版高中数学第二章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义一导学案新人教A版必修4(数学教案)


2.4.1 学习目标 平面向量数量积的物理背景及其含义(一) 1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的 功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两 个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,如图. 思考 1 如何计算这个力所做的功? 答案 W=|F||s|cos θ . 思考 2 力做功的大小与哪些量有关? 答案 梳理 条件 结论 记法 规定 非零向量 a 与 b,a 与 b 的夹角为 θ 数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积) 向量 a 与 b 的数量积记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ 零向量与任一向量的数量积为 0 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 知识点二 平面向量数量积的几何意义 思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 上的投影?什么叫做向量 a 在向量 b 上的投影? → → 答案 如图所示,OA=a,OB=b,过 B 作 BB1 垂直于直线 OA,垂足为 B1,则 OB1=|b|cos θ . |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. 思考 2 向量 b 在向量 a 上的投影与向量 a 在向量 b 上的投影相同吗? 答案 由投影的定义知,二者不一定相同. 梳理 (1)条件:向量 a 与 b 的夹角为 θ . (2)投影: 1 向量 b 在 a 方向上的投影 |b|cos θ |a|cos θ 向量 a 在 b 方向上的投影 (3)a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 知识点三 平面向量数量积的性质 思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别? 答案 向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积是数量. 思考 2 非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由什么来决定? 答案 由两个非零向量的夹角决定. 当 0°≤θ <90°时,非零向量的数量积为正数. 当 θ =90°时,非零向量的数量积为零. 当 90°<θ ≤180°时,非零向量的数量积为负数. 梳理 设向量 a 与 b 都是非零向量,它们的夹角为 θ , (1)a⊥b?a·b=0. ?|a||b|,a与b同向, ? (2)当 a∥b 时,a·b=? ?-|a||b|,a与b反向. ? (3)a·a=|a| 或|a|= a·a. 2 a·b (4)cos θ = . |a||b| (5)|a·b|≤|a||b|. 类型一 求两向量的数量积 例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹角为 30°时,分别求 a 与 b 的数量积. 解 (1)a∥b,若 a 与 b 同向,则 θ =0°, a·b=|a||b|cos 0°=4×5=20; 若 a 与 b 反向,则 θ =180°, ∴a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当 a⊥b 时,θ =90°,∴a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,a·b=|a||b|cos 30° 2 =4×5× 3 =10 3. 2 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是:(1)求 a 与

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