2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-3 直线与平面垂直的性质

一、选择题 1.如果直线 l 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内( A.不存在与 l 垂直的直线 B.存在一条与 l 垂直的直线 C.存在无数条与 l 垂直的直线 D.任意一条都与 l 垂直 [答案] C [解析] 若 l?α, 显然在 α 内存在无数条直线与 l 垂直; l∥α, 若 过 l 作平面 β∩α=l′,则 l∥l′, ∵在 α 内存在无数条直线与 l′垂直,从而在 α 内存在无数条直 线与 l 垂直; 若 l 与 α 斜交,设交点为 A,在 l 上任取一点 P, 过 P 作 PQ⊥α,垂足为 Q,在 α 内存在无数条直线与 AQ 垂直, 从而存在无数条直线与直线 PA(即 l)垂直. 2.过一点和已知平面垂直的直线条数为( A.1 条 C.无数条 [答案] A [解析] 已知:平面 α 和一点 P. 求证:过点 P 与 α 垂直的直线只有一条. B.2 条 D.不能确定 ) )

证明:不论点 P 在平面 α 外或平面 α 内,设 PA⊥α,垂足为 A(或 P).如果过点 P 还有一条直线 PB⊥α,设 PA、PB 确定的平面为 β, 且 α∩β=a,于是在平面 β 内过点 P 有两条直线 PA、PB 垂直于交线 a,这是不可能的.所以过点 P 与 α 垂直的直线只有一条. 3.若两直线 a 与 b 异面,则过 a 且与 b 垂直的平面( A.有且只有一个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在 [答案] B [解析] 当 a⊥b 时,有且只有一个. 当 a 与 b 不垂直时,不存在. 4.已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂 直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( A.平行 C.斜交 [答案] B [解析] 设 a,b 为异面直线,a∥平面 α,b∥α,直线 l⊥a,l⊥ b. 过 a 作平面 β∩α=a′,则 a∥a′,∴l⊥a′. B.垂直 D.不能确定 ) )

同理过 b 作平面 γ∩α=b′,则 l⊥b′, ∵a,b 异面,∴a′与 b′相交,∴l⊥α. 5.(2012-2013· 杭州高二检测)如下图,设平面 α∩β=EF,AB ⊥α,CD⊥α,垂足分别是 B、D,如果增加一个条件,就能推出 BD ⊥EF,这个条件不可能是下面四个选项中的( )

A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上 D.AC 与 α、β 所成的角相等 [答案] D 6.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不重合的平面,给 定下列四个命题,其中真命题的是( ①若 m⊥n,n?α,则 m⊥α; ②若 a⊥α,a?β,则 α⊥β; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n; ④若 m?α,n?β,α∥β,则 m∥n. A.①和② C.③和④ [答案] B [解析] ①中,直线 m 垂直于平面 α 内的一条直线 n,则直线 m B.②和③ D.①和④ )

与平面 α 不一定垂直,所以①不是真命题;②是平面与平面垂直的判 定定理,所以②是真命题.③是直线与平面垂直的性质定理,所以③ 是真命题;④中 m 与 n 可能是异面直线,所以④不正确. 7.如下图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的 中点,则直线 CE 垂直于( )

A.AC C.A1D [答案] B

B.BD D.A1D1

[解析] 易得 BD⊥面 ACC1A1,又 CE?面 ACC1A1, ∴CE⊥BD.

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其 边界上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( A.线段 B1C )

B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [答案] A

[解析] ∵DD1⊥平面 ABCD, ∴D1D⊥AC, 又 AC⊥BD,∴AC⊥平面 BDD1, ∴AC⊥BD1.同理 BD1⊥B1C. 又∵B1C∩AC=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. 而 AP⊥BD1,∴AP?平面 AB1C. 又 P∈平面 BB1C1C,∴P 点轨迹为平面 AB1C 与平面 BB1C1C 的 交线 B1C.故选 A. 二、填空题 9.已知直线 m?平面 α,直线 n?平面 α,m∩n=M,直线 a⊥ m,a⊥n,直线 b⊥m,b⊥n,则直线 a,b 的位置关系是________. [答案] 平行 [解析] 由于直线 a 垂直于平面 α 内的两条相交直线 m,n,则 a ⊥α.同理,b⊥α,则 a∥b.

10.已知 AF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD,如右图所示,且 AF=DE,AD=6,则 EF=________. [答案] 6 [解析] ∵AF⊥平面 AC,DE⊥平面 AC,∴AF∥DE. 又∵AF=DE,∴四边形 ADEF 是平行四边形. ∴EF=AD=6.

11.如图,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90° ,EF∥PA,则图中直角 三角形的个数是________. [答案] 6 [解析] 由 PA⊥平面 ABC,得 PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC, 又∵BC⊥AC,AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥PC. ∵EF∥PA,PA⊥平面 ABC,

∴EF⊥平面 ABC, ∴EF⊥BE,EF⊥EC. ∴△PAB,△PAC,△ABC,△PBC,△EFC,△BEF 均为直角 三角形. 12.△ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 α 的距离分别为 2 cm、 3 cm、4cm,且它们在 α 的同侧,则△ABC 的重心到平面 α 的距离为 ________. [答案] 3 cm [解析] 如图,设 A、B、C 在平面 α 上的射影分别为 A′、B′、 C′,

△ABC 的重心为 G,连接 CG 并延长交 AB 于中点 E, 又设 E、G 在平面 α 上的射影分别为 E′、G′, 1 5 则 E′∈A′B′,G′∈C′E′,EE′=2(A′A+B′B)=2, CC′=4, CG?GE=2? 1 在直角梯形 EE′C′C 中, , 可求得 GG′ =3. 三、解答题

13.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等 边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:平面 BCE⊥平面 CDE. [分析] 由题意易知 AF⊥平面 CDE,只需在平面 BCE 中找一直 线与 AF 平行即可.

[证明] 取 CE 的中点 G,连接 FG,BG,AF. ∵F 为 CD 的中点, 1 ∴GF∥DE,且 GF=2DE. ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE.则 GF∥AB. 1 又∵AB=2DE,∴GF=AB.

则四边形 GFAB 为平行四边形.于是 AF∥BG. ∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE=D,CD,DE?平面 CDE, ∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. 规律总结:此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题.证 明时要综合题目中的条件,利用条件和已知定理来证.或者从结论出 发逆推分析.

14.在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 是矩形,AE⊥PD 于 E,l⊥平面 PCD.求证:l∥AE. [分析] 转化为证明 AE⊥平面 PCD, 进而转化为证明 AE 垂直于 平面 PCD 内的两条相交直线 PD 和 CD. [证明] ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD. 又四边形 ABCD 是矩形,∴CD⊥AD,PA∩AD=A,PA?平面 PAD,AD?平面 PAD,

∴CD⊥平面 PAD. 又 AE?平面 PAD,∴AE⊥DC. 又 AE⊥PD,PD∩CD=D,PD?平面 PCD,CD?平面 PCD, ∴AE⊥平面 PCD. 又 l⊥平面 PCD,∴l∥AE. 15.如下图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 与异面直线 AC, A1D 都垂直相交.求证:EF∥BD1.

[分析] 转化为证明 EF⊥平面 AB1C,BD1⊥平面 AB1C.

[证明] 连接 AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示. ∵DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,BD∩DD1=D,

∴AC⊥平面 BDD1B1. ∴AC⊥BD1, 同理 BD1⊥B1C,又 AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D,且 A1D∥B1C, ∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面 AB1C.∴EF∥BD1. 规律总结:当题中垂直条件很多,但又需证两直线的平行关 系时,就要考虑直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的 转化.

16.如图,已知四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥AB; (2)若 PA=AD,求证:MN⊥平面 PCD. [证明] (1)取 CD 的中点 E,连接 EM、EN, 则 CD⊥EM,且 EN∥PD.

∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD, 又 AD⊥DC,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD,从而 CD⊥EN. 又 EM∩EN=E,∴CD⊥平面 MNE. 因此,MN⊥CD,而 CD∥AB, 故 MN⊥AB. (2)在 Rt△PAD 中有 PA=AD, 取 PD 的中点 K,连接 AK,KN, 1 则 KN 綊2DC 綊 AM,且 AK⊥PD. ∴四边形 AMNK 为平行四边形,从而 MN∥AK. 因此 MN⊥PD.由(1)知 MN⊥DC,又 PD∩DC=D, ∴MN⊥平面 PCD.


相关文档

2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-2-3 直线与平面平行的性质
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:2-3-3 直线与平面垂直的性质
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-4 平面与平面垂直的性质
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-2-4 平面与平面平行的性质
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:2-3-1 直线与平面垂直的判定
【精选】2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:2-3-3 直线与平面垂直的性质
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:2-3-2 平面与平面垂直的判定
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:2-2-4 平面与平面平行的性质
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-1 直线与平面垂直的判定
电脑版