2018_2019版高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时两个计数原理学案

第 1 课时 两个计数原理 学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一 些简单的实际计数问题. 知识点一 分类加法计数原理 第十三届全运会在中国天津盛大召开,一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务,每 天有 7 个航班,6 列火车. 思考 该志愿者从上海到天津的方案可分几类?共有多少种出行方法? 答案 两类,即乘飞机、坐火车.共有 7+6=13(种)不同的出行方法. 梳理 (1)完成一件事有两类不同的方案, 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法, 在第 2 类方案 中有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. (2)完成一件事有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,…,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事共有 N=m1+m2+… +mn 种不同的方法. 知识点二 分步乘法计数原理 若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务,但需在青岛停留,已知从上海到青岛每 天有 7 个航班,从青岛到天津每天有 6 列火车. 思考 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤?共有多少种出行方法? 答案 两个,即先乘飞机到青岛,再坐火车到天津.共有 7×6=42(种)不同的出行方法. 梳理 (1)完成一件事需要两个步骤, 做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方 法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法. (2)完成一件事需要 n 个步骤, 做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法, …, 做第 n 步有 mn 种不同的方法,则完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法. 1.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( × ) 2.在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.( √ ) 3.在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( √ ) 4.在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完 成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( √ ) 1 类型一 分类加法计数原理 例 1 设集合 A={1,2,3,4}, m, n∈A, 则方程 + =1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆的有( A.6 个 C.12 个 考点 分类加法计数原理 题点 分类加法计数原理的应用 答案 A 解析 因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以 m>n.当 m=4 时,n=1,2,3;当 m=3 时,n=1,2;当 B.8 个 D.16 个 x2 y2 m n ) m=2 时,n=1,即所求的椭圆共有 3+2+1=6(个). 反思与感悟 (1)应用分类加法计数原理时, 完成这件事的 n 类方法是互不干扰的, 无论哪种 方案中的哪种方法,都可以独立完成这件事. (2)利用分类加法计数原理解题的一般思路 跟踪训练 1 满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实数解的有序数对 (a,b)的个数为( ) D.10 2 A.14 B.13 C.12 考点 分类加法计数原理 题点 分类加法计数原理的应用 答案 B 解析 由已知得 ab≤1. 若 a=-1 时,b=-1,0,1,2,有 4 种可能; 若 a=0 时,b=-1,0,1,2,有 4 种可能; 若 a=1 时,b=-1,0,1,有 3 种可能; 若 a=2 时,b=-1,0,有 2 种可能. 2 ∴共有(a,b)的个数为 4+4+3+2=13. 类型二 分步乘法计数原理 例2 一种号码锁有 4 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 共十个数字,这 4 个拨号盘可以 组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复) 考点 分步乘法计数原理 题点 分步乘法计数原理的应用 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第一步,有 10 种拨号方式,所以 m1=10; 第二步,有 10 种拨号方式,所以 m2=10; 第三步,有 10 种拨号方式,所以 m3=10; 第四步,有 10 种拨号方式,所以 m4=10. 根据分步乘法计数原理,共可以组成 N=10×10×10×10=10 000(个)四位数的号码. 引申探究 若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码? 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第一步,有 10 种拨号方式,即 m1=10; 第二步,去掉第一步拨的数字,有 9 种拨号方式,即 m2=9; 第三步,去掉前两步拨的数字,有 8 种拨号方式,即 m3=8; 第四步,去掉前三步拨的数字,有 7 种拨号方式,即 m4=7. 根据分步乘法计数原理,共可以组成 N=10×9×8×7=5 040(个)四位数的号码. 反思与感悟 (1)应用分步乘法计数原理时, 完成这件事情要分几个步骤, 只有每个步骤都完 成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ①分步:将完成这件事的过程分成若干步; ②计数:求出每一步中的方法数; ③结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果. 跟踪训练 2 从-1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)=ax +bx+c 的系数, 可组成不同的二次函数共______个,其中不同的偶函数共________个.(用数字作答) 考点 分步乘法计数原理 题点 分步乘法计数原理的应用 答案 18 6 解析 一个二次函数对应着 a,b,c(a≠0)的一组取值,a 的取法有 3 种,b 的取法有 3 种, 2 c 的取法有 2 种,由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数 3×3×2=18(个). 3 若二次函数为偶函数, 则 b=0.a 的取法有 3 种, c 的取法有 2 种, 则由分步乘法计数原理知, 共有不同的偶函数 3

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