创新大课堂高三人教版数学理一轮复习课时作业2.13函数、导数及其应用(含答案详析)

课时作业 一、选择题 1.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正 数 a,b,若 a<b,则必有 学科王 ( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b) A [∵xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0, ?f(x)? xf′(x)-f(x) -2f(x) ?′= ∴? ≤ ≤0. x2 x2 ? x ? 则函数 f(x) x 在(0,+∞)上是单调递减的, f(a) f(b) a ≥ b .即 af(b)≤bf(a).] B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a) ) 由于 0<a<b,则 2.(2014· 昆明调研)若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0,m)处 有公切线,则 a+b= 学科王 ( A.-1 C.1 C B.0 D.2 ) [依题意得,f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b, 于是有 f′(0)=g′(0),即-asin 0=2×0+b,b=0, m=f(0)=g(0),即 m=a=1,因此 a+b=1,选 C.] 3.(2014· 浙江省名校联考)设函数 ht(x)=3tx-2t2,若有且仅有一个正实数 x0,使 得 h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立,则 x0= 学科王 3 ( A.5 C.3 B. 5 D. 7 ) D [∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立, ∴h7(x0)≥ht(x0)max. 记 g(t)=ht(x0)=3tx0-2t2, 则 g′(t)=3x0-3t2,令 g′(t)=0,得 t=x2 0, 3 易得 ht(x0)max=g(x2 0)=x0, 1 3 ∴21x0-14 7≥x3 0,将选项代入检验可知选 D.] 4.做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元, 侧面的材料每单位面积的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高 的比为 学科王 ( a A.b b C.a C a B. b 2 ) b2 D. a [如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h, 则 V=πR2h. V 设造价为 y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb· 2= πR 2bV 2πaR2+ R , 2bV ∴y′=4πaR- R2 . 2R b 令 y′=0,得 h =a.] 5.(2014· 东北三省三校联考)当 a>0 时,函数 f(x)=(x2-2ax)ex 的图象大致是 ( ) B [利用导数研究函数的单调性、极值等函数性质. 由 f(x)=0 且 a>0 得函数有两个零点 0,2a,排除 A 和 C; 又因为 f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,有 Δ=(2-2a)2 +8a>0 恒成立,所以 f′(x)=0 有两个不等根,即原函数有两个极值点,排除 D,故选 B.] 学科王 3 2 ?2x +3x +1(x≤0), ? 6.若函数 f(x)= ax 在[-2,2]上的最大值为 2,则 a 的取值 ?e (x>0) 范围是 ( ?1 ? A.?2ln 2,+∞? ? ? C.(-∞,0] 1 ? ? B.?0,2ln 2? ? ? 1 ? ? D.?-∞,2ln 2? ? ? ) D [当 x≤0 时,f′(x)=6x2+6x,易知函数 f(x)在(-∞,0]上的极大值点是 x=-1,且 f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2 即可,即 ax≤ln 2 在(0,2] ln 2 1 上恒成立,即 a≤ x 在(0,2]上恒成立,故 a≤2ln 2.] 二、填空题 7.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0, 那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析 学科王 学科王 在(0,+∞)上有 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)单调递增.又函数 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(1)=f(-1)=0.当 x>0 时,f(x)<0,∴0<x<1;当 x<0 时,图 象关于 y 轴对称,f(x)>0,∴x<-1. 答案 (-∞,-1)∪(0,1) 学 科王 8.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围 是________. 解析 学科王 令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 答案 (-2,2) 9.(2014· 广州模拟)设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都 有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为__________. 解析 学科王 (构造法)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 3 1 3 当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥x2-x3.设 g(x)=x2- 3(1-2x) 1 , 3,则 g′(x)= x x4 学科王 1? ? ?1 ? 所以 g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减,因此 g(x)max ? ? ? ? ?1? =g?2?=4,从而 a≥4. ? ? 3 1 当 x<0,即 x∈[-1,0)时,同理 a≤x2-x3. g(x)在区间[-1,0)上单调递增, ∴g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上可知 a=4. 答案 4 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x2+ln x. (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 1 (2)求证:当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)的图象在 g(x)= x3+ x2 的下方. 3

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