1=﹣3a,解得:a= .

再由 f(﹣x)=f(x),得 a(﹣x)2﹣bx=ax2+bx,即 bx=0,∴b=0.

则 a+b=



故选:B.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性的性质,函数是偶函数或奇函数,其定义域关于原点对称,是基础题.

11.A

【解析】

【分析】

利用指 数函数、对数函数的性质求解.

【详解】

显然







,因此 最大, 最小,

故选:A.

【点睛】

8
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本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数性 质的合理运用. 12 .B 【解析】 【分析】 直接运用零点存在性定理带选项加以检验得出结论. 【详解】



,当 时,



当 时,

;当 时,

.

在其定义域上单调递增,则函数只有一个零点,又由上式可知

,故函数零点在区间 内.选 .

【点睛】

判断函数零点所在区间通常结合函数的单调性及零点存在性定理求解.

13.

【解析】

【分析】

根据函数单调性和定义域,列出不等式组,解不等式组即可求得 a 的取值范围。

【详解】

因为 f(x)是

上的减函数,若 f(a2 -a)>f(a+3)

所以

,解不等式组得

【点睛】 本题考查了函数的单调性及定义域,属于基础题。

14.lg

(x>1)

【解析】 【分析】

用换元法令

,解得

代入

即可求得结果

9
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【详解】



,则







【点睛】 本题主要考查了用换元法求函数解析式,属于基础题。 15.[0,8) 【解析】 【分析】 由 x≥0 求出 3﹣x 的范围,根据指数函数 y=2x 的单调性,求出函数 y=8﹣22﹣x 的值域. 【详解】 因为 x≥0,所以 3-x≤3, 所以 0<23-x≤23=8,所 以 0≤8-23-x<8, 所以函数 y=8-23-x 的值域为[0,8). 故答案为:[0,8) 【点睛】 本题考查指数函数的单调性的应用,考查整体思想,属于基础题.

16.

? ??

1 2

,

??

? ??

【 解析】令 t ? 2x ?1 ? 0 ,有 x ? t2 ?1 . 2

y ? 2x ?1 ? x ? t ? t2 ?1 ? 1 (t ?1)2 ? 1 .

22

2

函数 y ?

2

x

?

1

?

x

的值域是

? ??

1 2

,

??

? ??

.

17.( ) ;( ) .

【解析】 【分析】

10
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(1)根据指数幂的运算性质求解.(2)根据对数的运算性质求解即可. 【详解】
()

. ()



【点睛】

本题考查指数幂和对数的运算,考查运算能力,解题的关键是根据相应的运算性质求解,同

时要注意运算的正确性.

18.(1)

M

? ?U

N

?

?x|

?3

?

x

?

0或x

?

2

?

(2)

a

?

3 2

【解析】试题分析:

? ? (1)先求出 M 和?U N ,再求 M ? ?U N .(2)由 C ? M ? M 可得 C ? M ,分 C ? ? 和

C ? ? 两种情况讨论求解.

试题解析:

(1)由题意得 M ? {x | ?3 ? x ? 2},

11
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∵ N ? ?x | 0 ? x ? 2?,

∴ ?U N ? ?x| ? 6 ? x ? 0或2 ? x ? 5 ? , ∴ M ?(?U N) ? ?x| ?3 ? x ? 0或x ? 2 ? .
(2)∵ C ? M ? M , ∴C ? M . ①当 C ? ? 时,满足 C ? M , 此时 a ? 2a ?1, 解得 a ?1; ②当 C ? ? ,由 C ? M 得

a ? ?3 {a ? 2a ?1 ,解得1 ? a ? 3 .
2 2a ?1 ? 2

综上 a ? 3 . 2

∴实数

a

的取值范围为

? ??

??,

3 2

? ??



点睛:解答本题时要注意以下几点: (1)在解题中注意 A? B、A∩B=A、A∪B=B 这几个关系式的等价性,要善于将问题进行转 化,这是解决此类问题的一种极为有效的方法.
(2)对于数集关系问题,往往要利用数轴进行分析;当根据 A ? B 求参数的范围时,一定

要分 A ? ? 和 A ? ? 两种情况进行讨论.

19.(1)定义域为{x | x ? R,且x ? 0}, a ? 2 ;(2) ?0,1? .

【 解 析 】 试 题 分 析 : ( 1 ) 由 2x ?1? 0 , 得 函 数 f ?x? 的 定 义 域 , 由 奇 函 数 得

2?

a x ?1

?

1

?

?

a 2x ?

1

?1

,可得

a



(2)由

f

?x?

?

3 ,得

1 2x ?1

? 1,解不等式即可.

试题解析:

(1)由 2x ?1 ? 0 ,得函数 f ? x? 的定义域为{x | x ? R,且x ? 0},

12
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f

? x? 是奇函数,得

a 2?x ?1 ?1 ?

?

2

a x ?1

?

1

,所以

a

?

2.

(2)由(1)知

f

?x?

?

2 2x ?1

? 1 ,由

f

?x?

? 3,得

1 2x ?1

?1,

当 x ? 0 时,

2x ?1,

2x ?1? 0 ,

2

1 x?

1

?

1

不成立,当

x

?

0

时,

2x ?1?1,

x ?1,

所以 f ? x? ? 3时,实数 x 的取值范围是 ?0,1? .

20.(1)

;(2)

.

【解析】 【分析】 (1)根据奇函数的性质求 b,再代值计算求出 a; (2)求出函数 f(x)的最大值即可,根据基本不等式即可求出. 【详解】

(1)





对一切 成立,



恒成立,









.



(2)在区间 上任取 , ,且

,则









,又





故知







故知,函数在 上单调递减.





区间 恒成立,

,即







, 的取值范围是



【点睛】

本题考查了函数恒成立的问题以及奇函数的性质和基本不等式,属于中档题.

13
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21.(I) f (x) ? 1 x2 ? 2x ?1 零点为: ?2 ? 2, ? 2 ? 2 2
【解析】

(II) t ? ?1

试题分析:(I)求函数解析式采用待定系数法,将已知条件代入可得到关于 a,c 的关系式,

从而求得其值,确定函数式;(II)二次函数单调性问题要结合二次函数对称轴及开口方向

求解

试题解析:(I)因为二次函数为 f (x) ? ax2 ? 2x ? c(a ? 0) 的图像与 y 轴交于点 (0,1) ,

故c ?1



又因为函数 f (x) 满足 f (?4) ? f (0) 故: x ? ? 2 ? ?2 2a
由①②得: a ? 1 , c ? 1 2
故二次函数的解析式为: f (x) ? 1 x2 ? 2x ?1 6 分 2

②3 分

由 f (x) ? 0, 可得函数的零点为: ?2 ? 2, ? 2 ? 2 8 分

(II)因为函数在 (t ?1, ??) 上为增函数,且函数图像的对称轴为 x ? ?2 ,由二次函数的图

像可知: t ?1 ? ?2,故t ? ?1. 12 分

考点:二次函数求解析式及函数性质

22.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)



【解析】

【分析】

(1)令

,可得

,再令

,得到

可得到结论;(2)

当 时,

即可得到结论;(3)原不等式等价于

,根据函数单调性可得到

,解出即可.

【详解】

由于函数 对任意 x, 都有

,令

,可得



再令

,可得

,即

,化简可得



故函数 为奇函数.



,则





再由当 时,

,可得

,即

,故有



故 在 R 上是减函数.

14
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,则



再由

,可得



结合 在 R 上是减函数可得

,解得



故 x 的范围为



【点睛】

这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断,函数奇偶性的判断,先要看定义域是否关于原

点对称,接着再按照定义域验证 和

的关系,函数的单调性,一般小题直接判断函

数在所给区间内是否连续,接着再判断当 x 变大时 y 的变化趋势,从而得到单调性.

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