重庆市重庆一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(精编含解析)

2018年重庆一中高2019级高二下期半期考试 数 学 试 题 卷(理科)
第I卷(选择题,共60分) 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分).

1. 是虚数单位,计算 A. B. C. D.

的结果为( )

【答案】B

【解析】分析:根据复数的除法法则计算即可.

详解:由题意得



故选B.

点睛:本题考查复数的除法运算法则,考查学生的运算能力,属于容易题.

2. 极坐标方程

所表示的图形是( )

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆

【答案】D

【解析】分析:将极坐标方程化为直角坐标方程后再进行判断.

详解:∵









代入上式可得

,





∴极坐标方程表示的是以(1,0)为圆心,半径为1的圆. 故选D.

点睛:本题考查极坐标和直角坐标间的互化,考查学生运用所学知识解决问题的能力,解题的关键是灵活

运用极坐标和直角坐标间的转化公式进行求解. 3. 用数学归纳证明:

时,左边应添加的式子是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】试题分析:当

时,左边的式子是

时,从 到

,当

时,左边的式子是

考点:数学归纳法

,观察后增加的式子是

,故选C.

4. 随机变量 服从正态分布

,若

,则

的值( )

A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2

【答案】C

【解析】

,选C.

5.

某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记

为X,则X的数学期望为( )
A. 100 B. 200 C. 300 D. 400
【答案】B

【解析】试题分析:

,所以

考点:二项分布

【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,

如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用

这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速

度. 视频
6. 通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:

做不到“光盘”

能做到“光盘”

男 45

10

女 30

15

则有( )以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,附表及公式

P(K2≥k0)

0.100 0.050 0.010 0.001

k0

2.706 3.841 6.635 10.828

K2=

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:由题意先求出K2,与临界值表对照后可得到结论.

详解:由题意得



∴有超过90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.

故选A.

点睛:独立性检验中,在求得 后查表时注意临界值表中数据的含义,表中第一行数据表示两个变量没有 关联的可能性p,所以其有关联的可能性为1-p.

7. 若

,则

的值为( )

A. 2 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】C

【解析】分析:令 求得 详解:在二项展开式中,

的值,再令 得到 的值,两式相减可得所求.

令 ,得

.

令 ,得 .





故选C.

点睛:因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开

式各项系数和的一种重要方法.

8.

已知函数 两个极值点的概率为( )

,若 是从 中任取的一个数,b是从 中任取的一个数,则该函数有

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】试题分析:将 记为横坐标,将 记为纵坐标,可知总共有

9个的结果,而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相

等的实根,

,满足题中条件为

,即 ,所以满足条件的基本事件有

考点:古典概型. 9.

共6个基本事件,所以所求的概率为

,故选D.

小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人 与他相邻,则不同坐法的总数为( )

A. 60 B. 72 C. 84 D. 96 【答案】C 【解析】 根据题意,可分三种情况讨论: ①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时,

先在其父母中选一人与小明相邻,有 种情况,

将小明与选出的家长看出一个整体,考虑其顺序 种情况, 当父母不相邻时,需要将爷爷奶奶进行全排列,将整体与另一个家长安排在空位中,



种安排方法,此时有

种不同坐法;

②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时,

将父母及小明看成一个整体,

小明在一端,有 种情况,考虑父母之间的顺序,有 种情况,则这个整体内部有

种情况,将这个整体与爷爷奶奶进行全排列,有 种情况,

此时有

种不同坐法;

③小明的父母都小明相邻,即小明在中间,父母在两边,

将 人看成一个整体,考虑父母的顺序,有 种情况,

将这个整体与爷爷奶奶进行全排列,有 种情况,

此时,共有

种不同坐法;

综上所述,共有

种不同的坐法,故选C.

点睛:本题考查了排列、组合的综合应用问题,关键是根据题意,认真审题,进行不重不漏的分类讨论

,本题的解答中,分三种情况:①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻;②小明的父母有

一个人与小明相邻且父母相邻;③小明的父母都与小明相邻,分别求解每一种情况的排法,即可得到答

案。

10.

重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似《最强大脑》的 赛, 两队各由4名选手组 成,每局两队各派一名选手 ,除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设

每局比赛 队选手获胜的概率均为 ,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时 队的得分高于 队的得分的 概率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:分三种情况求解:即A队5分B队0分;A队4分B队1分;A队3分B队2分,然后根据互斥事件 的概率公式可得所求.

详解:(1)A队5分B队0分,即A队四局全胜,概率为



(2)A队4分B队1分,即A队一、二、四局中败1局,第3局胜,

其概率为

.

(3)A队3分B队2分,包括两种情况:①A队第3局败,其余各局胜;②A队第一、二、四局中胜1局,第3局胜.

其概率为



由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为



故选A.

点睛:求解概率问题时首先要通过读题理解题意,分清所求概率的事件及对应的概率类型,然后选择相应

的公式求解.求解时对于复杂事件的概率要合理分解为简单事件的概率处理,同时要合理选择计数的方法,

使得问题的解决顺利进行.

11.

将编号

的小球放入编号为 的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的号不能相同,则不同

的放球方法有( ) A. 16种 B. 12种 C. 9种 D. 6种 【答案】B

【解析】分析:利用分类讨论,求解每一种类型的放球方法数,然后利用分类加法计数原理求解即可.
详解:由题意可知这四个小球有两个小球放在一个盒子中.
当四个小球分组为如下情况时,放球方法有: 当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法. 综上可得不同的放球方法有12种. 故选B. 点睛:分类时要注意以下两点:(1)要根据问题的特点确定一个适合的分类标准,然后在这个标准下进 行分类;(2)分类时要注意满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并 且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法.只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.

12. 已知函数 的最大值为( )

对任意

都存在

使得



A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:由题意得

,令

,然后将 用 表示出来,设



到关于 的函数,通过求函数 的最大值可得所求结果.

详解:由







,则























∴在

上单调递减,且



∴当

时,

单调递增;当

时,

单调递减.

∴当 时, 有最大值,且





的最大值为 .

故选A.

点睛:本题考查恒成立、能成立问题,难度较大,解题的关键是通过引入参数 ,将双变量问题转化为关于参

数 的问题处理,然后利用导数为工具,求得关于 的函数的最值,从而得到所求的最值.

第II卷(非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置

13.

的展开式中的常数项是_____.

【答案】60

【解析】由二项展开式的通项公式可得 项式的展开式中常数项为 14.

,应填答案 。

,令

,则该二

甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试,考试成绩采用等级制(分为三个层次),得 的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知,三名同学中只有一人获得 .三名同学预测谁能直接进入第二
轮比赛如下:甲说:看丙的状态,他只能得 或 ; 乙说:我肯定得 ;丙说:今天我的确没有发挥好,我赞同甲的预测. 事实证明:在这三名同学中,只有一人的预测不准确,那么得 的同学是_____. 【答案】甲 【解析】若得 的同学是甲,则甲、丙预测都准确,乙预测不准确,符合题意;若得 的同学是乙,则甲、 乙、丙预测都准确,不符合题意;若得 的同学是丙,则甲、乙、丙预测都不准确,不符合题意。综上, 得 的同学是甲. 15. 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次任取1个球,取2次,则事件“第一次取得白球的 情况下,第二次恰好取得黄球”的概率为_____.

【答案】 【解析】分析:根据条件概率进行求解即可. 详解:设“第一次取得白球”为事件A,“第二次恰好取得黄球”为事件B.

由题意得







点睛:解决概率问题时,若条件中含有“在……发生的条件下,求……发生的概率”的字样,则一般为条件

概率类型.求解时可根据条件概率的定义进行,即 16.

进行求解.

已知椭圆

, 为其左、右焦点, 为椭圆 上除长轴端点外的任一点, 为

内一

点,满足

,

的内心为 ,且有

(其中 为实数),则椭圆 的离心率 =_____

【答案】 【解析】分析:由题意得 为

的重心,设

,由重心坐标公式可得 的纵坐标,由

可得

内心 的纵坐标与 相同,然后利用

的等式,从而可得离心率.

详解:设







的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立


∴G为


的重心,

∴G点坐标为







∴ 轴,

∴I的纵坐标为 .



中,



∴ 又I为

. 的内心,

∴I的纵坐标 即为内切圆半径.

由于I把

分为三个底分别为

的三边,高为内切圆半径 的小三角形,











∴,

∴椭圆C的离心率



点睛:解答本题时注意两点:(1)读懂向量式的含义,正确地将向量式转化为几何关系,这是解题的基础.(

2)求椭圆的离心率时,要把条件中给出的几何关系转化为关于 的等式或不等式,通过解方程或不等式

可得离心率或其范围.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

已知曲线 的参数方程为 ,曲线 的极坐标方程为

( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 为极角)

(1)分别写出曲线 的普通方程和曲线 的参数方程;

(2)已知 为曲线 的上顶点, 为曲线 上任意一点,求 的最大值.

【答案】(1)

(2)

【解析】试题分析:(1)利用三种方程的转化方法,分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的参数方程;(

2)由(1)知



当 或 时, 最大.

试题解析:

,所以

(1) (2)由(1)知
, 当 或 时, 最大为 . 18.

某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从 中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下:.

(1)写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数; (2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人,记 表示测试成绩在80分以上的人数,求 的分布列和数 学期望 【答案】(1)中位数为76,测试成绩在70分以上的约为2000人(2)见解析 【解析】分析:(1)根据茎叶图中的数据可得中位数,然后根据样本中70分以上的成绩所占的比例可得 总体中70分以上的人数.(2)根据题意得到 的可能取值,分别求出对应的概率得到分布列,然后可得期望.
详解:(1)由茎叶图可得中位数为76,样本中70分以上的所占比例为 , 故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3000× 2000人. (2由题意可得 的可能取值为0,1,2,3,4.

,

,

,

. ∴ 的分别列为:
01234



.

点睛:本题考查茎叶图的应用以及用样本估计总体,同时考查分布列、期望的求法,主要考查学生应用所学 知识解决实际问题的能力和计算能力,属中等题.

19.

如图,已知直角梯形

所在的平面垂直于平面 ,







(Ⅰ)点 是直线 中点,证明 平面 ;

(Ⅱ)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析:(1)建立空间直角坐标系,写出相应点的坐标,得到向量 ,求出平面平面 的

法向量,利用向量 与平面 垂直,即可证明线面平行;(2)求出平面 与平面

的法向量,利

用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值.

试题解析:(1)设AB=a,取AC的中点O,连接EO,OP.

∵AE=AC,又∠EAC=60°,∴EO⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACDE,∴EO⊥平面ABC,∴EO⊥OP,

又OP∥AB,AB⊥AC,所以OP⊥AC.

以射线OP,OC,OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,

如图,

则C(0, ,0),A(0,- ,0),E(0,0, ),

D(0, , ),B(a,- ,0). 则P( ,0,0),

设平面EAB的法向量为 =(x0,y0,z0). =(a,0,0), =(0, , ),



=0,

=0,



,令z0=1,得y0=- ,又x0=0,

∴ =(0,- ,1).





∴DP∥平面EAB (另法:取AB中点F,然后证DP∥EF或证平面ODP∥平面EAB)

(2)设平面EBD的法向量为 =(x1,y1,z1),易知平面ACDE的一个法向量为 =(1,0,0).



,即



令z1=1,则x1= ,y1=0, =( ,0,1).



.

考点:线面位置关系的判定与证明;二面角的求解.

20. 一只药用昆虫的产卵数 与一定范围内与温度 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:

温度 /℃

21 23 24 27 29 32

产卵数 /个

6

11 20 27 57 77

(1)若用线性回归模型,求 关于 的回归方程 = x+ (精确到0.1);

(2)若用非线性回归模型求 关 的回归方程为

且相关指数

( i )试与 (1)中的线性回归模型相比,用 说明哪种模型的拟合效果更好.

( ii )用拟合效果好的模型预测温度为 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数). 附:一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn),

其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计为 .



,相关指数



【答案】(1) =6.6x?138.6.(2)回归方程

比线性回归方程 =6.6x?138.6拟合效果更好.190个

【解析】分析:(1)由题意及给出的公式和参考数据可求出 和 ,进而可得线性回归方程.(2)( i

)由题意可求得(1)中的线性回归模型的相关指数

,故可得回归方程

比线性回归方程 =6.6x?138.6拟合效果更好;( ii )将x=35代入

可得估计值.

详解:(1)由题意得









所以

,

∴ 33?6.6 26=?138.6, ∴y关于x的线性回归方程为 =6.6x?138.6.

(2) ( i )由所给数据求得的线性回归方程为 =6.6x?138.6,





故得相关指数为



因为0.9398<0.9522,

所以回归方程

比线性回归方程 =6.6x?138.6拟合效果更好.

( ii )由( i )得当x= C时,



即当温度x=35℃时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个.

点睛:(1)求回归方程的关键在于正确求出系数 和 ,由于 和 的计算量大,因此计算时应仔细谨慎,合理

运用所给公式和参考数据,避免因计算而产生错误.

(2)根据回归方程进行预报时得到的仅是一个估计值,而不是真实发生的值.

21. 在平面直角坐标系中,点 是直线

上的动点,定点

点 为 的中点,动点 满足

. (1)求点 的轨迹 的方程

(2)过点 的直线交轨迹 于 两点, 为 上任意一点,直线

交 于 两点,以 为直径的圆是否

过 轴上的定点? 若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,说明理由。

【答案】(1)

(2)以 为直径的圆过 轴上的定点

【解析】分析:(1)根据条件可得点 的轨迹是以 为焦点、以直线 为准线的抛物线,其方程为

.(2

)假设以 为直径的圆过 轴上的定点 , 设

.由题意可得



,由



.设直线 的方程为

线方程联立消元后得到二次方程,结合根与系数的关系和上式可得

,解得

可得以 为直径的圆过 轴上的定点



详解:(1)由已知得 垂直平分 ,故

又 轴,





所以点 到点 的距离和到直线 的距离相等,

故点 的轨迹是以 为焦点、以直线 为准线的抛物线,

由条件可得轨迹的方程为



(2)假设以 为直径的圆过 轴上的定点



,与抛物 ,进而



,





直线 的方程为











同理可得

.

由已知得

恒成立,即



即 设直线 的方程为

. ,



消去 整理得



所以



于是



整理得



解得



故以 为直径的圆过 轴上的定点



点睛:(1)抛物线的定义有两方面的作用,一是用来判断点的轨迹是抛物线,二是当已知曲线是抛物线时

,可将曲线上的点到准线的距离和到焦点的距离相互转化,达到快速解题的目的.

(2)判断定点时,可假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数

无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点.

22. 已知函数

曲线

在原点处的切线为

.

(1)证明:曲线

与 轴正半轴有交点;

(2)设曲线

与 轴正半轴的交点为 ,曲线在点 处的切线为直线 ,求证:曲线

上的点都不在

直线 的上方 ;

(3)若关于 的方程

( 为正实数)有不等实根

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析

求证:

【解析】分析:(1)由条件可得

,然后利用单调性及零点存在定理可得存在

使得

,从而得结论成立.(2)由(1)可得曲线

在点 处的切线 :

.令



,则

,由 的单调性可得

,从而可得结论成立.(3)结合以上两问中的有关结论构造新的函数进行证明可得结论成

立.

详解:证明:(1)∵







由已知得

,解得









上单调递增,在







上单调递减,

∴存在 ∴曲线

使得 与 轴正半轴有交点

. .

(2)由(1)可得曲线

在点 处的切线 :













又 故当

时,

, , 单调递增,



时,

, 单调递减,

所以对任意实数 都有



即对任意实数 都有



故曲线

上的点都不在直线 的上方.

(3)由(1)知 所以

, 为减函数.

设方程

的根为



由(2)可知



所以

.



,则



时,

单调递增,



时,

,单调递减,

所以对任意的实数 ,都有





.

设方程 则

的根





所以

.

于是





又 ,则 所以 在 又

, 上为增函数,

所以



所以 点睛:本题考查导数在解决函数综合问题中的应用,难度较大,解决问题的基础是函数的单调性,通过函
数的单调性得到函数的极值、最值,然后再结合所求问题逐步求解. 证明两函数图象间的位置关系时,可通过构造函数,通过判断出函数的单调性,进而转化为函数最值的问 题处理.


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