高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:第一章 1.3 第二课时 诱导公式(二) 含答案

第二课时

诱导公式(二)

预习课本 P26~27,思考并完成以下问题 π (1) -α 的终边与 α 的终边有怎样的对称关系? 2

(2)诱导公式五、六有哪些结构特征?

[新知初探] 诱导公式五和公式六

[点睛] 这两组公式实现正弦和余弦的相互转化.

[小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角 α 只能是锐角.( (2)sin(90°+α)=-cos α.( 答案:(1)× (2)× ) 1 5 ) )

5π ? 1 2.已知 sin? ? 2 +α?=5,那么 cos α=( A.- C. 1 5 2 5 B.- D. 2 5

答案:C π ? 1 ?π ? 3.若 cos? ?2-α?=2,则 cos?2+α?=( A.- C.- 1 2 3 2 B. 1 2 3 2 )

D.

答案:A 3π ? 4.化简:sin? ? 2 +α?=________. 答案:-cos α

利用诱导公式化简 [典例] 化简: π π +α?cos? -α? sin? ?2 ? ? 2 ? cos?π+α? π ? sin?π-α?cos? ?2 +α? + . sin?π+α?

π ? ?π ? [解] ∵sin? ?2+α?=cos α,cos?2-α?=sin α, cos(π+α)=-cos α,sin(π-α)=sin α, π ? cos? ?2+α?=-sin α,sin(π+α)=-sin α, ?-sin α? cos α· sin α sin α· ∴原式= + =-sin α+sin α=0. -cos α -sin α

用诱导公式进行化简的要求 (1)化简后项数尽可能的少. (2)函数的种类尽可能的少. (3)分母不含三角函数的符号. (4)能求值的一定要求值. (5)含有较高次数的三角函数式,多用因式分解、约分等. [活学活用] cos?α-π? π? ?π ? 化简:(1) · sin? ?α-2?cos?2+α?; sin?π-α? π? ?3π ? (2)sin(-α-5π)cos? ?α-2?-sin? 2 +α?cos(α-2π).

cos[-?π-α?] ?π ?? 解:(1)原式= · sin? ?-?2-α??(-sin α) sin α = = cos?π-α? ?-sin?π-α??(-sin α) · ?2 ?? sin α ? -cos α · (-cos α)(-sin α) sin α

=-cos2α.

?π ?? (2)原式=sin(-α-π)cos? ?-?2-α??+cos α·
cos[-(2π-α)] π ? =sin[-(α+π)]cos? ?2-α?+cos αcos(2π-α) =-sin(α+π)sin α+cos αcos α =sin2α+cos2α =1.

利用诱导公式证明恒等式 3π? ? π? 2sin? ?θ- 2 ?cos?θ+2 ?-1 [典例] 求证: 1-2sin2?π+θ? = tan?9π+θ?+1 . tan?π+θ?-1

3π ? ?-sin θ?-1 -2sin? ? 2 -θ?· [证明] 左边= 1-2sin2θ



?π ?? 2sin? ?π+?2 -θ??sin θ-1
1-2sin2θ π ? -2sin? ?2-θ?sin θ-1 1-2sin2θ -2cos θsin θ-1 cos2θ+sin2θ-2sin2θ





?sin θ+cos θ?2 sin θ+cos θ = = . sin2θ-cos2θ sin θ-cos θ

tan θ+1 sin θ+cos θ 右边= = . tan θ-1 sin θ-cos θ ∴左边=右边,故原式成立.

三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也 可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公 式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法. [活学活用] 求证: · sin(α-2π)·cos(2π-α)=sin2α. 5π ? ? sin? 2 +α? π ? cos? ?2-α? 证明:左边= · [-sin(2π-α)]cos α= π ? ? sin?2+α? sin α sin α [-(-sin α)]cos α= · sin α· cos α=sin2α=右边,故原式成立. cos α cos α π? cos? ?α- 2?

利用诱导公式求值 cos?π-θ? cos?2π-θ? 5 [典例] 已知 = ,求 的值. 3π 8 ? -θ?-1? ?π+θ?-sin?3π+θ? cos θ? sin cos ? π + θ ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? cos?π-θ? -cos θ [解] ∵ = ?3π ? ? cos θ?-cos θ-1? cos θ? ?sin? 2 -θ?-1? = 1 5 = , 1+cos θ 8

3 ∴cos θ= . 5 cos?2π-θ? ∴ π ? ?3π ? cos?π+θ?sin? ?2+θ?-sin? 2 +θ? = cos θ -cos θcos θ+cos θ



1 1 5 = = . 3 2 1-cos θ 1- 5

用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式 化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少. π (2)对于 π±α 和 ± α 这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而运用后一套公式 2 必须变名. [活学活用] 1 已知 cos(75°+α)= ,求 cos(105°-α)-sin(15°-α)的值. 3 解:cos(105°-α)-sin(15°-α) =cos[180°-(75°+α)]-sin[90°-(75°+α)] =-cos(75°+α)-cos(75°+α) 2 =- . 3

层级一

学业水平达标
)

π ? ?π ? 1.若 sin? ?2+θ?<0,且 cos?2-θ?>0,则 θ 是( A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

π ? ?π ? 解析:选 B 由于 sin? ?2+θ?=cos θ<0,cos?2-θ?=sin θ>0,所以角 θ 的终边落在第二 象限,故选 B. 1 2.已知 sin θ= ,则 cos(450°+θ)的值是( 5 A. 1 5 2 6 5 B.- D. 1 5 )

C.-

2 6 5

解析:选 B

1 cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=- . 5

π 3 π ? 3.已知 cos? ?2+φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ 等于( A.- 3 3 B. 3 3

)

C.- 3

D. 3

π 3 3 π π ? 解析:选 C 由 cos? ?2+φ?=-sin φ= 2 ,得 sin φ=- 2 .又|φ|<2,∴φ=-3,∴tan φ =- 3. π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? 4.已知 tan θ=2,则 =( π +θ?-sin?π-θ? sin? ?2 ? A.2 C.0 B.-2 D. 2 3

)

π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? cos θ+cos θ 解析:选 B = π ? +θ -sin?π-θ? cos θ-sin θ sin? ?2 ? = 2 2 = =-2. 1-tan θ 1-2 )

5.若角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是( A.cos(A+B)=cos C A+C C.cos =sin B 2 B.sin(A+B)=-sin C B+C A D.sin =cos 2 2

解析:选 D ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C, ∴cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,故 A,B 错. A+C π-B ∵A+C=π-B,∴ = , 2 2 A+C π B? B ∴cos =cos? ?2- 2 ?=sin 2 ,故 C 错. 2 B+C π A? A ∵B+C=π-A,∴sin =sin? ?2 - 2 ?=cos 2 ,故 D 正确. 2 6.sin 95°+cos 175°的值为________. 解析:sin 95°+cos 175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°) =cos 5°-cos 5°=0.

答案:0 π 2 2 ? 3 7.若 sin? ?2+θ?=5,则 cos θ-sin θ=________. π 3 16 7 2 2 2 2 ? 解析:sin? ?2+θ?=cos θ=5,从而 sin θ=1-cos θ=25,所以 cos θ-sin θ=-25. 7 答案:- 25 3π? 8.化简:sin(-α-7π)·cos? ?α- 2 ?=________. 3π ? 解析:原式=-sin(7π+α)· cos? ? 2 -α?

?-cos?π-α?? =-sin(π+α)· ? ? 2 ??
=sin α· (-sin α) =-sin2α. 答案:-sin2α 1 9.已知 sin(π+α)=- . 3 3π α- ?; 求:(1)cos? 2? ? π ? (2)sin? ?2+α?. 1 1 解:∵sin(π+α)=-sin α=- ,∴sin α= . 3 3 3π? 1 ?3π ? (1)cos? ?α- 2 ?=cos? 2 -α?=-sin α=-3. π 1 8 2 2 ? (2)sin? ?2+α?=cos α,cos α=1-sin α=1-9=9. 1 ∵sin α= ,∴α 为第一或第二象限角. 3 π 2 2 ? ①当 α 为第一象限角时,sin? ?2+α?=cos α= 3 . π 2 2 ? ②当 α 为第二象限角时,sin? ?2+α?=cos α=- 3 . π ? 1 10.已知 cos? ?2+α?=3, π ? ?π ? ?3π ? sin? ?2+α?cos?2-α? sin?π-α?cos? 2 +α? 求值: + . cos?π+α? sin?π+α?

cos αsin α sin αsin α 解:原式= + -cos α -sin α =-sin α-sin α=-2sin α. π 1 ? 1 又 cos? ?2+α?=3,所以-sin α=3. 2 所以原式=-2sin α= . 3

层级二

应试能力达标
)

π ? ?3π ? 1.若 sin(π+α)+cos? ?2+α?=-m,则 cos? 2 -α?+2sin(6π-α)的值为( 2 A.- m 3 2 C. m 3 3 B.- m 2 3 D. m 2

π ? 解析:选 B ∵sin(π+α)+cos? ?2+α?=-m, m 即-sin α-sin α=-2sin α=-m,从而 sin α= , 2 3π 3 ? ∴cos? ? 2 -α?+2sin(6π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-2m. 2.已知 f (x)=sin x,下列式子成立的是( A.f (x+π)=sin x π? C.f ? ?x-2?=-cos x 解析:选 C )

B.f (2π-x)=sin x D.f (π-x)=-f(x)

f(x+π)=sin(x+π)=-sin x;

f(2π-x)=sin(2π-x)=sin(-x)=-sin x; π? ? π? ?π ? f ? ?x-2?=sin?x-2?=-sin?2-x?=-cos x; f(π-x)=sin(π-x)=sin x=f(x),故选 C.

π ? 3.已知 α 为锐角,2tan(π-α)-3cos? ?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则 sin α 的值是( A. C. 3 5 5 3 10 10 ) B. 3 7 7 1 3

D.

解析:选 C 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β-1=0.∴tan α=3,又 sin α sin2α sin2α 9 3 10 tan α= ,∴9= 2 = ,∴sin2α= ,∵α 为锐角,∴sin α= ,选 C. cos α cos α 1-sin2α 10 10 1 4.已知 cos(60°+α)= ,且-180°<α<-90°,则 cos(30°-α)的值为( 3 A.- C.- 2 2 3 2 3 B. 2 2 3 2 3 )

D.

1 解析: 选 A 由-180°<α<-90°, 得-120°<60°+α<-30°, 又 cos(60°+α)= >0, 3 所以-90°<60°+α<-30°, 即-150°<α<-90°, 所以 120°<30°-α<180°, cos(30° -α)<0,所以 cos(30°-α)=sin(60°+α)=- 5.tan(45°+θ)· tan(45°-θ)=________. sin?45°+θ? sin?45°-θ? 解析:原式= · cos?45°+θ? cos?45°-θ? = sin?45°+θ? sin[90°-?45°+θ?] · cos?45°+θ? cos[90°-?45°+θ?] sin?45°+θ?cos?45°+θ? =1. cos?45°+θ?sin?45°+θ? 1-cos2?60°+α?=- 1? 2 2 2 1- ? ?3? =- 3 .



答案:1 6.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°+sin290°的值为________. 解析:∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1, sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1, sin2x°+sin2(90°-x°)=sin2x°+cos2x°=1(1≤x≤44, x∈N), ∴ 原 式 = (sin21° + sin289°) + (sin22° + sin288°) + … + (sin244° + sin246°) + sin290°+sin245°=45+ 答案: 91 2

? 2?2=91. ?2? 2

3π? sin?α-3π?cos?2π-α?sin? ?-α+ 2 ? 7.已知 f(α)= . cos?-π-α?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3π? 1 (2)若 α 是第三象限的角,且 cos? ?α- 2 ?=5,求 f(α)的值. 3π ? sin?α-3π?cos?2π-α?sin? ?-α+ 2 ? 解:(1)f(α)= cos?-π-α?sin?-π-α? = ?-sin α?· cos α· ?-cos α? ?-cos α?· sin α

=-cos α. 3π? (2)因为 cos? ?α- 2 ?=-sin α, 1 所以 sin α=- . 5 又 α 是第三象限的角, 所以 cos α=- 2 6 所以 f(α)= . 5 1?2 2 6 1-? ?-5? =- 5 .

3π ? 6 8.已知 sin(3π-α)= 2cos? ? 2 +β?,cos(π-α)= 3 cos(π+β),且 0<α<π,0<β<π,求 sin α 和 cos β 的值. 解:由已知,得 sin α= 2sin β, 3cos α= 2cos β, 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2, 1 即 sin2α+3(1-sin2α)=2,所以 sin2α= . 2 又 0<α<π,则 sin α= 将 sin α= 2 . 2 ① ②

2 1 代入①,得 sin β= . 2 2

3 又 0<β<π,故 cos β=± . 2


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