2009-2010年高二数学文科上学期期末考试数学试卷新课标人教A版必修5 (1)

2009-2010 年高二数学文科上学期期末考试数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 。 1 1 x y 1.设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1, 若a ? b ? 3, a ? b ? 2 3 , 则 ? 的最大值为( ) x y 3 1 A.2 B. C .1 D. 2 2 2.在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x ⊙ ( x ? 2) <0 的实数 x 的取值范围
为( A.(0,2) ). B.(-2,1) C. (??,?2) ? (1,??) D.(-1,2)
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.

3.平面内到定点 M(2,2)与到定直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离相等的点的轨迹是( A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线



4.两个正数 a、b 的等差中项是 离心率 e 等于( A. ) B.

x2 y2 5 ,一个等比中项是 6 ,且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的 2 a b
13 3

3 2
1 3

15 2

C. 13

D.

5.若函数 y ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是( A. ( ,?? ) B. (??, ]



1 3

C. [ ,?? )

1 3

D. (??, ) )

1 3

6.数列 ?an ? 是正项等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a 6 ?b 7 ,则有( A. a3 ? a9 ? b4 ? b10 C. a 3 ?a9 ? b4 ? b10 B. a3 ? a9 ? b4 ? b10

D. a3 ? a9与b4 ? b10 大小不确定 ) 。

7. 设直线 y ? x ? 1 与抛物线 x 2 ? 4 y 交于 A、 B 两点, 则 AB 的中点到 x 轴的距离为 ( A.4 B.3 C.2 D.1

? 1? 8.若不等式 x2+ax+1?0 对于一切 x? ? 0, ? 恒成立,则 a 的最小值是 ( ? 2? 5 A.0 B. –2 C.D.-3 2 x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r= ( 9.双曲线 ) 6 3 A. 3 B.2 C.3 D.6
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10.设 ?ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列, sin A 、 sin B 、 sin C 成等比数列,则这个三 角形的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等腰直角三角形
?x ? 0

D.等边三角形

11.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分, ? 3
?3 x ? y ? 4 ?
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4

则 k 的值是

7 A. 3

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

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12. 设函数 f ( x) ?

? sin ? 3 3 cos ? 2 x ? x ? 3 tan ? ? x ,其中 ? ? [0, ] , f '( x) 为 f ( x) 的导 6 3 2
) C. [ 2, 2] D. [ 3,3]

函数,则 f '(1) 的取值范围是( A. [?2, 2] B. [ 2, 3]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.已知关于 x 的不等式

ax ? 1 1 <0 的解集是 (??, ?1) ? (? , ??) .则 a ? x ?1 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14.若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 s ? y ? x 的最小值为__________ . ?y ? 5 ? x2 ? y 2 ? 1的右焦点重合,则 p 的值等 于 15.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 3 1 16. 设 函 数 f ( x) ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ...... ? an xn?1 , f (0) ? , 数 列 {an } 满 足 2

f (1) ? n2 an (n ? N * ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 等于

三、解答题: (本大题共 6 小题, 共 74 分。 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 。 17.(本小题满分 12 分) 1 1 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? cx ? d (a, c, d ? R)满足 f (0) ? 0, 3 4

f ' (1) ? 0, 且f ' ( x) ? 0在R 上恒成立.
(1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?
3 2 b 1 x ? bx ? ? , 解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0; 4 2 4
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18.(本小题满分 12 分)

设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 cos( A ? C ) ? cos B ?

3 , 2

b 2 ? ac ,求角 B.

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19. (本小题满分 12 分)

(1)求

的最小值;

(2)若

,且

,求

的最大值.

20. (本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,如果对于任意的 n ? N ? ,点

Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? 2x 2 ? x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线斜率为 k n ,
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? k n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 12 分)如图,椭圆长轴端点为 A, B ,O 为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点, 且 AF ? FB ? 1 , OF ? 1 . (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两 点, 问: 是否存在直线 l , 使点 F 恰为 ?PQM 的垂心? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分).如图,已知点 F 为抛物线 C : y ? 4x 的焦点,点 P 是准线 l 上的
2

动点,直线 PF 交抛物线 C 于 A, B 两点,若点 P 的纵坐标为 m (m ? 0) ,点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (1)求直线 PF 的方程; (2)求 ?DAB 的面积 S 范围; (3)设 AF ? ?FB , AP ? ? PB ,求证: ? ? ? 为定值.
y

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

P A D O F x

l

B

2009-2010 年高二上学期期末考试数学(文科)答案
一. 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 A 10 D 11 C 12 D

二. 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.
15. -2 4 . 14. 16. -6 .

n . n ?1 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,写出解答过程或证明过程)
17.解: (1)? f (0) ? 0, ? d ? 0

? f ' ( x) ? ax 2 ?

1 1 x ? c及f ' (1) ? 0, 有a ? c ? 2 2 1 ? f ' ( x) ? 0在R上恒成立 , 即ax 2 ? x ? c ? 0 恒成立 2 1 1 2 即 ax ? x ? ? a ? 0 恒成立 2 2 显然 a ? 0 时,上式不能恒成立 1 1 ? a ? 0, 函数 f ?( x) ? ax 2 ? x ? ? a 是二次函数 2 2
由于对一切 x ? R, 都有f ?( x) ? 0, 于是由二次函数的性质可得

?a ? 0, ? ? 1 2 1 (? ) ? 4a( ? a) ? 0. ? 2 ? 2

a ? 0, ? ? 1 ? ?a ? 0, 1 1 1 2 , 即 , 解得 : a ? 2 ? a ? a? ?0 (a ? ) ? 0 4 ? ? 2 16 4 ? ? 1 a?c? . 4 1 1 2 1 1 (2)? a ? c ? . ? f ?( x) ? x ? x ? . 4 4 2 4 1 1 1 3 b 1 ?由f ?( x) ? h( x) ? 0, 即 x 2 ? x ? ? x 2 ? bx ? ? ? 0 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x ? (b ? ) x ? ? 0, 即( x ? b)( x ? ) ? 0 2 2 2
即?

当b ?

1 1 1 1 1 时, 解集为 ( , b), 当b ? 时, 解集为 (b, ) ,当 b ? 时, 解集为 ? 2 2 2 2 2
3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2
cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= sinAsinC=

(18)解:由 cos(A ? C)+cosB=

3 , 2

3 . 4

又由 b =ac 及正弦定理得

2

sin 2 B ? sin Asin C, 故 sin 2 B ?
sin B ?
又由

3 , 4

3 2



sin B ? ?

π 2 π 3 (舍去) ,于是 B= 或 B= . 3 3 2
所以 B=

b2 ? a c 知b ? a或 b ? c

π 。 3

19.解: (1)解法一:? y

?

x2 ? 5 x2 ? 4

?

x2 ? 4 x2 ? 4

?

1 (? t ? ) t x2 ? 4

1

令t 令

? x 2 ? 4 (t ? 2) ,则 t 2 ? yt ? 1 ? 0(t ? 2)

f (t ) ? t 2 ? yt ? 1(t ? 2) ,? f (0) ? 1
2

显然 t

? yt ? 1 ? 0 只有一个大于或等于 2 的根,

? f (2) ? 0


f (2) ? 4 ? 2 y ? 1 ? 0 ? y ?

5 5 x2 ? 5 ,即 y ? 的最小值是 2 2 x2 ? 4



解法二:? y

?

x2 ? 5 x ?4
2

?

x2 ? 4 x ?4
2

?

1 (? t ? ) t x ?4
2

1

令t

? x 2 ? 4 (t ? 2)

利用图象迭加,可得其图象(如下图)

?t ? 2
当t

? 2 时, y ? t ?

1 1 5 ? 。 递增,? y min ? 2 ? t 2 2

(2)? a

? 0,b ? 0,a 2 ?

b2 ?1 2
1? b2 2 ? ? ? ? ? ?
2

? a 1 ? b 2 ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 2a 2 ?

? 2 1 b2 ?a ? ? 1? b 2 2 ? 2 a2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ?
2

1 3 2 ? 2 ( 2 )2 ? 2 4 1?

? 2 1? b2 ?a ? 2 ? 2 3 2 ? 2 b 当 ?a ? 时, a 1 ? b 2 ,b ? ?1 ? a ? 2 2 2 ? ?a ? 0,b ? 0 ? ?
20.解:由题意得: S n ? 2n 2 ? n, n ? N ? ,

的最大值为

3 2 4

(1) S n?1 ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1), n ? N ? 且 n ≥ 2 ,可得 ∴ an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? n ? 2(n ?1) 2 ? (n ?1) ? 4n ? 3,
2 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ?1 ? 1 ? 1 ? 4 ?1 ? 3

∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 3 . (2)由题意过点 Pn (n, S n ) 的切线斜率为 k n ,则 k n ? f ?(n) ? 4n ? 1 ∴ bn ? an ? k n ? 4n ? 3 ? 4n ? 1 ? 8n ? 4 ? 4(2n ? 1) ,

∴数列 {bn } 为等差数列,即 Tn ?

n(b1 ? bn ) n[4 ? 4(2n ? 1)] ? ? 4n 2 2 2

∴数列 {b } 的前 n 项和为 Tn ? 4n 2 . n

21 解: (1)如图建系,设椭圆方程为

,则 c ? 1 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

又∵ AF ? FB ? 1 即 ∴a
2

(a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a2 ? c2

?2

x2 故椭圆方程为 ? y2 ? 1 2
(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰 为 ?PQM 的垂心,则 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 , 于是设直线 l 为 y ? x ? m ,由 ?

? y ? x?m 得 2 2 ?x ? 2 y ? 2

3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 ???? ??? ? ∵ MP ? FQ ? 0 ? x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1) 又 yi ? xi ? m(i ? 1,2)
得 x1 ( x2

? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即
由韦达定理得

2x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ?1) ? m2 ? m ? 0
2m2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) ? m2 ? m ? 0 3 3
解得 m ? ?

4 4 或 m ? 1 (舍) 经检验 m ? ? 符合条件 3 3
m , 所 2

22.解: (Ⅰ) 由题知点 P, F 的坐标分别为 (?1, m) ,(1, 0) , 于是直线 PF 的斜率为 ? 以直线 PF 的方程为 y ? ?

m ( x ? 1) ,即为 mx ? 2 y ? m ? 0 . 2

? y 2 ? 4 x, ? (Ⅱ)设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,由 ? 得 m y ? ? ( x ? 1), ? ? 2

m2 x2 ? (2m2 ? 16) x ? m2 ? 0 ,

所以 x1 ? x2 ?

2m2 ? 16 4m2 ? 16 | AB | ? x ? x ? 2 ? , .于是 . x1 x2 ? 1 1 2 m2 m2
2| m| m2 ? 4
,所以

点 D 到直线 mx ? 2 y ? m ? 0 的距离 d ?

1 1 4(m2 ? 4) 2 | m | 4 S ? | AB | d ? ? 4 1? 2 . 2 2 2 2 m m m ?4
因为 m ? R 且 m ? 0 ,于是 S ? 4 ,所以 ?DAB 的面积 S 范围是 (4, ??) . (Ⅲ)由(Ⅱ)及 AF ? ? FB , AP ? ? PB ,得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(1 ? x1, ? y1 ) ? ?( x2 ?1, y2 ) , (?1 ? x1, m ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ? m) ,
于是 ? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 ,? ? ( x2 ? ?1 ).所以 x2 ? 1 x2 ? 1

??? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 2 ? 2 x1 x2 ? ? ?0. x2 ? 1 x2 ? 1 ( x2 ?1)( x2 ?1)

所以 ? ? ? 为定值 0 .

22. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距离为 (I)求 p 与 m 的值; (II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q , 交 x 轴于点 M ,过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N . 若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

17 . 4

20 .(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ax, x ? ? 0, ?? ? x

2 0 0 9 0 4 2 3 (a 为实常数).

(Ⅰ) 当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)若 f ? x ? 在 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围

21 解: (1)如图建系,设椭圆方程为 又∵ AF ? FB ? 1 即 ∴a
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 1 a 2 b2

(a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a2 ? c2

?2

x2 故椭圆方程为 ? y 2 ? 1 …………6 分 2
(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰 为 ?PQM 的垂心,则 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 , ……8 分 于是设直线 l 为 y ? x ? m ,由 ?

? y ? x?m 得 2 2 ?x ? 2 y ? 2

…………………………………10 分 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 ???? ??? ? ∵ MP ? FQ ? 0 ? x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1) 又 yi ? xi ? m(i ? 1,2) 得 x1 ( x2

? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即
由韦达定理得

2x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ?1) ? m2 ? m ? 0
2m2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) ? m2 ? m ? 0 3 3
解得 m ? ?

4 4 或 m ? 1 (舍) 经检验 m ? ? 符合条件………15 分 3 3

20.解:∵ f ?( x) ?

1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a? , x x x2

(Ⅰ)a = 0 时, f ?( x) ?

x ?1 x2



当 0<x<1 时 f ?( x) ? 0 ,当 x>1 时 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) min ? f (1) ? 1 ; (Ⅱ)当 a≥0 时, ax 2 ? x ? 1 在[2,+∞)上恒大于零,即 f ?( x) ? 0 ,符合要求;

当 a<0 时,令 g ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ,g (x)在[2,+∞)上只能恒小于零
? ?1 ? 4a ? 0 1 ? 故△=1+4a≤0 或 ? g (2) ? 0 ,解得:a≤ ? 4 ? 1 ?2 ?? ? 2a

∴a 的取值范围是 (?? , ?

1 ] ? [0 , ? ?) 4
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(18) (本小题满分 12 分)

设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? 求 B. (18)解:
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3 2 , b ? ac , 2



cos(A ? C)+cosB=

3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2
cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= sinAsinC=

3 , 2

3 . 4

又由 b =ac 及正弦定理得
2 sin B ? s iA n

2

sC in

,



sin 2 B ?

3 , 4

sin B?
于是 B= 又由 所以

3 2



sin B??

3 (舍去) , 2

π 2 π 或 B= . 3 3

b2 ? a c 知b ? a或 b ? c
B=

π 。 3

1 1 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? cx ? d (a, c, d ? R)满足 f (0) ? 0, 3 4

f ' (1) ? 0, 且f ' ( x) ? 0在R 上恒成立.
(1)求 a, c, d 的值;

(2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? , 解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0; 4 2 4

(1)? f (0) ? 0, ? d ? 0

? f ' ( x) ? ax 2 ?

1 1 x ? c及f ' (1) ? 0, 有a ? c ? 2 2 1 ? f ' ( x) ? 0在R上恒成立 , 即ax 2 ? x ? c ? 0 恒成立 2 1 1 2 即 ax ? x ? ? a ? 0 恒成立 2 2 显然 a ? 0 时,上式不能恒成立 1 1 ? a ? 0, 函数 f ?( x) ? ax 2 ? x ? ? a 是二次函数 2 2
由于对一切 x ? R, 都有f ?( x) ? 0, 于是由二次函数的性质可得

?a ? 0, ? ? 1 2 1 (? ) ? 4a( ? a) ? 0. ? 2 ? 2

a ? 0, ? ? 1 ? ?a ? 0, 1 1 1 2 即? 2 , 即? , 解得 : a ? a ? a? ?0 ( a ? ) ? 0 4 ? ? 2 16 4 ? ? 1 a?c? . 4 1 1 2 1 1 (2)? a ? c ? . ? f ?( x) ? x ? x ? . 4 4 2 4 1 2 1 1 3 2 b 1 ?由f ?( x) ? h( x) ? 0, 即 x ? x ? ? x ? bx ? ? ? 0 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x ? (b ? ) x ? ? 0, 即( x ? b)( x ? ) ? 0 2 2 2 1 1 1 1 1 当 b ? 时, 解集为 ( , b), 当b ? 时, 解集为 (b, ) ,当 b ? 时, 解集为 ? 2 2 2 2 2

22. 】 (本题满分 12 分) 【理科】已知函数 f ( x) ? (I)求 f ( x) 的极值;

1 ? a ? ln x , a ? R. x

(II)若 ln x ? kx ? 0在(0,??)上恒成立 , 求k 的取值范围; (III)已知 x1 ? 0, x2 ? 0, 且x1 ? x2 ? e, 求证 : x1 ? x2 ? x1 x2 .

19.解:由题意得: S n ? 2n 2 ? n, n ? N ? , (1) S n?1 ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1), n ? N ? 且 n ≥ 2 ,可得 ∴ an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? n ? 2(n ?1) 2 ? (n ?1) ? 4n ? 3, 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ?12 ? 1 ? 1 ? 4 ?1 ? 3 ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 3 . (2)由题意过点 Pn (n, S n ) 的切线斜率为 k n ,则 k n ? f ?(n) ? 4n ? 1 ∴ bn ? an ? k n ? 4n ? 3 ? 4n ? 1 ? 8n ? 4 ? 4(2n ? 1) ,

∴数列 {bn } 为等差数列,即 Tn ?

n(b1 ? bn ) n[4 ? 4(2n ? 1)] ? ? 4n 2 2 2

∴数列 {b } 的前 n 项和为 Tn ? 4n 2 . n

【解析】 : (Ⅰ)? f ( x) ?
/

a ? ln x , 令 f / ( x) ? 0 得 x ? ea ……………2 分 2 x

当 x ? (0, e ), f ( x) ? 0, f ( x) 为增函数;
a /

当 x ? (e , ??), f ( x) ? 0, f ( x) 为减函数,
a / a ?a 可知 f ( x) 有极大值为 f (e ) ? e …………………………..4 分

(Ⅱ)欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,只需

ln x ? k 在 (0, ??) 上恒成立, x



g ( x) ?

ln x ( x ? 0). x
1 e

由(Ⅰ)知, g ( x)在x ? e处取最大值 ,

?k ?

1 ……………………8分 e ln x 在 (0, e) 上单调递增, x

(Ⅲ)? e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 f ( x) ?

?

ln( x1 ? x2 ) ln x1 x1 ln( x1 ? x2 ) ? 即 ? ln x1 x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2 ln( x1 ? x2 ) ? ln x2 x1 ? x2

①,

同理

②…………………………..10 分

两式相加得 ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln x1x2

? x1 ? x2 ? x1x2

……………………………………12 分

22. (本小题满分 14 分)已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距离 为

17 . 4

(I)求 p 与 m 的值; (II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于 点M , 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N . 若 MN 是 C 的切线, 求 t 的最小值.

(22) (本小题满分 12 分)

2 0 3 x2 y2 已知椭圆 C: a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为0 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 9 2 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 两点,当 2 0 2 2 4 2 3

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。
? ? ?

(22)解:

(Ⅰ)设 F ?c,0?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0, O 到 l 的距离为

0?0?c 2


?

c 2

c 2

?

2 , c ?1 2

由 e? 得 a?

c 3 ? a 3

3 , b ? a2 ? c2 = 2

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2 x + 3 y =6. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ) 当l不垂直x轴时,设 l的方程为y ? k ( x ? 1) C 上的点P使OP ? OA ? OB 成立的充要条件是 P点的坐标为( ,且 x1 ? x2 , y1 ? y2)
2

2

2( x1 ? x2 ) 2 ? 3( y1 ? y2 ) 2 ? 6
整理得 2x1 ? 3 y1 ? 2x2 ? 3 y2 ? 4x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6
2 2 2 2

又A、B在C上,即 2 x1 ? 3 y1


2

2

? 6,2 x 2 ? 3 y 2 ? 6

2

2

2

2x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0
2

将 y ? k ( x ? 1)代入2x ? 3 y ? 6, 并化简得

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0
于是 x1 ? x 2 ?

6k 2 3k 2 ? 6 , = , x x 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 ? 4k 2 2 ? 3k 2
3 2

y1 y 2 ? k 2 ( x1 ? 1)(x 2 ? 2) ?

2 代入①解得, k ? 2 ,此时 x1 ? x 2 ?

于是 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) = ? 因此, 当 k ? ? 2 时, P( ,

k 3 k , 即 P ( ,? ) 2 2 2

3 2

2 ) , l的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ; 2

当k ?

3 2 2 时, P( ,? ) , l的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 。 2 2

(ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由 OA ? OB ? (2,0) 知,C 上不存在点 P 使

OP ? OA ? OB 成立。
综上,C 上存在点 P( ,?

3 2

2 ) 使 OP ? OA ? OB 成立,此时 l 的方程为 2

2x ? y ? 2 ? 0

(21) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。
x 2

(I)

求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性;

证明:当 ? ? [0, (21)解:

?
2

]时, f( cos ? ) ? f(sin? ) ? 2

(Ⅰ) f '( x) ? e (ax ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知,
x 2

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ? 1 .
于是 f '( x) ? e x (? x2 ? x ? 2) ? ?e x ( x ? 2)( x ? 1) . 故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0. 从而 f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加.

………2 分

………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 . 从而对任意 x1 , x2 ? [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 . 分 ………10

(21) (本小题满分 12 分) 1 设函数 f ( x) ? x 3 ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24 a ,其中常数 a>1 3
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(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

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(Ⅱ)若当 x≥0 时, f ( x) >0 恒成立,求 a 的取值范围

(21)解: (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a) 由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f ( x) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减 函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3

4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3

f (0) ? 24a
由假设知

?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)


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