【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第3课


数学

R B(理)

§4.3 和角公式、倍角公式与 半角公式
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (Cα-β) cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β (Cα+β) sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β (Sα-β) sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β tan α-tan β tan(α-β)= (Tα-β) 1+tan αtan β tan α+tan β tan(α+β)= (Tα+β) 1-tan αtan β
基础知识 题型分类 思想方法

(Sα+β)

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.二倍角公式 sin 2α= 2sin αcos α ;
2 2 cos α - sin α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α ; cos 2α= 2tan α tan 2α= 1-tan2α .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.半角公式 α ± sin = 2 α ± tan = 2
1-cos α ± α 2 ;cos =

2

1+cos α 2



1-cos α 1-cos α sin α 1+cos α = = .

1+cos α

sin α

α 根号前的正负号,由角 所在象限确定. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

4.函数 f(x)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 b 2 2 f(α)= a +b sin(α+ φ)(其中 tan φ=a)或 f(α)= a 2 2 a +b cos(α-φ)(其中 tan φ=b).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

C
B
17 2 50 10 - 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:
(1)分母为根式,可以利用 二倍角公式去根号,然后 寻求分子分母的共同点进 行约分;
(2)切化弦、通分.

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ θ π ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 (1)由 θ∈(0,π),得 0< < , 2 2 2+2cos θ θ ∴cos >0. 2 (0<θ<π). 1+cos 20° 因 此 2+2cos θ = (2)求值: - 2sin 20° θ 2θ 4cos 2=2cos 2. 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

θ θ θ 又(1+sin θ+cos θ)(sin 2- ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 θ cos ) 2 2+2cos θ θ θ θ 2 (0<θ<π). =(2sin cos +2cos )· 2 2 2 1+cos 20° θ θ (2)求值: - (sin -cos ) 2sin 20° 2 2 1 θ 2θ 2θ sin 10° ( -tan 5° ). =2cos (sin -cos ) tan 5° 2 2 2 θ =-2cos cos θ. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(1)化简:

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:
θ -2cos cos θ 2 故原式= θ 2cos 2 =-cos θ.

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

2cos210° - θ θ (2)原式= 2×2sin 10° cos 10° ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 cos 5° sin 5° sin 10° ( - ) sin 5° cos 5° 2+2cos θ cos 10° = -sin 10° · (0<θ<π). 2sin 10° 1+cos 20° cos25° -sin25° (2)求值: - 2sin 20° sin 5° cos 5° cos 10° cos 10° 1 = -sin 10° · sin 10° ( -tan 5° ). 2sin 10° 1 tan 5° sin 10° 2 cos 10° = -2cos 10° 2sin 10°
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(1)化简:

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ cos 10° -2sin 20° ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 = 2sin 10° 2+2cos θ cos 10° -2sin?30° -10° ? = 2sin 10° (0<θ<π). 1 3 cos 10° - 2 ? cos 10° - sin 10° ? 1+cos 20° 2 2 (2)求值: - = 2sin 20° 2sin 10° 3sin 10° 3 1 = = . sin 10° ( -tan 5° ). 2sin 10° 2 tan 5°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ (1)三角函数式的化简要遵循 ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 “三看 ”原则,一看角,二 2+2cos θ 看名, 三看式子结构与特征. (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°
(2)对于给角求值问题,往往 所给角都是非特殊角,解决 这类问题的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数 值;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:
②化为正、负相消的项, 消去求值; ③化分子、分母出现公约 数进行约分求值.

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列, A C A C 3 . 则 tan +tan + 3tan tan 的值为________ 2 2 2 2 2cos 10° -sin 20° (2) 的值是 ( ) sin 70° 1 3 A. B. C. 3 D. 2 2 2

(1)因为三个内角 A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=π, A+C 2π A+C π 所以 A+C= , = ,tan = 3, 3 2 3 2 A C A C 所以 tan 2 +tan 2 + 3tan 2 tan 2 ?A C?? A C? A C =tan? 2 + 2 ??1-tan 2 tan 2 ?+ 3tan 2 tan 2 ? ?? ? ? A C? A C ? ? = 3 1-tan 2 tan 2 + 3tan tan = 3. 2 2 ? ? 解析
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列, A C A C 3 . 则 tan +tan + 3tan tan 的值为________ 2 2 2 2 2cos 10° -sin 20° (2) 的值是 ( C ) sin 70° 1 3 A. B. C. 3 D. 2 2 2

2cos?30° -20° ?-sin 20° (2)原式= sin 70° 2?cos 30° · cos 20° +sin 30° · sin 20° ?-sin 20° = sin 70° 3cos 20° = = 3. cos 20°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角
思维启迪 解析 思维升华

π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 ? ? ?α ? β 1 ? ? ? α - - β 且 cos? =- , sin ? ? ? ?= 2 2 9 ? ? ? ? 2 ,求 cos(α+β)的值; 3 (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β 的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 ? ? ?α ? β 1 α+β ? β? ? ? ? ? ? ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= (1)拆分角: α - = ? ?- 9 2 2 ? ? ? ? ? ? ?α ? 2 ? ? - β ,求 cos(α+β)的值; ? ? ,利用平方关系分别 2 3 ? ?

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 求各角的正弦、余弦. 1 1 (2)2α-β=α+(α-β); α=(α -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β)+β. -β 的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, π 2 (1)∵0<β< <α<π, ? ? ? ? 2 β? 1 ? ?α ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= π α π π β 9 ? ? ? ? ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, 2 ,求 cos(α+β)的值; ?α ? 3 ? ?

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1 1 = -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 ? -β 的值.

∴cos?2-β?
? ?

? ? 5 ? 2?α 1-sin ?2-β?= 3 , ? ? ? β? β? ? ? 2? sin?α-2?= 1-cos ?α-2? ? ? ? ? ?

4 5 = 9 ,
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, α+ β 2 ∴cos 2 ? ? ? ? β α 1 ? ? ? ?? ? ?? β? α - - β 且 cos? =- , sin ?? ? ?α ? ? ? ? ?= 2? =cos??α-2?-?2-β? 9 ? ?2 ? ?? ?? ? ? ?? 2 ? ?α ? ? β? β? ? ? ? ? ? ,求 cos(α+β)的值; =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2? ?· 3 ? ? ? ? ? ?

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β 的值.

?α ? ? sin?2-β? ? ? ? ? 1? ? - =? ? 9 ?× ? ?

5 4 5 2 7 5 + × = , 3 9 3 27 2 α+β ∴cos(α +β)=2cos -1= 2 49×5 239 2× -1=- . 729 729
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 (2)∵tan α = tan[(α - β) + β] ? ? ?α ? β 1 tan?α-β?+tan β ? ? ? ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= = 9 1-tan?α-β?tan β ? ? ? ? 1 1 2 - ,求 cos(α+β)的值; 2 7 1 π 3 = = >0,∴0<α< , 1 1 3 2 1+ × (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 2 7 1 1 2tan α -β)= ,tan β=- ,求 2α 又∵tan 2α=1-tan2α 2 7

-β 的值.

1 2× 3 3 = ? ? = >0, ? 1? 2 4 1-?3? ? ?
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, π 2 ∴0<2α< , ? ? ? ? 2 β? 1 ? ?α ? tan 2α-tan β 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= 9 ∴tan(2α - β) = ? ? ? ? 1+tan 2αtan β 2 3 1 ,求 cos(α+β)的值; + 3 4 7 = =1. 3 1 (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1- × 4 7 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α ∵tan β=-1<0, 2 7 7

-β 的值.

π ∴ <β<π,-π<2α-β<0, 2 3π ∴2α-β=- . 4
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 (1)解题中注意变角, 如本题 ? ? ?α ? β 1 ? ? ? α+β α - - β 且 cos? =- , sin β α ? ? ? ?= 2 2 9 ? ? ? ? 中 =(α- )-( -β); 2 2 2 2 ,求 cos(α+β)的值; (2) 通过求角的某种三角函 3

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 数值来求角,在选取函数 1 1 时,遵照以下原则:①已知 -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 正切函数值,选正切函数; -β 的值.
②已知正、余弦函数值,选 正弦或余弦函数;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 ? ? ?α ? β 1 ? ? ? ? ? ? π ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= 若角的范围是?0, ? 选正、 ?, 9 ? ? ? ? 2 ? ? 2 余弦皆可;若角的范围是 ,求 cos(α+β)的值; 3

(0,π),选余弦较好;若角 (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α ? π π? ? ? - , 的范围为? 2 2 ?,选正弦 1 1 ? ? -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 较好.

-β 的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 ( 5π A. 12 π C. 4 β π π β 解析 (1)cos(α+ )=cos[( +α)-( - )] 2 4 4 2 π π β π π β =cos( +α)cos( - )+sin( +α)sin( - ), 4 4 2 4 4 2 π π π 3π π 2 2 ∵0<α< ,则 < +α< ,∴sin( +α)= . 2 4 4 4 4 3
基础知识 题型分类 思想方法

)

π B. 3

π D. 6

练出高分

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( C ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 ( 5π A. 12 π π π B. C. D. 3 4 6 π π π β π π β 6 又- <β<0,则 < - < ,则 sin( - )= . 2 4 4 2 2 4 2 3 )

β π π β π π β π 故 cos(α+ 2) =cos[4 +α- (4 -2 )] = cos(4 +α)cos(4 - 2 ) +sin(4 + π β 1 3 2 2 6 5 3 α)sin(4-2)=3× 3 + 3 × 3 = 9 ,故选 C. 思想方法 题型分类 练出高分 基础知识

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( C ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 ( 5π A. 12 π B. 3 π C. 4 π D. 6 )

π π (2)∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< . 2 2
10 3 10 又 sin(α-β)=- 10 ,∴cos(α-β)= 10 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( C ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 5π A. 12
又 sin α=

π B. 3

π C. 4

π D. 6

( C )

5 2 5 ,∴cos α= , 5 5 ∴sin β=sin[ α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 5 3 10 2 5 10 2 π = 5 × 10 - 5 ×(- 10 )= 2 . ∴ β = 4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值; 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)]2-2=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值; 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)]2-2=0.

(1) 可 将 f(x) 化 成 y = Asin(ωx+φ)的形式; (2)据已知条件确定 β,再 代入 f(x)求值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值; 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)] -2=0.
2

? ? 7π ? 解 ∵f(x)=sin ?x+ 4 -2π? ?+ ? ? ? π π? ? cos?x-4-2? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ? =sin ?x-4 ? +sin ?x-4 ? ? = ? ? ? ? ? π? ? 2sin?x-4 ? ?, ? ?

∴T=2π,f(x)的最小值为-2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小

(2)证明 由已知得

4 cos βcos α+sin βsin α= , 5 4 值; cos βcos α-sin βsin α=-5, 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 两式相加得 2cos βcos α=0, 5 4 π π π 2 +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: ∵0<α<β≤ , ∴ β = , ∴ [ f ( β )] 5 2 2 2 2π [f(β)]2-2=0. -2=4sin 4-2=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值;

三角变换和三角函数性质相 结合是高考的一个热点,解 题时要注意观察角、式子间

4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 的联系,利用整体思想解题. 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)]2-2=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
π 跟踪训练 3 (1)函数 f(x)= 3sin x+cos( +x)的最大值为 ( C ) 3 1 A.2 B. 3 C.1 D. 2 π π (2)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是________ . 4 π π 解析 (1)f(x)= 3sin x+cos 3· cos x-sin 3· sin x 1 3 π = cos x+ sin x=sin(x+ ). 2 2 6 ∴f(x)max=1.
2 2 (2)f(x)= 2 sin 2x- 2 cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2 π = sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4 2π ∴T= 2 =π.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3 高考中的三角变换问题

典例:(20分)(1)若tan 2θ=-2 2 ,π<2θ<2π,则 2θ 2cos -sin θ-1 2 =________. π 2sin?θ+ ? 4 5 3 10 (2)已知锐角α,β满足sin α= ,cos β= ,则α+β 5 10 等于 ( ) 3π π 3π A. B. 或 4 4 4 π π C. D.2kπ+ (k∈Z) 4 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3 高考中的三角变换问题

(3)(2012· 大纲全国)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α 3 = ,则 cos 2α 等于 ( ) 3 5 5 5 5 A.- B.- C. D. 3 9 9 3 sin 47° -sin 17° cos 30° (4)(2012· 重庆) 等于 ( ) cos 17° 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
审 思题 维路 启线 迪图

高考中的三角变换问题
规 范 解 答
温 馨 提 醒

(1)注意和差公式的逆用及变形;
(2)可求 α+β 的某一三角函数值,结合 α+β 的范围求 角; (3)可以利用sin2α+cos2α=1寻求sin α± cos α与sin α cos α的联系;

(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答

温 馨 提 醒

cos θ-sin θ 1-tan θ 解析 (1)原式= = , sin θ+cos θ 1+tan θ 2tan θ 又 tan 2θ= =-2 2, 1-tan2θ
即 2tan2θ-tan θ- 2=0, 1 解得 tan θ=- 或 tan θ= 2. 2 π ∵π<2θ<2π,∴ <θ<π. 2 1 1+ 2 1 ∴tan θ=- ,故所求= 1 =3+2 2. 2 1- 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

5 3 10 (2)由 sin α= ,cos β= 且 α,β 为锐角,可知 cos α 5 10 2 5 10 = ,sin β= , 5 10 2 5 3 10 5 故 cos(α + β) = cos αcos β - sin αsin β = × - 5 10 5 10 2 × = , 10 2 π 又 0<α+β<π,故 α+β=4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

3 1 (3)由 sin α+cos α= 两边平方得 1+2sin αcos α= , 3 3 2 ∴2sin αcos α=- . 3

∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,
∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2 15 = 1-2sin αcos α= 3 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

? ?sin α+cos α= ? 由? ? sin α-cos α= ? ?
2

3 , 3 15 , 3

? ?sin α= 3+ 15, ? 6 得? 3- 15 ? cos α= . ? 6 ?

5 ∴cos 2α=2cos α-1=- 3 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(4)利用两角和的正弦公式化简原式 sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° 1 = =sin 30° = . cos 17° 2 答案 (1)3+2 2

(2)C (3)A (4)C
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征,灵活 应用公式;对于求角问题,一定要结合角的范围求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.巧用公式变形: 和差角公式变形:tan x± tan y=tan(x± y)· (1?tan x·

方 法 与 技 巧

tan y) ; 倍 角 公 式 变 形 : 降 幂 公 式 cos2α = 1+cos 2α 1-cos 2α 2 ,sin α= , 2 2 ? α α? 2, cos ? 1 + cos α = 配 方 变 形 : 1± sin α = ?sin2± 2? ? 2α 2α 2cos 2,1-cos α=2sin 2.
2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由 y =asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)(其中 tan φ= b )有 a2+b2≥|y|. a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

3.重视三角函数的“三变”:“三变”是指 “变角、变名、变式”;变角:对角的分 拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变 名:尽可能减少函数名称;变式:对式子 变形一般要尽可能有理化、整式化、降低 次数等. 在解决求值、 化简、 证明问题时, 一般是观察角度、函数名、所求 (或所证 明)问题的整体形式中的差异,再选择适 当的三角公式恒等变形.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要 注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、 降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.
2 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 2 所对应的角 α+β 不是唯一的.

失 误 与 防 范

3. 在三角求值时, 往往要估计角的范围后再求值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π π 3 7 1.若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ 等于 4 2 8 3 A. 5 4 B. 5 7 C. 4

( D ) 3 D. 4

3 解析 由 sin 2θ=8 7和 sin2θ+cos2θ=1 得 3+ 7 2 3 7 2 (sin θ+cos θ) = 8 +1=( 4 ) , 3+ 7 π π 又 θ∈[4,2],∴sin θ+cos θ= 4 . 3- 7 3 同理,sin θ-cos θ= 4 ,∴sin θ=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

? ? π? π? 2 1 ? ? ? 2.已知 tan(α+β)= ,tan?β-4 ?= ,那么 tan?α+4 ? ?等 5 4 ? ? ? ?


π π 解析 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 ? π? π ? ? β - 所以 α+ =(α+β)-? ?,所以 4 4 ? ?

13 A. 18

13 B. 22

3 C. 22

( C ) 1 D. 6

? π? ? ? β - tan ? α + β ? - tan ? ? ? ? ? 4? π? π? 3 ? ? ? ? ? ? ?? tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4??= = . ? ? π ? ? ? ?? ? ? ? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.(2013· 重庆)4cos 50° -tan 40° 等于 2+ 3 A. 2 B. C. 3 2
解 析

( C ) D.2 2-1

4sin 40° cos 40° -sin 40° 解析 4cos 50° -tan 40° = cos 40° 2sin 80° -sin 40° 2sin?50° +30° ?-sin 40° = = cos 40° cos 40° 3sin 50° +cos 50° -sin 40° 3sin 50° = = cos 40° = 3. cos 40°

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 10 π π π 4.若 tan α+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值 tan α 3 4 2 4 为 ( ) 2 2 3 2 7 2 A.- B. C. D. 10 10 10 10 1 10 sin α cos α 10 解析 由 tan α+tan α= 3 得cos α+ sin α = 3 , 1 10 3 ∴sin αcos α= 3 ,∴sin 2α=5. π π π ∵α∈(4,2),∴2α∈(2,π), 4 ∴cos 2α=-5.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 10 π π π 4.若 tan α+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值 tan α 3 4 2 4 为 2 A.- 10 2 B. 10 3 2 C. 10 ( A ) 7 2 D. 10

π π π ∴sin(2α+ )=sin 2αcos +cos 2αsin 4 4 4 2 3 4 2 = ×( - )=- . 2 5 5 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A· tan B, 则 C 等于 π A. 3 2π B. 3 π C. 6 π D. 4 ( A )

解析 由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A· tan B-1),
tan A+tan B ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tan Atan B 2 π 又 0<A+B<π,∴A+B=3π,∴C=3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7 π 3 -25 6.若 sin( +θ)= ,则 cos 2θ=________. 2 5
π 3 解析 ∵sin(2+θ)=cos θ=5, 32 7 2 ∴cos 2θ=2cos θ-1=2×(5) -1=-25.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 7.若α=20° ,β=25° ,则(1+tan α)(1+tan β)的值为_____ .
tan α+tan β 解析 由tan(α+β)= =tan 45° =1可得 1-tan αtan β

tan α+tan β+tan αtan β=1,

所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3tan 12° -3 -4 3 8. =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

3sin 12° cos 12° -3 解析 原式= 2?2cos212° -1?sin 12° ? ? 1 3 ? 2 3? - 2 cos 12° ? sin 12° ? 2 ? ? 2 3sin?-48° ? cos 12° = = 2cos 24° sin 12° 2cos 24° sin 12° cos 12° -2 3sin 48° -2 3sin 48° =sin 24° = 1 =-4 3. cos 24° 2sin 48°
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 5 π π 9.已知 tan α=- ,cos β= ,α∈( ,π),β∈(0, ), 3 5 2 2 求 tan(α+β)的值,并求出 α+β 的值.
5 π 解 由cos β= 5 ,β∈(0,2), 2 5 得 sin β= 5 ,tan β=2.
1 tan α+tan β -3+2 ∴tan(α+β)= = = 1. 2 1-tan αtan β 1+3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 5 π π 9.已知 tan α=- ,cos β= ,α∈( ,π),β∈(0, ), 3 5 2 2 求 tan(α+β)的值,并求出 α+β 的值.
π π π 3π ∵α∈( ,π),β∈(0, ),∴ <α+β< , 2 2 2 2

5π ∴α+β= 4 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4
?π ? ? α∈?2,π? ?,且 ? ?

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知

6 α α sin +cos = . 2 2 2

(1)求 cos α 的值;
?π ? 3 ? (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π? ?,求 cos β 的值. 5 ? ? α α 6 解 (1)因为sin 2+cos 2= 2 , 1 两边同时平方,得sin α=2. π 3 又2<α<π,所以 cos α=- 2 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4
?π ? ? α∈?2,π? ?,且 ? ?

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知

6 α α sin +cos = . 2 2 2

(1)求 cos α 的值;
?π ? 3 ? (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π? ?,求 cos β 的值. 5 ? ? π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2 π π π 所以-π<-β<-2,故-2<α-β<2. 3 4 又 sin(α-β)=-5,得 cos(α-β)=5. cos β=cos[ α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) ? 4 3+3 3 3 4 1 ? ? ? =- 2 ×5+2×?-5?=- 10 . ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2 2sin α+sin 2α π 1 π 1.已知 tan(α+ )= ,且- <α<0,则 等 4 2 2 π cos?α- ? 4 于 ( A ) 2 5 3 5 3 10 2 5 A.- B.- C.- D. 5 10 10 5

π tan α+1 1 1 解析 由 tan(α+ )= = ,得 tan α=- . 4 1-tan α 2 3 π 10 又- <α<0,所以 sin α=- . 2 10 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 故 = =2 2sin α=- . π 5 2 cos?α- ? ?sin α+cos α? 4 2
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1
?a ? 2.定义运算? ?c

B组
2

专项能力提升
3 4 5

sin β ? b? 1 ? ? ?sin α ? ?=ad-bc,若 cos α= , 7 ? d? cos β? ?cos α ? 3 3 π = ,0<β<α< ,则 β 等于 ( ) 14 2 π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3
3 3 解析 依题意有 sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= , 14 π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 2 故 cos(α-β)= 1-sin ?α-β?= , 14 1 4 3 而 cos α= ,∴sin α= , 7 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
?a ? 2.定义运算? ?c

B组
2

专项能力提升
3 4 5

sin β ? b? 1 ? ? ?sin α ? ?=ad-bc,若 cos α= , 7 ? d? cos β? ?cos α ? 3 3 π = ,0<β<α< ,则 β 等于 ( D ) 14 2 π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3
于是 sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 4 3 13 1 3 3 3 = × - × = , 7 14 7 14 2 π 故 β=3,选 D.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3. 设

? ? π ? 0 , x∈? 则函数 ? ?, 2 ? ?

2sin2x+1 y= 的最小值为________. sin 2x

2sin2x+1 2-cos 2x 解析 方法一 因为 y= sin 2x = sin 2x , ? 2-cos 2x π? ? 所以令 k= sin 2x .又 x∈?0,2? ?, ? ?
所以 k 就是单位圆 x2+y2=1 的左半圆上的动点 P(-sin 2x, cos 2x)与定点 Q(0,2)所成直线的斜率. 又 2sin2x+1 kmin=tan 60° = 3,所以函数 y= sin 2x 的最小值 为 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3. 设

? ? π ? 0 , x∈? 则函数 ? ?, 2 ? ?

2sin2x+1 3 y= 的最小值为________ . sin 2x

3 1 3 1 ∴2tan x+2tan x≥2 2tan x· = 3. 2tan x 3 π (当 tan x= 3 ,即 x=6时取等号)即函数的最小值为 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

2sin2x+1 3sin2x+cos2x 方法二 y= = sin 2x 2sin xcos x 3tan2x+1 3 1 = = tan x+ . 2tan x 2 2tan x π ∵x∈(0,2),∴tan x>0.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 2 3 10cos α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值.

1 1 解 (1)∵tan(π+α)=-3,∴tan α=-3. π sin 2?2-α?+4cos2α sin 2α+4cos2α ∵tan(α+β)= = 2 10cos α-sin 2α 10cos2α-sin 2α 2sin αcos α+4cos2α 2cos α?sin α+2cos α? = = 2 10cos α-2sin αcos α 2cos α?5cos α-sin α?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 2 3 10cos α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值.

1 sin α+2cos α tan α+2 -3+2 5 = = = = . 1 16 5cos α-sin α 5-tan α 5-?- ? 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 2 3 10cos α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值. (2)tan β=tan[(α+β)-α] tan?α+β?-tan α = 1+tan?α+β?tan α 5 1 + 16 3 31 = = . 5 1 43 1- × 16 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.

2π 1 解 (1)由T= ω =10π得ω=5.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.
? ? ? 5 ? ?f 5α+ π?=-6, ? ?? 3 5 ? ? (2)由? ? 5 ? 16 ?? ? f?5β-6π?= ? 17 ?? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.
?1? ? ? ? 5 π ? ? ? ?2cos 5α+ π + ?=-6, ? ? ? 3 ? 6? 5 ?5? ? ? 得? ?1? 5 ? π? 16 ? ? ? ? ? 2cos? ?5β-6π?+ ?= , ? 6? 17 ? ?5? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.
? ?sin α=3, ? 5 整理得? 8 ? cos β= . ? 17 ?
基础知识 题型分类
? π? ? ? 0 , ∵α,β∈? ?, 2 ? ?

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.

4 15 2 ∴cos α= 1-sin α= ,sin β= 1-cos β= . 5 17 ∴cos(α+β)=cos αcos β -sin αsin β 4 8 3 15 13 =5×17-5×17=-85.
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


相关文档

【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第6课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第5课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第4课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第3课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第2课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第1课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第4课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第5课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第6课
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第四章 三角函数、解三角形 第1课
电脑版