【人教A版】2017年高中数学必修一:1.3.1《函数的单调性》ppt教学课件_图文

第 1 课时 函数的单调性 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P27~P29,回答下列 问题. 函数 f(x)=x,g(x)=x2 的图象如图,观察其变 化规律,指出它们图象中体现的 x,f(x)之间的变 化关系是什么? 图1 图2 提示:在区间(-∞,+∞)上,f(x)的值随着 x 的增 大而增大. 在区间(-∞,0]上,g(x)的值随着 x 的增大而减小; 在区间(0,+∞)上,g(x)的值随着 x 的增大而增大. 2.归纳总结,核心必记 单调性与单调区间 (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意 两 个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有f(x1)<f(x2) , 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数; (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意 两 个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数. (3)如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数 或减函数,那 么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间. [问题思考] (1)图 1 中的函数 f(x)在(-∞, +∞) 上是增函数吗? 提示:是. (2)图 2 中的函数 g(x)在(-∞,0)和 (0,+∞)上分别是什么函数? 提示:g(x)在(-∞,0]上是减函数, 在(0,+∞)上是增函数. (3)图 1、图 2 中的函数的单调区间 各是什么? 提示:图 1 中的函数的单调递增区间是 (-∞, +∞), 图 2 中的函数的递增区间是(0, +∞),递减区间是(-∞,0]. [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的知识点. (1)增函数、减函数的定义是什么? ; (2)函数的单调区间是什么? ; (3)具备什么条件的函数是单调函数? . 观察函数 f(x)=x2 的图象,完成下列 思考. [思考 1] 怎样描述函数 f(x)=x2 随着 自变量 x 值的变化, 函数值 f(x)的变化 情况? 名师指津:在(-∞,0]上,随着自变量 x 值的增大,函数值 f(x)逐渐减小;在(0,+ ∞)上,随着自变量 x 值的增大,函数值 f(x) 逐渐增大. [思考 2] 函数 f(x)=x2 在定义域内 是单调函数吗? 名师指津:不是.并不是所有函数都 有单调性.只有符合单调性定义的函数才 有单调性. [思考 3] 函数定义中对自变量的取 值 x1 和 x2 有什么要求吗? 名师指津:定义中的 x1 和 x2 有如下三个要求: (1)任意性:即“任意取 x1 和 x2”中“任意” 二字不能去掉,证明时不能以特殊代替一般; (2)有大小之分; (3)属于同一个单调区间. [思考 4] 函数 f(x)在区间 D 上是增 (减)函数, 对于任意 x1, x2∈D, 则有“若 x1<x2,则 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))”,反 之是否也成立呢? 名师指津:函数单调性给出了变量 与函数值之间的互化关系, 比如 f(x)在定 义域 I 上是减函数,若 x1,x2∈I,则 f(x1) >f(x2)?x1<x2. [名师点拨] 通过以上问题的思考, 可以总结出利用定义证明函数是增函数 或减函数的步骤.(请看讲 1) 讲一讲 4 1.证明函数 f(x)=x+x 在(2,+∞)上是 增函数.(链接教材 P29—例 2) [尝试解答] 任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1+x -x2-x 1 2 4?x2-x1? ?x1-x2??x1x2-4? =(x1-x2)+ x x = . x x 1 2 1 2 ∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 4 ∴函数 f(x)=x+x 在(2,+∞)上是增函数. 证明或判断函数单调性的方法步骤 练一练 x+2 1.利用单调性的定义判断函数 y= x+1 在(-1,+∞)上的单调性. 解:设 x1,x2 是区间(-1,+∞)上任意两个实 x1+2 x2+2 数 且 x1<x2 , 则 f(x1) - f(x2) = - = x1+1 x2+1 x2-x1 . ?x1+1??x2+1? ∵-1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0. x2-x1 ∴ >0, ?x1+1??x2+1? 即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). x +2 ∴y= 在(-1,+∞)上是减函数. x +1 1 观察函数 y=x 的图象,完成下列思考. [思考 1] 1 反比例函数 y= x 的图象 如图,它在区间(-∞,0)和(0,+∞)上 都是减函数,能否说它在定义域上是减 函数?为什么? 提示:不能.显然 x1=-1,x2=1 时, 满足 x1<x2, 但 y1=-1, y2=1, y1 > y2 不成立. [思考 2] 如果函数 f(x)存在单调区 间,那么函数 f(x)是单调函数吗? 名师指津:(1)有些函数存在单调区间, 但不是单调函数,这说明单调性是函数的一 个“局部”性质. (2)当函数出现两个以上单调区间时,单 调区间之间可用“,”分开,但不能用 “∪”,可以用“和”来表示. 讲一讲 2.画出函数 y=|x2-3x+2|的图象并写出函 数的单调区间.(链接教材 P30—例 3) [尝试解答] y = |x2 - 3x + 2| = 2 ? ?x -3x+2,x≤1或x≥2, ? 2 ? - ? x -3x+2?,1<x<2. ? 图象如图所示. ? 3? 可知,单调递增区间是 ?1,2?和[2,+ ? ? ?3 ? ∞)

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