成才之路·人教A版数学选修2-2 1.1.3


选修 2-2

第一章

1.1

1.1.3

一、选择题 1.(2013· 济宁梁山一中期中)已知曲线 y=2x3 上一点 A(1,2),则点 A 处的切线斜率等于 ( ) A.0 C.4 [答案] D [解析] Δy=2(1+Δx)3-2×13=6(Δx)+6(Δx)2+(Δx)3,lim → 6,故选 D. 2.(2013· 安阳中学期末)设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行, 则 a 等于( A.1 1 C.- 2 [答案] A [解析] ∵y′|x=1= lim → = lim → 2aΔx+a?Δx? Δx
2 Δx 1 Δx 0

B.2 D.6

Δy = lim [(Δx)2+6Δx+6]= Δx Δx→0

) 1 B. 2 D.-1

a?1+Δx?2-a×12 Δx

Δx 0

= lim (2a+aΔx)=2a, →
Δx 0

∴2a=2,∴a=1. 5? 1 3.曲线 y= x3-2 在点? ?1,-3?处切线的倾斜角为( 3 A.1 5 C. π 4 [答案] B 1 1 [ ?x+Δx?3-2]-? x3-2? 3 3 [解析] ∵y′=li m → Δx Δx 0 1 =li m [x2+xΔx+ (Δx)2]=x2, → 3 Δx 0 ∴切线的斜率 k=y′|x=1=1. π B. 4 π D.- 4 )

π ∴切线的倾斜角为 ,故应选 B. 4 4.设 f ′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( A.不存在 C.与 x 轴垂直 [答案] B [解析] 由导数的几何意义知 B 正确,故应选 B. 5.设 f(x)为可导函数且满足lim →
x 0

)

B.与 x 轴平行或重合 D.与 x 轴斜交

f?1?-f?1-2x? =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处的 2x

切线斜率为( A.2 C.1 [答案] B [解析] lim →
x 0

) B.-1 D.-2

f?1?-f?1-2x? f?1-2x?-f?1? =lim → 2x x 0 -2x

=- lim →

2x 0

f[1+?-2x?]-f?1? -2x

=f ′(1)=-1. 6.曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 C.9 [答案] C [解析] 因为 y′= lim →
Δx 0

)

B.-3 D.15

?x+Δx?3+11-?x3+11? = lim ((Δx)2+3xΔx+3x2)=3x2, 所以切 Δx Δx→0

线的斜率 k=f ′(1)=3,又因为切点为 P(1,12),故切线方程为 3x-y+9=0,令 x=0,得 y =9. 二、填空题 7.已知函数 f(x)=x3+2,则 f ′(2)=________. [答案] 12 [解析] f ′(2)= lim →
Δx 0

?2+Δx?3+2-23-2 Δx

?2+Δx-2?[?2+Δx?2+?2+Δx?· 2+22] = lim Δx Δx→0 = lim [4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4] →
Δx 0 Δx 0

= lim [12+6Δx+(Δx)2]=12. → 8.曲线 y=x3 在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________.

[答案] 54 [解析] 因为 f ′(3)=li m →
Δx 0

?3+Δx?3-33 =27, Δx

所以在点(3,27)处的切线方程为 y-27=27(x-3)即 y=27x-54. 此切线与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0),(0,-54). 1 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S= ×2×54=54. 2 1 9.若函数 f(x)=x- ,则它与 x 轴交点处的切线的方程为________. x [答案] 2x-y-2=0 或 2x-y+2=0 1 [解析] 由 f(x)=x- =0 得 x=± 1,即与 x 轴交点坐标为(1,0)或(-1,0). x 1 1 ?x+Δx?- -x+ x x+Δx ∵f ′(x)=li m Δx Δx→0

?1+ 1 ?=1+ 12. =li m → x?x+Δx?? x Δx 0 ?
1 ∴切线的斜率 k=1+ =2. 1 ∴切线的方程为 y=2(x-1)或 y=2(x+1). 即 2x-y-2=0 或 2x-y+2=0. 三、解答题 7? 1 10.求曲线 y= - x上一点 P? ?4,-4?处的切线方程. x

[解析] ∴y′= lim →

? 1 -1?-? x+Δx- x? ?x+Δx x?
Δx

Δx 0

-Δ x Δx - x?x+Δx? x+Δx+ x = lim Δx Δx→0 1 1 1 ? -1 - ? = lim . ? ?=-x2- Δx→0 ?x?x+Δx? x+Δx+ x? 2 x 1 1 5 ∴y′|x=4=- - =- , 16 4 16 7 4,- ?处的切线方程为: ∴曲线在点 P? 4? ? 7 5 y+ =- (x-4). 4 16 即 5x+16y+8=0.

一、选择题 11.(2013· 嘉兴高二检测)已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相 a 垂直,则 为( b 2 A. 3 1 C. 3 [答案] D [解析] 由导数的定义可得 y′=3x2, ∴y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1=3, a a 1 由条件知,3× =-1,∴ =- . b b 3 12. 已知函数 y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是 x-2y+1=0, 则 f(1)+2f ′(1) 的值是( 1 A. 2 3 C. 2 [答案] D [解析] ∵(1,f(1))在直线 x-2y+1=0 上, ∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1. 1 1 又∵f ′(1)= ,∴f(1)+2f ′(1)=1+2× =2.故选 D. 2 2 13.已知 y=f(x)的图象如图,则 f ′(xA)与 f ′(xB)的大小关系是( ) ) B.1 D.2 ) 2 B.- 3 1 D.- 3

A.f ′(xA)>f ′(xB) C.f ′(xA)=f ′(xB) [答案] B

B.f ′(xA)<f ′(xB) D.不能确定

[解析] 由图可知,曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小,结合 导数的几何意义知 f ′(xA)<f ′(xB),选 B. 二、填空题 14. 如图, 函数 f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 A, B, C 的坐标分别为(0,4), (2,0), (6,4),

则 lim →

Δx 0

f?1+Δx?-f?1? =__________________. Δx

[答案] -2 [解析] 由导数的概念和几何意义知,
Δx→0

lim

f?1+Δx?-f?1? 0-4 =f ′(1)=kAB= =-2. Δx 2-0

15.设 f(x)=f ′(1)+ x,则 f(4)=________. [答案] 5 2
Δx 0

[解析] f ′(1)= lim → = lim → = lim →

f?1+Δx?-f?1? Δx

Δx 0

?f ′?1?+ 1+Δx?-?f ′?1?+1? Δx 1+Δx-1 = lim Δx Δx→0 1 1 = , 1+Δx-1 2

Δx 0

1 ∴f(x)= + x, 2 1 5 ∴f(4)= + 4= . 2 2 三、解答题 16.已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于点 P 的直线方程. [解析] (1)y′=li m →
Δx 0

?x+Δx?3-3?x+Δx?-x3+3x =3x2-3. Δx

则过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 k1=f ′(1)=0, ∴所求直线方程为 y=-2. (2)设切点坐标为(x0,x3 0-3x0),
2 则直线 l 的斜率 k2=f ′(x0)=3x0 -3, 2 ∴直线 l 的方程为 y-(x3 0-3x0)=(3x0-3)(x-x0)

又直线 l 过点 P(1,-2),
2 ∴-2-(x3 0-3x0)=(3x0-3)(1-x0),

1 3 2 ∴x0 -3x0+2=(3x2 0-3)(x0-1),∴(x0-1) (2x0+1)=0,解得 x0=1(舍去)或 x0=- . 2 9 故所求直线斜率 k=3x2 0-3=- , 4 9 于是:y-(-2)=- (x-1),即 9x+4y-1=0. 4 17.(2013· 临沂质检)已知曲线 y=x2+1,是否存在实数 a,使得经过点(1,a)能够作出 该曲线的两条切线?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
2 2 Δy ?x+Δx? +1-x -1 [解析] ∵ = =2x+Δx, Δx Δx

∴y′=li m →

Δx 0

Δy =li m (2x+Δx)=2x. Δx Δx→0

设切点为 P(x0,y0),则切线的斜率为 k=y′|x=x0=2x0,由点斜式可得所求切线方程为 y-y0=2x0(x-x0).
2 又∵切线过点(1,a),且 y0=x0 +1,

∴a-(x2 0+1)=2x0(1-x0), 即 x2 0-2x0+a-1=0.∵切线有两条, ∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得 a<2. 故存在实数 a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a 的取值范围是{a|a<2}.


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