现实数学意义下的荷兰高中几何教材研究_图文

学校代码:10052 学 号: S110886 密 级:

硕 士 学 位 论 文
现实数学意义下的高中几何教材研究

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摘 要

现实数学是一种经过实践检验的新型数学教育, 一种与传统数学 教育截然不同的新型数学教育。 “现实”表达了这种数学教育的两个 最重要特征:I.这一数学教育是与“现实”生活相关的,学生从现实 中学习数学,再把学到的数学应用到现实中去,课本中的数学和现实 中的数学始终紧密的联系在一起。II.这一数学教育是“实现” ,学生 通过这一教育所获得数学知识不是教师课堂灌输的现成结果, 而是他 们通过各种方式从熟悉的生活中自己发现和得出结论。 而把数学视为 一项人类活动的观点是现实数学教育的思想基础, 整个现实数学教育 的理论就是在这一基础上构建和发展起来的。 本文以荷兰弗兰登塔尔研究所编写的高中理科数学教材 《几何的 应用与证明》 (Geometry with application and proofs )系列丛书 中的部分章节为载体,通过展现荷兰数学教育现状、荷兰高中数学教 材的基本面貌教材以及研究该教材在体系、内容等方面的处理,分析 了教材如何借助丰富生动的现实情境和问题串引导学生自主探索、 一 步一步从现实世界走进抽象世界的过程。 本文通过分析中国高中几何 教材存在的问题,并将荷兰几何教材与中国教材进行对比,探讨了研 究该教材的现实意义,得出了包含情景教学、注重问题解决、学生数 学素养的培养、 突出学生主体、 运用绘图软件辅助教学和 “问题解决” 成为基本模式等特色, 对我国正在进行中的数学课程教材改革有着重
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要的借鉴和参考价值。 关键词:现实数学教育,情境数学,高中几何,荷兰

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Abstract

Realistic Mathematics is a proven new mathematics education, is a new mathematics very different from the traditional one. "Reality" of this mathematical expression of the two most important features of education: I. The mathematics education with the "reality" of life-related learning mathematics from reality, and then learned the application of mathematics to the real world, textbooks in mathematics and mathematical reality has always been closely linked. II. This math education is "to achieve" the education of students by the results of mathematical knowledge is not ready that indoctrination in classroom teachers get, but they are a variety of ways from the familiar life and conclusions found it themselves. The mathematics regarded as a basic human activity view is realistic mathematics education ideas, theories entire realistic mathematics education is to build and develop on this basis. This paper takes Holland Freudenthal Institute writing application and proof of mathematical textbook "geometry" (Geometry with application and proofs) in part series, this set of teaching material as the carrier,through status of mathematics education in Netherlands,the Dutch

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high school mathematics textbooks,study on the system of the teaching material, content processing on the analysis of the teaching materials with practical situation and problems of vivid series guide students to explore, step by step from the real world into the abstract world, This paper analyzes the Chinese high school geometry textbook problems and the Netherlands geometry textbook comparison with Chinese textbooks, discussesing its practical significance of the study, obtained contains teaching in context , focusing on problem solving, students' mathematical literacy training, prominent position in the student using graphics software assisted teaching and "problem solving" as the basic mode features.There is an important reference materials and reference value for our ongoing mathematics curriculum reform. Keywords: Realistic Mathematics Education,Mathematics in Context, High school geometry, Holland

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目 录

第一章 问题的提出???????????????????1 第一节 研究背景???????????????????1 一、国内外的几何教育发展现状???????????1 二、聚焦荷兰的高中几何教材 ?????????2 第二节 研究的内容、目的及意义????????????3 一、研究内容 ???????????????????3 二、研究目的 ???????????????????3 三、研究意义 ???????????????????3 第三节 研究思路和方法????????????????4 第二章 现实数学教育理念下的荷兰高中几何教材的研究???4 第一节 荷兰数学教育的基本面貌????????????5 一、荷兰的现实数学教育 ??????????????5 二、弗兰登塔尔及其教育思想 ????????????5 三、荷兰高中的数学课程目标 ?????????????6 第二节 荷兰高中几何教材的体系????????????8 一、荷兰中等教育体系简述 ?????????8 二、 弗兰登塔尔研究所编写的高中几何教材体系??????11 第三节 荷兰高中几何教材内容解析 ???????????12 一、现实情境中的数学问题?????????????12
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二、丰富的背景知识????????????????19 三、数学思想与现实问题的结合???????????24 四、数学软件中的教学???????????????34 第四节 荷兰高中几何教材的几个重要特征 ?????36 一、注重学生数学素养的培养????????????36 二、重视数学在情境问题中的应用??????????37 三、突出学生的主体地位以及和教师的互动??????38 四、运用绘图软件辅助教学?????????????38 五、 “问题解决”成为基本模式 ???????????39 第五节 荷兰教材的教学特点 ?????????????39 第三章 中荷高中几何教材的对比分析?????????? 41 第一节 中国高中几何教材的现状 ???????41 一、 我国现行高中数学教材现状 ?????????????41 二、我国现行高中数学教材特点 ???????????41 第二节 中荷高中几何教材的对比 ?????????42 一、中荷高中几何教材的体系对比?????????42 二、中荷高中几何教材的内容对比?????????44 第三节 对我国几何课程建设的启示 ??????????48 参考文献???????????????????????50 致谢?????????????????????????51 攻读学位期间发表的学术论文目录????????????52

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第一章 问题的提出

几何教材的编写和研究作为课程研究的重要内容之一, 因为几何学来自于生 活, 而教材中的理论素材和应用也来自生活实践,所以就要求我们必须先了解几 何课程的发展历程。 在古希腊,作为数学学科的古老核心,几何学可以算是数学的代名词。在经 历了人类社会漫长曲折的发展之后,几何是人类在改造自然、改造社会生活的过 程中发展起来的。它源于生活实践,是人类在生产劳动过程中形成智慧的结晶。 进入到信息社会, 随着新兴科学技术的蓬勃发展,人们不得不对几何问题更加重 视, 几何学也被广泛的运用到各行各业之中,也使得几何成为数学课程的重要组 成部分。 因此, 针对几何课程和教材研究长久以来一直是国际数学课程的关注焦 点之一。

第一节 研究背景 一、国内外的几何教育发展现状
只有时刻关注国内外的几何教育发展的状况和趋势, 才能做好本国几何教材 的改革,而只有做好几何课程教材改革才能实现几何教育方法的改革。 1、几何课程发展的国际趋势 世界各国的几何课程的内容呈现多种多样,重点难点也各不相同。像高于我 国大学高等数学难度的德国数学课程就非常的高深, 可是向量几何的内容却为数 不多,比较重视的是变换几何;法国多用向量处理立体几何、图形变换及矩阵表 示,然而却只有少量的综合平面几何;日本的高三选修有少量的向量几何,比较 重视平面几何选修课; 而英国则用向量方法处理线面关系,却没有综合法的立体 几何;美国用向量、矩阵表示的变换几何;对综合几何要求最高的是俄罗斯,它

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是六国标准中唯一有“三垂线定理”的国家。综合以上几点上可以看出,各国的 几何课程普遍重视数学建模和联系实际,此外对向量几何、坐标几何、变换几何 也还有一定要求。 另外, 在开发几何课程的过程中,国际上普遍更加关注几何模型从现实生活 中产生的过程, 以及两者之间的密切关系;更专注于几何学的教育价值及其丰富 的内容体现;立体几何和平面几何相互交织,深入理解和运用空间几何的素材; 揭示了数学推理的多种思维方式,加强直观性手段和趣味性材料的可读性,弱化 严谨抽象的纯粹演绎证明和公理体系,从具体情境出发,增加实践活动,以加强 对几何的理解。 2、现阶段我国几何教育理论体系的状况 经过长期的改革,中国目前的教学以“定义、公理—定理、公式—例题”为 主要模式,从欧美国家学习大量的先进理念。比如,向美国借鉴了主线为“数学 过程、方法、思想”的教学体系,倡导以“问题情景——建立模型——解释、应 用与拓展”为叙述模式的内容展开,使学生在体验“数学”和“再创造”中,形 成自己对数学概念的看法, 从而在这一过程中体会并学习数学的思想方法。高中 课程中大量的几何内容, 例如空间观念的几何素材呈现方式相对单一,大多都还 是传统的演绎方法,并在公理体系中有大量地论证与计算图形。因此,即使学生 具有一定的逻辑推理能力, 但对几何形状没有全面的认识,缺少理论与实践相结 合的运用,使学生空间想象力的形成与发展受到了限制。

二、聚焦荷兰的高中几何教材
1、数学教育发展的需要 随着我国教育改革的不断深入,学习和借鉴其他国家优秀的教育观念、课程 结构、教材等方面的经验,会对我国的数学教育改革育有很大的帮助。 另一方面, 古今中外的世界各国,数学家们都直接参与到了国家的数学基础 教育体系的改革和发展的潮流中。 因为他们对数学及其发展与其他群体相比有更 深刻理解和独特预见性。所以,在对数学教育的理解和分析方面,数学家的观点 和想法必须受到足够的重视。 弗兰登塔尔就是这样一个无法令人忽视数学家、数
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学教育家。

2、荷兰的现实数学教育 在 2012 年的“国际学生评估项目” (PISA)的测试结果中,荷兰是为数不多 的进入前十的两个欧洲国家之一(另一国是瑞士) 。那么,是什么样的教育让荷兰 的学生在亚洲学生的包围下“突出重围” ,值得我们探究。在荷兰所实行的现实 数学教育无疑是成果显着的,它不同于传统数学教育,是一种新型数学教育。从 传统的数学教育转化到现实数学教育,荷兰的数学教育历经五十多年的实践研 究。 现如今, 绝大多数荷兰的小学课本和所有中学课本都是在现实数学教育理念 的指导下编写出版。 另外, 其他的一些发达国家也都借鉴了现实数学教育思想来 研究、编写数学教材。

第二节 研究的内容、目的及意义
研究荷兰高中几何教材的重要目的之一是通过教材本身, 分析和探讨教材的 思想内涵和内容处理方式等等。

一、研究内容
本文通过研究荷兰的现实教育问题以及分析弗兰登塔尔研究所出版的高中 几何教材, 来探讨在现实数学教育思想的指导下,我国高中几何课程和教材的改 革建议,如何实现我国教材对荷兰教材的借鉴。

二、研究目的
在对荷兰数学教育背景挖掘的基础上, 从不同层面深入分析研究该套高中几 何教材,为我国的高中几何教材提供可学习参考的素材。

三、研究意义
如何切实贯彻实行《数学课程标准》所强调的课程目标,将是现阶段数学教
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育工作者在课程改革的背景下值得深入探讨的问题。 目前我国的研究在缺少在现 实教育理念下, 仅仅关注于荷兰的高中几何课程及其数学教育理念,并深入研究 荷兰的高中几何教材。 本论文的研究将更进一步的探索,通过选择世界数学课程 发展方向最具代表性的荷兰进行几何教材的剖析性梳理分析, 既可能得出相对客 观的一般性结果,又极大的增加了本论文研究的应用价值。

第三节 研究思路和方法
1、文献分析法:在理论上,阅读国内外相关文献,了解目前荷兰高中数学教材 情况,通过基本的原理和方法进行文献分析,在此基础上做理论分析,把握相关 动态。 2、内容分析法:对荷兰弗兰登塔尔研究所编写的高中几何教材 Geometry with application and proofs 和北师大出版的高中数学教材进行深度的内容梳理与 分析。 3、比较分析法:选择部分章节与我国现行高中几何内容进行比对、整理和分析。

第二章 现实数学教育理念下的荷兰高中几何教材的研究

研究荷兰高中几何教材的重要目的之一是通过教材本身, 分析和探讨教材的 思想内涵和内容处理方式。 本文研究的主要对象是弗兰登塔尔研究所开发和编写的部分高中几何教材。 弗兰登塔尔研究所在 2004 年 6 月出版了英文版的荷兰高中理科数学教材《几何 的应用与证明》 (Geometry with application and proofs)系列丛书。该套教材是从 1997 年开始,弗兰登塔尔研究所在实施的一个高中数学课程研究项目时,编写 的一套新高中理科数学教材, 它反映数学教育理念,构成了荷兰高中几何课程的 重要部分。本教材以在科学与技术(Nature and Technology)课程方向上学习的学 生(即理科生)为主要受众,为将来他们的大学学习做准备。 本文将重点研究与分析整套教材的内容体系、内容特色、情景的设置等等。
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并在此基础上, 分析和探讨弗兰登塔尔在教材中渗透的几何思想和方法,从而进 一步研究弗兰登塔尔的几何教育理念。 本文所讨论的都是基于现实数学教育理念下的荷兰高中几何教材, 为了行文 简洁,以下均简称为荷兰高中几何教材。

第一节 荷兰数学教育的基本面貌 一、荷兰的现实数学教育
1、现实数学教育的源起 荷兰现实数学教育(Realistic Mathematics Education 简称 RME)始于 1970 年, 是由弗兰登塔尔数学教育研究所研发并提出的一套理论方法,以此改革数学 教学活动。RME 产生的背景环境是:一、荷兰数学教育家不想让美国新数学浪潮 淹没了本国的数学教育,于是便对这股潮流产生了对抗;二、必须在扎根于荷兰 的前提下,再谈进行数学教育革新的必要性,发展荷兰的数学教育。 2、现实数学教育的基本思想 在现实数学教育四十多年的发展过程中,荷兰人还在持续“构建”RME。它 的基本想法是,作为一种人类活动(mathematics as a human activity) ,数 学从未被认为是一种固定和已终了的数学教育理论。与传统的数学教育(机械式 或结构式)最大的不同在于,RME 提供与情境结合的问题,帮助学生形成和运用 数学概念,学生由于在情境中更能理解并发展数学工具。实施步骤如下:第一, 问题与现实情境相结合;第二,选择适合的情境模式或策略来叙述问题;第三, 总结出一般性原则; 最后进入纯数学理论,也就是回归到传统的数学程序及表征 解题活动,利用模式来解决有关问题,从而让学生汲取正规的数学养分。

二、弗兰登塔尔及其教育思想
1、弗兰登塔尔其人 荷兰著名数学家、数学教育家弗兰登塔尔(Hans Freudenthal)创立了现实数

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学教育思想。 弗兰登塔尔很早就在思考和研究数学教育,在这一点上作为著名数 学家的弗莱登塔尔不同于其他的科学家,他非常关心数学教育。其他知名的科学 家开始关注并钻研教育问题时大多是在他们年老之后, 但弗兰登塔尔早年就已经 开始了数学教育的研究。 早在 1936 年,年轻的弗兰登塔尔就在荷兰成立了学界闻名遐迩的“数学教 育研究小组”(WVO)(现更名为弗兰登塔尔研究所,即 Freudenthal Institute, 简称 FI)。当弗兰登塔尔的RME思想刚开始酝酿之时,20世纪 60 年代世界 范围内的“新数运动”正处于高潮,可弗兰登塔尔却没有盲从,作为当时屈指可 数的反对者之一, 他提倡应该让学生自己重现数学被发现的过程,而这一过程理 应从学生熟悉的现实生活开始和结束。因此,60 年代末的荷兰便开始了从传统 数学教育到现实数学教育的变革,在 70 年代中期获得成果,90 年代初改革目标 基本实现。 2、弗兰登塔尔的数学教育思想 弗兰登塔尔的主要数学教育思想有:要求面向社会现实、联系现实生活的数 学教育, 强调培养和发展学生从客观表象到挖掘数学问题的能力;用再创造和再 发现的方法去实施教学活动, 反对死记硬背和灌输式教学;倡导课堂教学由学生 自由讨论兼教师从旁指导的方式, 反对传统讲演式的教学形式。 弗兰登塔尔认为, 数学教育的发展应该结合现实生活。在学生的学习过程中不该视作被动的接受 者,而应通过各种实践活动和机会,引导学生赋予数学现实生活的意义,从而对 数学知识进行再创造,实现有意义学习。教育应该“指引”学生由“做数学”进 入到“再创造”(re—invent)数学之中,而不是把数学当成一个与世隔绝封闭的 理论体系,应该把教育当做一种数学化的过程和社会活动。

三、荷兰高中的数学课程目标
荷兰的数学教材是欧美国家中最具特色的。在RME思潮的影响下,荷兰进 行了大刀阔斧的数学课程改革, 逐步形成了自己的特色。与大多数欧美国家多元 化的课程特点相比, 荷兰的数学课程教材相对统一。在现实数学教育理念的前提 下, 几乎所有学校的数学课程教材都统一编写,荷兰学生的基础知识和技能也相
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对扎实。 RME的理念实践作为荷兰的数学课程教材的最大特点,已经被很多的 国家所认同,并逐步成为国际数学教育的一个基本趋势。 1、现实主义数学教育 基于普通常识数学化的要求, 弗兰登塔尔提出 RME 思想。 该思想表明: 首先, 数学来源于生活,再由学生运用到现实生活中去,现实数学是学校数学的性质。 其次是运用现实的手段来学习数学,即从平时熟悉的生活里,学生自己逐步探索 发掘并最终得出数学结论。 自 20 世纪 60 年代末起, 荷兰就已经开始了改革现实数学教育的过程。直到 90 年代初,荷兰绝大多数中小学生都在使用据RME思想编写的数学教材。到 现在为止, 荷兰数学教育界及广大教育工作者普遍接受并认同现实数学观点,这 在荷兰的国家课程标准中被称为“获得性目标” (attainment targets) ,同时, 荷兰政府教育和科学文化部在 1998 年颁布了新的“获得性目标(1998~2003) ” 。 可以说, 新课标是 RME 思想实践的更进一步发展,反映了近期荷兰数学课程改革 的发展方向和在数学教育领域的研究成果。 荷兰调整了最新数学课程标准的内容,更深刻地体现了现实数学的基本观 点。 中学阶段的课程重在培养学生的空间观念,使教学在平面图形与实物相互之 间的关系展开, 且降低了代数式的形式化运算要求,课程整体更倾向于几何理论 在现实生活中的应用; 学生要求学习信息处理和统计技术等,可以借助计算机来 解决实际问题。 在小学阶段形式化运算的要求降低, 同时纳入了直观几何的内容, 更强调心算和估算, 要求结合情景问题计算分数问题,小学生允许在课程上使用 计算器等等。 2、跨学科目标 学科目标和跨学科目标(cross-surricular attainment targets)是新课 程目标的两部分,两者紧密相连,是整个课程目标的核心。作为所有课程都必须 指向的目标, 跨学科目标在课程标准中拥有较高地位,这也是荷兰数学教材的显 著特色之一。跨学科目标在中学阶段具体分为:学会学习、学会交流、个人与社 会、实践能力、学会思考、学会思考未来 6 个方面。学科目标包含一般性目标和 具体课程目标。 中学的跨学科目标相对抽象,这在课程的一般目标中得到进一步的体现,主
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要表现为;发展正确的数学态度;通过讨论发展数学鉴赏能力;了解数学在其他 学科领域中的应用。这些要求把跨学科目标更具体化了。

第二节 荷兰高中几何教材的体系
教材体系不是一系列现成结论和材料的堆积,是教学内容的结构体现。不仅 要关注知识本身的逻辑结构, 同时还要求学生将理论知识与自身经历和现实生活 相结合,从而使思维能力得到锻炼。由此看来,荷兰的几何教材是一个开放的体 系,是建立在直观、经验和几何学理论基础之上。它糅合了学生的现实生活经验 和现代几何学的先进观念, 在突出了丰富生活情境特点的同时,仍然保持着传统 数学教材中的严密的逻辑体系。

一、荷兰中等教育体系简述
在介绍荷兰的这套教材之前, 我们先来简单了解一下荷兰高级中等数学教育 体系。 1、荷兰高级中等教育体系 从学生年龄和教育阶段划分看, 荷兰高级中等教育与我国高中阶段的教育相 对应,但也有着明显的区别。与初等教育和初级中等教育不同,国家并没有制定 及颁布高级中等教育阶段的成就目标。 教学和毕业考试影响这一阶段过程的主要 因素是,在确定数学教学的日常过程中,教材对内容起着举足轻重的作用,而高 中毕业考试标准决定了教材的选择。另外,由于不同类型的中学之间存在进阶和 降阶的现象,即学生有可能在 VWO、HAVO 和 VMBO 系统间转换流动,数学 课程的设置也需要考虑这一因素。 “稀释”课程结构正好适应了这一需求:某种 程度上看,HAVO 的数学课程是通过稀释 VWO 的对应课程得到的,而 VMBO 则是通过稀释 HAVO 得到的。数学教材由不同的出版商发行,本质上属于商业 行为。学校可以自主决定使用某种教材,教师也可以自己设计教材(但这种情况 很少出现) 。 荷兰有两类具选拔性、 引导学生进入高等教育的中等教育: VWO 和 HAVO。

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前三年(初级中等教育阶段)学生的课程和科目大体相同, VWO 的后三年和 HAVO 的后两年称为高级中等教育。从学制上可以判断:VWO 的课程对学生的 学习能力提出了更为严格的要求。

2、荷兰中等教育全国统考数学考试大纲和课程目标 荷兰的中等教育全国统考主要依据政府颁布的两类文件: 考试计划 (Examen program)和考试大纲(Syllabus central examen) ,其中考试大纲概括性地描述学 生在结束中等教育时应达到的成就目标, 而考试大纲则详细说明在全国统考中各 个成就目标包含的具体考察内容。限于篇幅,下面我们仅选取本论文所研究教材 对应的数学考试大纲的几何部分内容。 (为了便于区分, 文中出现的斜体字部分均摘自荷兰课程标准或荷兰教材中 的内容)

●关于证明的基本知识 考生能探索几何条件,利用定义、猜想、定理等证明或反驳命题或推论。具 体要求如下: 1. 能区别定义和定理。 2. 能区别猜想和定理。 3. 能区分一个命题及其逆命题,并能在具体情境中使用命题和逆命题。 4. 能深刻理解一个证明的结构。 5. 掌握证明或反驳一个猜想的方法,如反证法、归谬法、举反例等等。 6. 能探索几何问题,并利用定理证明猜想。 ● 平面几何的作图和证明 考生能按要求进行平面几何作图,能进行几何证明。具体要求如下: 1. 能利用直线、圆、三角形和四边形等图形的性质为几何证明提供依据。 2. 能在特定的问题情境中使用平面几何的知识和方法。 3. 能利用圆的有关知识指出某点与某区域之间的距离。 4. 能识别和正确使用垂线、角平分线、圆及抛物线。 5. 能寻找到两个区域距离相等的点(仅限简单情况) 。

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在荷兰, 并没有统一的升学考试, 不像中国 “千军万马过独木桥” 式的高考, 所以也就没有一个统一的考试大纲,这与荷兰对学生不同的学习方向的分类有 关。 而且相对于荷兰的考试大纲要求的详实,荷兰整个中学阶段的几何课程目标 就比较“单薄”了,只对学生需要具备的几何能力提出的几点大致的要求。

荷兰中学有关几何的目标 1、学生应能对三维物体的二维表示做出解释和说明, 能画出直观的平面立体图, 能进行比例缩小的处理及其它更进一步的处理,这些可以再纸上进行,也可 以借助计算机的屏幕显示。 注:这里“表示”是指用照片、模型图、平面图、地图、结构图等等。 2、学生应能通过参考真实物体和三维图形表示完成一些实际任务。应能画正视 图、俯视图,能根据平面图结构模型,能做出的三维平面图的比例图。 3、学生应能估算、测量和计算二维和三维物体的角度、大小(长宽高) 、面积和 体积。 4、学生应在画图、计算角度、尺寸和推理的过程中熟悉角的性质和几何术语如 “平行” 、 “垂直”和“方位”等等。 5、学生应能描述几何模型和物体的规律和性质,并能在这样的模型和物体进行 计算,推广和调整的过程中运用这些知识。 6、学生应能在画图、计算、解决实际问题和推理的时候使用工具。 注:这里的工具指直尺、量角器、画圆规以及学生自己做的工具盒计算机。

通过对比可以看到, 荷兰的考试大纲比课程标准的要求要细致得多,因为荷 兰的中学教育并不是“一刀切”或是像我国只有文理科的区别,他们根据学生的 能力和未来发展方向分为 VWO(大学预科教育) 、HAVO(普通高级教育)和 VMBO(中等职业预科教育)和 PRO(实践培训) ,而在这四大教育分类下还有 进一步的分类。那么这就使得荷兰的中等教育不可能制定出一个统一的课程标 准, 只能对学生的数学能力做一个大致的要求。 而老师在遵守基本课标的前提下, 可以对学生采取因材施教的方式,授课的灵活性和可发挥的空间增大。
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二、弗兰登塔尔研究所编写的高中几何教材体系
这套教材整个系列分三个部分,以下是教材的主要内容结构 章节 年级 主要内容 ⑴Voronoi-图 :Voronoi-图的相关概念和性质定理 ⑵距离的推理 :Voronoi-边的定义、性质,简述垂直 距离、 边界和 区域 ( Distance and 平分线和毕达哥拉斯定理、垂直平分线、外接圆 VWO5 ( 相 当 ⑶ 运用电脑软件绘制 Voronoi 图 :学习 Voronoi 几何 软件

edges domains)

于 我 国 ⑷ 特殊四边形 :圆内接四边形的定义、性质定理及 的高二) 应用 ⑸探究等距线:等距线、角平分线、内切圆、碰撞圆 的定义、性质定理 ⑹最短路径:学习找出两点间的最短距离,费马原理 ⑴运用已有的知识:证明的步骤,平面图形的基本概

关于圆和直 线 的 思 考 (Thinking in circles lines) and VWO5

念、性质以及数学名词的符号表示 ⑵圆的探究 :圆以及圆内角(圆周角、圆心角)的性 质定理

(高二) ⑶寻找论据:介绍三种证明思想(中间量、条件分离 和借鉴法) ⑷屏幕上的猜想:学习运用 CABRI 绘图软件构图 ⑸证明猜想:学习合理猜想结论,并证明

冲突线 和反射 ( lines Conflict and VWO6 (高三)

⑴边界和冲突 :冲突线的定义、性质,用 CABRI 绘 制冲突线 ⑵抛物线、椭圆和双曲线 :抛物线、椭圆和双曲线的 定义、性质及应用

reflections)
表1

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表 1 中每个章节标题后面的内容是笔者总结出的主要知识点, 考虑到如果只 看标题读者很难知道该节讲授的是什么。 因为荷兰教材的标题就像是一个现实问 题,或者说是一个情境,比如《最短路径》 , 《边界和冲突》 。这样的标题设置不 刻板,能够令学生有兴趣想要知道,解决这个问题需要获知哪些信息。 从这套教材的部分内容来看, 每一章在编排上都包含有几何概念、 几何规律、 逻辑推理、软件应用这几部分内容,尤其强调逻辑推理和应用,由此看出荷兰非 常注重几何素养的培养。 从每一章的内容结构上看,基本分为四大部分。首先是情境问题。在章节的 开始,有一个与该章内容在现实中的情景应用,并提出一系列问题串,引出新的 知识。例如《冲突线和反射》 ,一开始就提出了几个关于国家边界利益划分的问 题;有时是本章重点几何名词的介绍。其次每个知识块分为一节,也是以一个情 景设置的方式进行。再次,最后一节内容是数学软件运用;最后是小结和习题。 这样的结构构成了一个完整知识体系在理论、 信息技术以及现实问题上的学习和 应用,让学生的认知和教材结构协同发展。

第三节 荷兰高中几何教材内容解析
作为数学教育研究的重要内容之一, 教材内容是由学习者所被要求系统学习 的知识技能和行为经验组成。 教材内容的范围决定了知识能力的广度,深度决定 了知识的深浅程度和学生能力的质量水平,同时也为教材的编排奠定了基础。所 以, 弗兰登塔尔关于几何教育的独特见解在这套教材体里现得淋漓尽致。下面将 针对荷兰高中几何教材的具体内容进行研究与分析。

一、现实情境中的数学问题
“一切知识都是从感官开始的”这是捷克教育家夸美纽斯在其著作《大教学 论》中的一句话,这表明学生认知规律的一个重要方面,即直观性可以使抽象的 知识具体化、形象化,有助于学生感性知识的形成。而好的情境创设可以令学生 身临其境,激起强烈的求知欲和好奇心,好似拨动了思维的琴弦,使抽象、枯燥 的数学知识变得有趣味和吸引力。
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1、 例如:在《距离、边界和区域》的《泰森多边形》一节

以下你看到的是沙漠地图的一部分。在这个区域里有 5 口井。想象你和你的羊群站 在 J 点。你非常的渴且只能带一张地图。

1 a.你会去哪口井打水? 这个选择并不困难。当然你会去最近的井。 b.指出两个能到达 2 号井的地方,而且这两个地方要相隔很远。 c.在 5 个区域中画出沙漠的分区;每一个区域都有一口井。 在个别井的周 围是一个区域。且在那些井周围区域的任何地方必须相距很近。 d.当你在两个不同区域的边界上时,你能做些什么呢? e.1 号井和 5 号井的区域是否相毗邻?或者: 试着找出一个到 1 号井和 5 号井距离相等的地方,且比到其他点的距离还远。 f.在现实里,沙漠远比地图上所展示的要大得多。如果地图上是这 5 口 井在沙漠里,3 号井和 4 号井的区域是否相毗邻? g.2 号井和 3 号井之间的区域边界穿过 2 号井和 3 号井中间的分界线。 其他边界上是否也有类似的情况? h.边界线是直线,还是曲线?
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在练习中,你只要根据最近邻原则分割区域。如今,类似的分割方法被运用 到很多科学领域,比如地质学、林业、行销、天文、机器人学、语言学、晶体学、 气象学等等,这里只是列举了一小部分。我们将会不时的再复习这些问题。 接下来我们将研究关于两口井的简单例子,或是两个点,因为我们还没能在 其他应用中解决有关井的问题。
?? 分析: 这是本章开始的一个片段。 假设在沙漠中有 5 口井, 你站在沙漠中的某处, 如何判断哪口井离你最近?或者, 哪个区域是离某个井最近的?这个情境的核心 问题就是要对 5 个井区进行划分, 使每个区域到任意一点到核心井点的距离都小 于到另外四个井点的距离。如此一来,问题要求就很明了了。在情境问题的背景 下,我们清楚的知道,为什么要找出最近区域,这在沙漠里找到最近井点的现实 意义不言自明。 如果把这些问题换成单调数学符号,学生只能机械的解决一个数 学题,甚至心存疑惑: “为什么要找这些点的最近领域?有什么用?”这样一来, 使学习的效果会大打折扣。 学生置身于这样的情境后, 带着一系列的问题对泰森多边形进行进一步的了 解。在剖析教材对泰森多边形的描述之前,我们先介绍下这个数学名词。泰森多 边形又称为冯洛诺伊图(Voronoi 图) ,是由直线连接两个相邻点的垂直平分线 组成的一组连续多边形。 这个图形对于中国学生来说并不熟悉,就连笔者对此也 很陌生,可见荷兰的高中数学教材包含范围的广泛。从几何定义来看,两基站的 分界线是两点之间连线的垂直等分线,将全平面分为两个半平面,各半平面中任 何一点与本半平面内基站的间隔都要比到另一基站间隔小。 当基站数量在二个以 上时, 全平面会划分为多个包含一个基站的区域,区域中任何一点都与本区域内 基站间隔最近, 是以这些个区域可以看作是基站的覆盖区域,我们将这种由多个 点将平面划分成的图称为泰森多边形。基于这些特性,泰森多边形常被运用在统 计分析、定性分析。 看到这里我们就清楚了, 泰森多边形在生活中的应用中非常广泛,选入教材 也有它的现实意义,像我们所熟悉的北京奥运会的水立方即是基于此原理设计 的。从思维形成上看,最近邻的区域分割有助于培养学生的空间观念。但是对于 以上的泰森多边形的严格定义,过于抽象,脱离学生的现实生活,高中生很难理
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解,无法产生共鸣。那我们来看看教材是怎么表述的

以下仍摘自《距离、边界和区域》的《泰森多边形》片段

2:两个区域之间的边界 可折叠的 这是一个关于两口井的简单事例, 我们忽略掉井本身的容积:假设 它们没有大小尺寸。在图中: 就是点 A 和点 B。 纸上 A、B 区域之间的边界很容易找到, 即为纸张的折痕,且 A 在 B 上方。折线就是属于 A、B 区域之间的边界。

分度器

还有一种方法可以简单快速的 找到边界:使用分度器。看右图。 A 和 B 是到分度器中间距离相等 的两点。

在图中,点 A 和点 B 周边的 对于 A 的邻域满足条件: 到 A 点的距离< 到 B 点的距离。 对于 B 的邻域满足条件: 到 A 点的距离>到 B 点的距离。 只有在边界才满足条件: 到 A 点的距离=到 B 点的距离 区域用不同的颜色表示。 半平面 事实上,设想一下:还有很多没有画出的部分:一切在各个方向都 是无限延长。两个已经确定的邻域无限大并被一条直线限制。这样 在图中的 A、 B 区域是两个半平面。 这些半平面在彼此的的边界上方。 的邻域就叫做半平面。而边界称为半平面的一部分。

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2 这样的边界常称为冲突线。这是个好名字吗?为什么??? 3:更多的点,更多的边界 通过折叠,我们现在要研究四个点的情况。 同时找到工作表 A;也就是本书的第 121 页。 3 对于每一对点我们都是通过折叠确定边界。 a.首先计算需要折叠几次并按照计算结果进行折叠。尽量严格执行这项 操作;例如,把纸张往上轻轻折起。用折线画出分割区域。 b.当折叠的时候,会出现很多交错的折线。然而,还有很多不同的交叉 形式。你注意到了哪些不同之处? c.重复折叠一次。为什么会这样?
分析:从 5 口井简化成 2 个点,就很容易理解了,找出到两点之间距离相等的区 域,就是两点间连线的垂直平分线。而这里出现了一个数学用具——分度器。从 图上看,分度器像是一个三角板,使用起来也十分简单易学。只有两点,所以画 出的平分线把平面分成了两部分,但依次下去,三个点的情形如何?四个 呢???思维延伸到了四个点上,这次不再使用分度器了,而采用折纸的方式, 让学生动手操作, 通过两点对齐后中间产生的折痕,感受到两两井点之间距离相 等的分界线。 把四个点彼此之间形成的多个折痕相互交错,便围成了最近点的领 域。 学生在折纸的过程中逐渐发现了点线之间的几何关系,形成了对泰森多边形 的初步理解。 这里所采用几何折纸的方式,作为学习、探究和创新数学知识的载体,有助 于学生认识一些抽象空间图形。 传统的教学方式无法体现学生不同层次的结论以 及动手操作、直觉判断、合情推理的认知过程。为了鼓励每一个学生参与到实践 探索活动中, 几何折纸的教学方式激发了学生仔细观察、广泛联想的多元思考方 式, 因此它是发展学生高层次思维模式的有效工具。如此研究兼具趣味性和探索 性,通过观察、尝试、猜测、转移、类推、特殊化等途径,让学生自己去挖掘出 其中的数学原理,形成一题多解的发散性思维和数学观。在折纸过程中,学生可 以从实物抽象出几何图形,由几何图形联想到实物形状,再对几何体与展开图、

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三视图之间进行转化; 从培养学生综合能力的角度来看,由已知画出图形或做出 立体模型,使他们在获得知识的同时,还可以发展思维和动手能力。此外,折纸 活动对探索数学知识的教学方法具有可操作性和普适性。就其折纸活动本身而 言,所用的纸张唾手可得,不受时间、空间的限制,可谓取材方便。且操作过程 简单明了,不仅便于教师授课,大部分学生也都能接受,不论学习好坏都能参与 其中,是一种大众的教学、源自生活中的数学。 在整个过程中, 要求教师引领学生进入问题情境: ①引入情境、 明晰问题 ② 组织由学生主导的探究(探究的主体从教师过渡到学生)③组织全班讨论(收集 信息、比较、评价、聚焦)④组织反馈(包括学生之间的反馈)⑤反思和总结。 而教材从简单的情况入手与实际问题数学化的模式相结合的方法对学生来说是 具有启发性的,遵循了学生思维发展的特点。更重要的是,从解数学问题再到现 实问题,形成数学建模的意识、思路和能力成为创新教育的重要部分,我国教育 需要学习并强化这种意识。 2、又如:在《冲突线和反射》的《抛物线、椭圆和双曲线》中

什么是椭圆 椭圆是由圆 c 和圆内的点 F 之间的冲突线 决定的 — 和定义抛物线一样 — 从抛物 线引申出来的定义。就像下面这样:

圆 c 和圆 c 内一点 F。 动点 P 满足:d(P,F)=d(P,c),则点 P 的轨迹即为椭圆。

如果按照下面的说法,并不十分准确。椭圆完全由圆 c 和点 F(在 c 内)决 定。由 c 和 F 形成的图形有一条对称轴(这条线由 F 和 c 的中心 M 连成) 。 因此也叫做椭圆的对称轴。 椭圆被证明还有一条对称轴,叫做 MF 的垂直平分线。这看起来并不是一个 临时定义,在下面的练习中就会清楚了。

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5 看一下 22 页的图表,圆 c 的半径是 r a.解释这些条件是等价的:d(P,F)=d(P,c);d(P,M)+d(P,F)=r。 b.解释一下为什么垂直平分线是椭圆的对称轴。

在练习 5a 的第二种情形下点 F 和点 M 的作用不同;这是最初的情况。 为了强调等式,从现在起我们称这些点为和。所以最终得出: 椭圆的标 化定义
F1 和 F2 是两个不同的点,到 F1 和 F2 的距离之和为固定常数 准

的点的集合就是椭圆 。
F1 和 F2 之的距离称为焦距。

注意: 固定常数距离必须大于焦距。 稍后我们会回到焦距的术语问题上。
6 有一种方法可以在花园里剪出椭圆形的花坛。

在花园中设定两点之间的距离为两米。 把一根 9 米长的绳索打结形成一个环。 这个环围住那些定点并用棍子拉紧绳子。 移动木棍并按照那些点在地上拉成一个椭圆形。
a.为什么这样做花坛会成为一个椭圆形状? b.这个椭圆的长和宽分别是多少? c.如果把两点之间的距离设定为小于 2 米,那么椭圆的长和宽会如何改

变?
d.用绳索也可以把椭圆的宽设为 3 米。那么花园里两点之间的距离该是

多少?
分析: 圆锥曲线虽然被放在在北师大选修教材中,但在整个高中几何中有着举足 轻重的作用。同样的,在荷兰的教材里,圆锥曲线的内容也十分丰富,它的丰富 不仅在于它本身的内容体系, 而与其现实应用联系得十分紧密。在公元 4 世纪就 有了关于圆锥曲线的研究, 直到科学界发了生两件大事,一是德国天文学家开普 勒继承了哥白尼的日心说, 发现了行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实;二是意 大利物理学家伽利略研究出物体斜抛运动的轨道是抛物线,才促使了人们在 16

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世纪对圆锥曲线作进一步探究。 人们发现圆锥曲线其实是自然界物体运动的普遍 存在形式,而不仅仅依附在圆锥面上的静态曲线。 (本节的一开始,教材也是以 天体在宇宙空间中的实例作为前情背景,来引出本节的内容。 )除了被用以刻画 客观世界中物质的运动,圆锥曲线的“光学特性”在科技、建筑、生产用品制造 等也多有应用, 如光学中灯具与望远镜的设计; 声学中的音乐台的椭圆听音实验、 抛物面屏墙等。书中对圆锥曲线在光反射上的运用也进行了探究。 教材中对椭圆的最初的定义并不是我们所熟知的两种。 在没有预备知识的条 件下,如果直接给出的是椭圆形的严格定义,学生会存在很多疑问,什么是到两 点、 点线、 两线的距离存在关系的点的轨迹?如: “动点到两定点的距离的商 (或 积) 为定值表示什么曲线?” ; “动点到两定点的距离的平方和为定值表示什么曲 线?”等等一系列的猜想,会令学生的思维产生过大的跳跃。于是这里对定义做 了处理, 它把椭圆的定义和圆联系起来,以这个为切入点是与学生已学的知识作 结合,逐步深入到问题的核心。接下来,利用定点结线剪出椭圆形花坛,那么椭 圆的焦点、焦距的的顶点、定量关系就一目了然了,再回归到抽象数学定义中来 就变得很容易理解了。因此,理念下的数学教学不再是“填鸭式”的教学,不再 是要求学生掌握基础理论知识, 而强调学生在知识体系的形成过程中,能够知其 然,又知其所以然。

二、丰富的背景知识
丰富的现实背景概括、 提炼成数学知识,这些信息使学生在课堂中感受并领 悟到数学价值和巨大魅力。弗兰登塔尔说过: “数学的根源在于普通的常识” 。作 为数学学习的重要材料,背景知识能够传递数学文化、渗透数学思想,让学生了 解到数学的发生发展过程, 。 但该套教材的背景知识不再是简单的一个数学家的故事、 数学趣闻或是数学 史料,而是多个数学文化和现实情境的融合,这对于拓宽学生的知识面、丰富学 生的视野、 提高学生的文化素养具有十分重要的作用,同时也使学生认识到生活 中存在大量的数学信息, 感受到数学被广泛应用于现实生活,真正体会到数学无 所不在。

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1、例如:封面插图

图一

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图二

这是一个“雅典学校”的片段,afresco by Rafaello Sanzio,1483-1520。 我们能够在这幅壁画上找到几名古代的科学家。在这个片段里,希腊数学家欧几 里德位于几名热情洋溢的学生中间。 欧几里德已经把这本书中的大部分几何内容 描述出来了。欧几里德生活在公元前 300 年。拉斐尔用朋友布拉曼特来展现欧几 里德的肖像,布拉特曼是设计罗马圣彼得圆顶的建筑师。这是个不错的选择:一 个建筑师肯定了解很多几何知识。 下页中的整幅壁画被缩印了,原画有七米宽。 中间的两个人是柏拉图和亚里士多德,他们都是古希腊重要的哲学家。 左边是苏格拉底,他正在用手指比划着证明论点。论证、推理,这是书里我 们要深入研究的事情。
分析:这是意大利著名画家拉斐尔文艺复兴时期最著名的壁画《雅典学院》 (1510~1511 年作) , (图一是壁画全貌,图二是局部图)是为梵蒂冈宫绘制的。 这幅巨型壁画把古希腊以来的 50 多个著名的思想家和哲学家汇聚一堂,画中有
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苏格拉底、亚里士多德、毕达哥拉斯、柏拉图等,以颂扬人类对智慧和真理的追 求,赞美人类的创造力。而教材取自壁画的中心部分(见图二) ,首先映入眼帘 的是两位伟大的学者——亚里士多德和柏拉图,他们好像在激烈的争论着,亚里 士多德伸出右手, 手掌向下正比划着比例图。而他背后一个老人正在记录毕达哥 拉斯的数据。台阶下的右侧,中心人物是几何学家欧几里德,他正手执圆规、躬 着身子在一块黑板上给学生做演算,旁边围着他的四个学生。这四人似乎对老师 的讲解若有所思。 壁画在色彩上的处理也很协调,建筑背景大理石结构全部呈乳 黄色,红、白、黄、紫、赭等色的人物衣饰相互交错。 从作图技术上看, 透视法在这幅画上的运用水平非常高,它不仅加强了画面 的空间深远感,连拱顶的几何装饰结构和地面的图案都能精确到用数学来计算。 在文艺复兴时期, 描绘现实世界成为画家们的主要追求,为了在平面画布上真实 地表现三维世界, 他们创立了透视绘画方法,设法在画布上表现出物体的远近和 鲜明的立体感。于是在 19 世纪,在绘画透视学的基础上,数学的一个分支—— 射影几何蓬勃发展起来了。 虽然在教材中对《雅典学校》文字叙述不多,但句句用意深刻,背后隐藏着 许多信息。比如几何和建筑学的联系,像我们最熟悉的黄金分割比例,就在建筑 学上有很多应用。还有欧几里得的《几何原本》是数学史上的一个里程碑,书中 确立了数学的演绎规范, 即一门学科的每个命题必须是在它之前已经建立的一些 命题的逻辑推论, 而这种推理的出发点是一些不证自明的公式和公理,这就是公 理化的思想起源。当然还有《数据》 、 《论剖分》 、 《光学》 、 《现象》和《镜面反射》 等著作,内容涉及数学、天文和物理等多方面。 这段简短的“卷首语”内容不多,每句话都不做过多的赘述,但却隐含着数 学发展、数学学习和数学应用。这就需要老师在授课时,通过文字叙述补充其背 后的人文背景,提高学生的人文素养。 2、又如:在《冲突线和反射》中的《边界和冲突》

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划分问题 这部分我们讨论的是罗马帝国的一条河。 在这条河的南边曾经有一个大海湾,随着岁月的流逝这个海湾淤塞了。 由于这片土地非常肥沃,因此每个国家都想尽可能的占有一部分。 但是如何在布鲁特斯、提图斯和弗拉斯这几个国家之间制定划分规则? 在它对面的邻国安东尼是否也想分一杯羹呢?

在罗马法律中,淤积土地属于附属物,能够增值:本身所有物增值后所 有权不变。 根据这条律例,一头牛的所有者同样也是牛皮的拥有者,一棵树的所有 者同时也是树上果实的拥有者。因此,这片土地就应该在布鲁特斯、提 图斯和弗拉斯这几个国家之间划分,因为这片土地属于它们的土地“增 值”部分。但是边界线如何扩展? 6 布鲁特斯建议在原来的方向上扩展。 a.根据这个办法制定一个划分策略。 b.提图斯不同意这种划分。哪种方法会解决这个争端? 罗马法学家(公元 2 世纪)已经在他们的研究体系中纳入这个问题。 但是意大利法学家巴托鲁斯是第一个认识到这实际上是一个数学问题 的人。在一次度假时受到鼓舞,他写了一篇名为《河流的逻辑哲学论》 (fluminibus 在拉丁语中是河流的意思)的论文,是关于处理河岸淤 积层问题。在论文中,他在很多情况下用几何工具解释了“冲突线” 。 本节中,他用同样的标准认为:哪个国家离这片土地越近,就越可能 拥有所有权。

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7 根据上述规则,布鲁在特斯、提图斯和弗拉斯之间划分这片淤积层。

安东尼(河的另一边! )在这个划分方案中出局,在一位专家的支 持下,它在法庭上对这项决议提出异议。从这位专家的观点来看, 安东尼也应该拥有一小块区域。尽管它自己很难利用起来,但是他 想把这片土地卖给对面的某个国家。
分析: 对于边界和冲突线在实际应用中的最典型案例就是国家分界。文中以罗马 帝国时期的多国国土争端为背景,提出如何在保证各国利益的前提下,按照不同 的要求划分区域,这就需要用数学的角度来解决问题了。在欧洲,罗马帝国时期 的文明是很重要的一段历史, 对数学的发展的亦有一定贡献。维特鲁维尼斯所写 的著名科普图书《建筑十书》﹝公元前 14 年﹞就比较重视数学问题的处理,书 中还提及了建筑物的平面体和立视图,从中我们可以感受到画法几何的萌芽。此 外,罗马人对历法改革也做出了很大的贡献。 而罗马古国也是世界古代史上最大的国家之一 ,鼎盛时期几乎占去了大半 个欧洲, 疆域的分割就变得十分重要。在这很长的一段文字中没有过多的提到数 学问题, 对区域的划分规则和古罗马时法律做了详细的叙述,这看起来似乎无需 多言的部分其实有着重要意义。我们能够看到,经过经年累月的不断发展进步, 数学才有了现如今这样相对完整的体系。数学的发展演变渗透着丰富的人文思 想, 是人类社会集体智慧的高度结晶。我们学习数学不只是学数学以及它枯燥孤 立的数学符号和文字,还要学习数学带给我们的附加价值。此外,学生还体会到 了数学在人类社会发展的漫长岁月中所发挥的作用, 更激发了学生学习数学的热 情,认识到数学学习对推动未来社会进步的责任感。

三、数学思想与现实问题的结合
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与传统教材着重于灌输以及熟练掌握几何概念、 定理、 公式的要求不同的是, 荷兰的教材更重视学生几何思想、解题方法的运用,进而在现实生活中运用这样 的逻辑思维去解决问题, 并把这样的数学思想与现实情境完美地结合在一起。在 接下来的分析中, 可以看到这样的思想贯穿于整个教材,同时也是荷兰数学教育 的最终目的。 1、例如: 《关于圆和直线的思考》的《寻找论据》一节中的“中间量”部分

寻找中间量 你常会遇到这样一种情况,需要证明相等性,比如∠X=∠Y,但是很难直接 看出它们为什么相等。 如果有另外一个角,叫做∠Z,可以证明∠X=∠Z 和∠Y=∠Z,于是就可以这 么做。 或者发现存在这样的关系:∠X=180°—∠Z,∠Y=180°—∠Z,那么你做对 了。 ∠Z 成了从一个角到另一个角的中间量。 通过∠Z 证明了∠X 和∠Y 是相等的。 在证明中,中间量可以是任何东西:不仅仅是一个角或者一个点。有时候你 需要更多的中间量,或者同时需要两个 中间量。 接下来的练习是用新的方法证明类似的定理,从而使得在这个证明的过程 4 两个圆和两条直线 l 和 m 交于圆 中不必使用原来定理! 上的点 A 和点 B。证明:PQ//RS。 ....... 建议:假设你需要已知的等角表示平 行,并寻找 一个中间量。这个圆和点 A 或点 B 可以起到这样的作用。

分析: 这种证明方法在几何证明里面经常会用到。在我们学过的平面图形计算或 证明中,有很多结果并不能直接得出,要借助其它条件找出中间量。我国教材里 没有专门的介绍, 是作为老师在授课过程中的补充内容以及学生不断的练习里摸
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索出的证明思路。但荷兰的这套教材中,却以一个独立的内容呈现,可见这些证 明思想在荷兰人看来是几何学习的要点之一。弗兰登塔尔认为: “ 把学生在物理 空间的具体活动通过抽象、绘图、建模的有限步骤,到达几何直觉的最高阶段的 途径清晰地描绘出来对教育学来说是大有裨益的。按照几何教学的目标要求,使 之成为学生数学思维的一种有效工具, 延长或改造原始的空间直觉” 在介绍“中间量”这个重要的几何思想之前,教材首先教授了证明的步骤以 及如何呈现一个完整的证明过程。首先找到合理的论据,即几何定义、定理等理 论知识, 而把论据根据一定的条理经过整合才形成证明过程,这个过程就需要逻 辑思维和几何思想。 在学习这部分时,通过文字的描述初步了解了“中间量” ,因为荷兰教材的 理论叙述一向走“简洁”路线,再结合适当的例题练习来强化对理论的理解,那 么典型的例题扮演着很重要的作用,在这里只截取一个例题来说明问题。 这是一个关于圆的证明题, 在本章的前两节就是有关圆的讨论,可见这样的 设计就是为了让学生对本章的所学有一个综合应用。现在证明如下: 连接 AB 因为 圆的内接四边形对角和为 180° 则有 ∠SBA+∠QBA=180° ∠QBA+∠QPA=180° 所以 同理 又因为 所以 于是 ∠SBA=∠QPA ∠QBA=∠SRA ∠SBA+∠QBA=180° ∠QPA +∠SRA=180° PQ//RS (1) (2) (3) (4) (5) (6)

该证明里的第(3) 、第(6)步两次运用了“中间量” 的思想,并由圆内接 四边形对角互补、两平行线间同旁内角互补的定理,得出证明。整个证明过程并 不复杂,关键在于找到联系两角之间的桥梁。学生此时对“中间量”这个概念掌 握的并不是很清楚, 教材也还并没有给出一个明确的定义和解释,学生在做题的 时候,凭借提示和已有的知识,沿着找出等角的方向去思考,很容易就会得出证 明。接下来的两个例题,学生在老师的指导下同样用“中间量”的思想去证明,

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这时候, 学生已经对这样的解题思路有了自己的理解,最后教材再对这样的一段 文字说明该数学思想,如下:

关于中间量的简要说明 当没有定理完全适用于当前的情形时,通常需要证明两样东西,称为 A 和 B,它们是等价的。有时候需要一个附加步骤,让你知道 A 和 C 是等价的, C 和 B 是等价的。 那么 C 就是联系 A 和 B 的中间量。 中间量可以是一个角,一条分割线,或者是几个角。 在寻找中间量的过程中可以发现 — 一个角有时候是另一个角在圆内接四边形里的转换;在平行四边形里 对角也可以是 中间量。 — 一个作为中间量的角可以与第一个角有对应相同的圆弧。 — 一个等腰三角形的邻角也可以作为中间量。 — 等等。 还可以概括为: — 如果能够用图里面的符号来表示等价的事物,那么就能经常找到中间 量。在某些点上,从 A 到 B 你可以找到一个甚至一系列的中间量。
学生还未对“中间量”这个思想有个完整的了解,仅通过开篇的简短文字以 及在老师的指导下完成了例题,对其的认知大部分是学生自己经过探索而知的, 还未形成一个完整的理论体系。在最后结论中给这部分内容下了个完整的注解, 填补了学生思维过程中断缺的部分,符合学生认知的习惯。 像这样在教材中开放性探究问题利于引入新知识, 使学生被动的学习逐渐的 转向主动的接受知识。 以学生熟悉的情形入手,学生乐于接受并能更快的习得解 决问题的办法,再经过做练习时的自我消化和思考,很容易变成实实在在学生自 己的东西。 换句话说,学生推理和证明能力的培养要自然的融合在数学教学的过 程中, 知识技能的获得并不等同于能力的提高。能力的形成发展是一个循序渐进 且缓慢的过程,有其自身的特点并遵循一定的规律,它不是学生“懂”了,也不 是学生“会”了,而是学生自己“悟”出了道理。

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2、再如:在同一章节中的“分离条件”部分

糟糕的方案

试想:一项由两名警察负责追踪的侦查,如果警察知道那个身 高达 1.87 米,一头红发小偷的确切住址。警官 P 在街角侦查所 有身高超过 1.87 米, 警官 Q 在另一个街角侦查所有红头发的人。 这个小偷将会是那个同时站在两个街角的人。

以数学的 角度来执行

很显然,这是个糟糕的方案。 但在几何学里,这却是个正确的方法,而且我们会经常用到 一个类似的例子: 回想一下如何找到三角形 ABC 外接圆的中心 M。 要求点 M 满足: d(M,A)=d(M,B)=d(M,C) 我们可以这样安排: 警官 P 找到所有符合以下条件 的点: d(M,A)=d(M,B) 警官 Q 找到所有符合以下条件的点: d(M,B)=d(M,C) 另外要补充的是: 条件 d(M,A)=d(M,B)=d(M,C)被分离成两个条件,分别 是 d(M,A)=d(M,B)和 d(M,B)=d(M,C) 在上述每一个条件里,所有的性质都研究到了。得出的结果是两 条直线。 它们的交叉点将两个条件均包含进去了,因此,这个

点 也就是我们所求的点。 ?? “条件分离”的简要说明:
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有时候我们需要去发现具备两种性质的一个点,往往很容易: — 找到一个图形,包含同一种性质的所有的点。 — 找到一个图形,包含其他性质的所有的点。 位于两个横截面的点具有两种性质。 从习惯上来说:这个点同时在两个警官侦查的清单上。
??

你可以看到分离法不仅仅适用于求点,同样也适用于特定的证明。 在很多的案例中, 当条件相互独立,1-1-bis 法的运用是同样的形式。
分析:这是以一个现实事例提出来的问题,警察如何找到符合两个条件的小偷, 这个嫌疑人必须同时具备“红头发”和“身高 1.87 米”两个特点,若是按照两 名警察分别找到只满足一个条件的人,那么这样的做法并不可行。但这只是一个 反例, “条件分离”的方法在几何证明中常常用到,抓小偷的事例只是为了更形 象地说明何谓“条件分离” 。另外,这样的情景设置,也很容易在课堂上来演习。 老师可以让学生来扮演警察和小偷的角色,按照文中描述模拟人物情境,同学之 间通过相互讨论交流的收获显然比教师讲解的效果要好的多。 同时教师的示范作 用是最关键的,给学生讲怎么想的,鼓励学生多问“你怎么想的” ,也能收到很 好的效果。如此的互动,让学生与学生、学生与教师之间的合作更频繁顺畅。在 共同合作完成工作任务的过程中,发挥各自认知特点,相互帮助、分工合作、彼 此讨论、培养合作精神。 例题要求找出到三角形的三个顶点 A、B、C 距离都相等的点 M,即 d(M,A) =d(M,B)=d(M,C) 。这时候,教师就需要按照教材的思路把学生重新放到“警 察抓小偷”的情景当中,把 d(M,A)=d(M,B)和 d(M,B)=d(M,C)形象 化为小偷的两个特征,指导学生把满足题设条件的两条直线看做是“身高 1.87 米”和“红头发”所有嫌疑人的集合,那么两条直线的交点则是同时满足这两个 条件的犯人,也就是所要找的点。 这部分对数学的解题思想与现实问题作了完美结合。 从学生所熟悉的生活经 验出发, 让学生亲身参与到将实际问题转化成数学模型的过程里,再进行说明与 运用,从而在深入理解数学理论的同时,进一步发展学生的情感态度、价值观以
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及思维活动等多方面能力。 如果只局限于具体问题的解决不能称为数学,脱离具 体实践来教授抽象的数学知识, 更是背离了数学的本质。中学生正处在逻辑思维 发展的成熟期, 也是数学概念最终形成的阶段。数学思维训练可以锻炼学生思维 的抽象性和逻辑性, 在现实生活中熟练运用数学思想,提高学生在社会生活里解 决问题的能力。 3、又如: 《关于圆和直线的思考》的《证明猜想》一节

介绍和步骤 在与 CABRI 相关的实际问题中,你可以从电脑屏幕中看到很多。在第 18 节 的问题中:猜想、推论、踪迹和轨迹可以组成猜想的整个过程。现在是最后 一步:调否正确,为什么?换句话说,需要证明你的猜想。证明过程表示猜 想是怎么和你已知的信息联系起来的,更重要的是: 你的猜想是怎样由已知的结论得到的。 步骤 最后一章的问题被简单的叙述。有一个猜想,可能和你的想法相同的。 你需要去证明那些猜想。 如果观察到的比想到的还要多,比如,发现在一个证明中,画出辅助线 能对你有帮助,记录下来。 在第三章中有关提示的内容也是为了这章作准备。 当你被难住的时候,适当地利用那些提示(从 59 页开始)让你能继续 做下去。 ...... 问题 2:四边形的二等分线 任意画一个四边形 ABCD 和四个内角的平分线。这些平分线构成一个四 边形 PQRS。 猜想: 如果四边形 ABCD 是一个平行四边形,则这些内角平分线构成了一 个矩形 PQRS。

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第一个猜想看起来很熟悉,在第一章中它曾经出现过。尽管这样,在这里写 出证明也是可以的,它能给你一些在接下来的两个练习中可以用到的想法。 2 因此,如果你想去证明这个猜想,需要用到平行四边形的性质,当然也可 以用到等分线的性质。 a.现在证明这个猜想,并且确定你给的一些证明步骤是根据性质得来的 b.详述之前的条件:如果 P 是∠A 和∠B 平分线的交点,哪个平行性质被 用来证明∠P 为直角? 3 现在研究一些其他特殊的实例;在三个实例中,均给出了证明的步骤。 如果可以的话,运用一些已经证明的结论 a. 如果 ABCD 是一个矩形,PQRS 是一个正方形。 b. 如果 ABCD 是一个菱形,PQRS 集合于一点。 c. 如果 ABCD 是一个梯形,PQRS 是一个有两对角为直角的四边形。 在一般的猜想中,如果你不知道有关 ABCD 的任何 情况,即是包含了原来的所有条件。PQRS 是一个有 两对角为直角的四边形,因此你可以知道 PQRS 是 一个圆内接四边形。 如果把四边形 ABCD 变为梯形,直角部分也会 随着改变。能令直角保持不变的条件是:PQRS 是一 个圆内接四边形。因此: 猜想:如果 ABCD 是一个四边形,那么,角的平分 线构成的四边形是一个圆内接四边形。

分析: “问题 2”最初的条件就是“任意四边形” ,但最一般的情况下,很难做出 推断。于是只能先从特殊的四边形入手,观察图形特征,逐个论证,从特殊到一 般,归纳总结,再合情猜想。 这部分的整体结构上突出了“猜想”的环节,而 这也正是在数学探索过程中的基本策略和途径。 这两个环节以问题串的形式把逻 辑思维、直觉思维、形象思维的训练与培养结合起来,体现了数学的两重性。
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“猜测—验证”是学生数学思考的重要内容,它可以激发学生亲历数学的兴 趣,培养学生探究问题、 解决问题的能力,是植根于经验和事实之上的一种合情推 理,它的实质是发现、提出问题,数学中的创造都是从猜想开始的,而数学猜想 与数学论证密不可分。数学猜想往往是通过观察、分析、归纳,基于数学论证而 获得的。 在数学的 “再创造” 过程中, 数学猜想和数学论证有着同样重要的作用。 虽然在我国教材里也有类似有关证明方法的章节, 如选修 2-2 中的《推理与证 明》 ,里面介绍了归纳与类比、综合法与分析法、反证法和数学归纳法。推理与 证明贯穿于代数与几何, 一般推理指的是合情推理和演绎推理,数学中证明一般 为演绎证明和实验、实践的证明。无论演绎推理还是归纳推理,倾向的都是从条 件出发,走向已知的结论,换句话说,即由前提条件判断结论的真假。以大家所 熟知的归纳推理为例, 就是从一类事物中具有某种性质的部分对象,推出这类事 物的所有对象都具有这种性质。 而归纳则是从特殊到一般的过程, 属于合情推理。 荷兰教材中的“猜想”只有条件没有结论, 学生要根据条件做出可能的论断, 并验证它的合理性。区别如下:

思想

“猜测—验证”

推理-证明

已知

条件 A 条件 A 证明结论 B 证明:根据已知条件 运用方法 (归纳与类比、综合法与分析法、 反证法和数学归纳法)

猜测结论:B(或 C、D?) 学生要解 决的问题 证明:结论 B 成立 由条件 B 猜测结论 C 证明结论 C 成立 ??

结论 B 成立

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A

A …

B

E

思维方式
C F B

D

经过比较看出, 我国的学生是按照既定的套路去反向证明现成的结论,为定 向思维;荷兰学生是依条件作出猜测并证明,然后再发现,再证明?思维发散多 维化。像这样以某一问题为中心,重新去探索、发现、并重组已知的信息,沿着 不同角度和方向扩散, 以寻求多个答案的思维方式与荷兰教材的开放性探究相契 合,便于学生不断的发现问题并解决问题,利于创造性的发展和自我反思,思考 的内在动力在这样的过程中迸发,学生深刻体会到不断学习的必要性。 而中学生已经有了相当的直观判断能力, 他们的思维方式已经从形象思维逐 步向抽象思维过渡,但还缺少一定的逻辑判断力。而强化学习推理与证明,就是 重视培养逻辑判断能力和逻辑思维能力,形成正确的思维方式,这对未来学生走 向社会参加工作乃至处世待人之道等各个方面都会产生重要影响。 荷兰的教材把 培养学生的推理与证明能力渗透到数学教学的过程中, 且自然而然的在生活中融 入这种数学思想。 由此看来, 知识技能的获得与能力的发展不能简简单单的划上 等号。 个人能力的形成是一个漫长的过程,需要按照自身的特点和规律并结合数 学方法和数学思想、加强教学中的推理和证明来提高学生的数学能力。 从以上的分析中我们看到了几何与逻辑的关系。 在几何学这门学科的发展过 程中,希腊人认识到了一般的规律和解决问题的一般方法,例如,人们认为柏拉 图发明了分析的方法。这种方法从假设某种结论成立开始,逐步进行演绎推理, 直到得出已知的事实,然后将所进行的推演反过来,就给出了正确的证明。希腊 几何学家也发明了间接证明的方法,这种方法是在可能的情形中,搜索出所有可 能的假设,除正确的那个假设外,所有其他的假设却将导出矛盾的结论,因此可 以提出这些错误的假设。

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此外,以上引导学生进行数学的“再创造”也是培养学生创新意识的方法之 一。 当代教育学理论的观点是: 数学教学过程实际是学生再发现、 再创造的过程。 即使教材中的概念、法则、公式、定理等基础理论是已知的结论,但学生对此却 是未知的。那么在教学中就需要创设问题情境,让学生充分参与到法则、概念的 总结过程以及定理、 公式的发现和求证过程中去, 使学生经过观察、 比较、 分析、 综合、抽象、概括、归纳、类比等一系列数学思维活动,最终习得知识、锻炼能 力、磨炼意志、提高素质。

四、数学软件中的教学
当今信息技术快速发展, 知识在计算机上的操作已初现端倪,新世代的人们 已经飞速跃进了一个信息化的社会。 相较于传统以纸笔尺规为主要工具的作图方 法, 电脑制图为几何绘图打开了一个更为广阔的世界, 数学软件的应用把数学教 学和数学研究推向了数字化生存的新环境, 信息技术与基础知识在教学过程中的 相互融合就变得很有意义。 教材中使用的的是 Cabri 软件, Cabri 是法语” CAhier the BRouillon Interactif pour I’apprentissage the la geometrie”的缩写,意为“学习 几何的交互式电脑”,作用类似于我国的作图软件。 例如:在《关于圆和直线的思考》一章中的《屏幕上的猜想》一节 18:推测、移动、路径、轨迹

推测并研究 现在你已经掌握了足够的知识运用 CABRI 探索几何图形之间的特殊关系。 猜 想 研究的结果从根本上来讲无非就是一种推测,需要你证明这种推测。直到证 明以后,推测才能成为定理。因此请确定你已经写下了足够的信息。 这是一些提示策略,与第二章节中所提到的没有很大的区别。 战略提示 首先进行初始绘画,将你观察到的现象记录下来。 然后看一看特殊的例子:比如对称条件,特殊的角度或者极限条件。

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用你的笔记本试着画一画。 尽可能地填补最初绘制的图案:测量角度或者线段的长度;这样也许 会为你的着色提供便利,或者绘制一条另外的直线(线段) ,也许会 对你取得进展提供一定的帮助。 问题 1: 13 画两个点 M 和 N。以点 M 为圆心,通过点 N 画一个圆。 特殊的三角形 在圆上选一个点 A,以点 N 为 中心过点 A 画一个圆。 这两个圆相交于另一个点 B。 在以点 M 为圆心的圆上选择一 个点 S ,连接 SA 和 SB。 直线 SA 与以点 N 为中心的圆相交 于另一个点 T。 你需要作与右图完全一致的图形。三角形 STB 具有特殊性质。为什么? 关于这个问题请做出推测。 问题 2 : 14 任意画一个四边形 ABCD,作四个内角的角平分线。 平行四边形 四条角平分线组成一个四边形 PQRA,将这四个点在屏幕上标 注出来。 第一眼看过去,由四条角平分线组成的四边形没有任何特殊的 性质。所以我们先研究一些特殊情况。
a. 改变点 A、B、C 和 D 的位置使得四边形 ABCD 变成平行四边

形。模拟出这样的条件,并推测 PQRS 的形状。
b. 如果 ABCD 分别是矩形、菱形和梯形,请研究四边形 PQRS

的形状分别是什么。
c. 一般情况下,四边形 PQRS 也具有特殊的性质。 或许你可以

用语言描述你的推测。 如果不能,这里有一个提示:请注意 PQRS 的顶点。

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分析: 这部分内容不再是单纯的教授如何运用 cabri 软件画图,而是学生经过直 观地观察, 从制图中图形的变化过程所体现的特性,探索归纳出三角形和平行四 边形的变化规律,让学生自主发现几何图形的性质,即“动态几何” 。它能够把 几何对象的位置关系、 运行变化过程和规律动态地展现出来,带领学生进入有趣 的三维动画世界。 透过图形在软件绘图中的变化,直观的掌握几何构造, 观察和 操控各种三维空间图形, 如 : 直线、平面、棱锥、球体、圆锥?? ;可以由简 到繁创建各种动态几何结构; 甚至还能依据图形数据再现构造的全过程,并进行 空间测量。学生从中能够感受到构造图形与探索发现的无比乐趣。 传统的数学教学,只关注“是什么” 、 “什么结论” ,而对“为什么”缺乏解 释,忽略结论产生的原因和数学思维方法、思维过程、思维途径,这大大阻碍了 学生的数学思维水平的提高。 从某种意义上讲,形成钻研知识的思维能力比获取 知识本身更为重要,这对学生的学习能力发展终身受用。解决某些数学疑问时, 在揭示图形变化规律和发现几何性质的教学中应用 Cabri 软件, 让学生独自去寻 找解决问题的途径和方法, 这对启发学生思维大有裨益。如问题 2 中的改变四边 形的形状,作出各种不同的特殊四边形,体现了学生们的推理过程;他们借助变 化的条件或图像进行 “反复” 证明,通过观察、分析、比较到发现规律,从特 殊图形到一般图形,最终归纳出一般性结论。 另外,教师利用现代技术教学、 探索,引导学生自主学习,协助学生的推理,并在此基础上构建新知识,这对教 师的教育观念的更新也产生了很大的影响。

第四节 荷兰高中几何教材的几个重要特征
从以上对荷兰高中几何教材的分析中, 我们可以大致归纳出下面几个重要的 特征。

一、注重学生数学素养的培养
善于利用数学精神指导我们的科技和社会活动, 不仅要掌握理论上的数学知 识和教学方法, 更重要的是提高自己的数学素养,数学素养表现为从定量的角度 考虑问题的出发点;有条理的思考,严密的思维论证;简明准确、清晰的表述; 带着逻辑的意识和能力去解决问题、总结工作;合理的量化所从事的工作,并具
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有转化为数学建模的能力。 数学素养具体可以分为以下几个方面: 积极主动探索并抓住数学问题的背景 和本质的素养;熟练运用简洁、准确、规范的数学语言表达解题思想的素养;良 好严谨的研究科学态度和创新精神,合理地提出新思路、新方法的素养;善于对 现实世界进行合理量化并建立数学模型的素养。 有人曾经问首届诺贝尔物理学奖得住伦琴,作为一个科学家需要什么素养 时,他的回答是: “第一是数学。第二是数学。第三还是数学。 ”这表明,各门学 科明智的科学家,早已将数学素养列为优秀人才所必须具备的素养之一。

二、重视数学在情境问题中的应用
源于生活又服务于生活的数学才是有用的数学。 那么有用的标准是什么?就 像当年很多数学研究者难以理解陈景润钻研哥德巴赫猜想所用的理论方法, 谁能 想到当初的数学理论却成了密码学的一个重要依据; 而常常让人觉得用起来很不 习惯的二进制, 仿佛一种一无所用的纯数学式的游戏规则,如今却在电脑设计扮 演着举足轻重的角色。 作为一种新的有用的数学知识,常常容易被我们所忽视或 者暂时感受不到它的作用, 由于领先于其他自然科学或社会科学是数学的一个显 著特征。它有其独特的发展动力与轨迹,像是内部矛盾问题的产生、和谐与统一 的追求、方法的选择与革新等等。因此我们在强调“数学有用”的同时,绝不能 过多地受制于“有用”的标准。 数学问题与情境问题相结合, 为学生培养创新意识和实践能力提供了广阔的 思维活动空间, 使学生在学习过程中便形成了利用数学知识的思维习惯,对客观 事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断, 这对学生问题解决能力的培养起 了至关重要的作用。 另一方面, 数学建模的过程就是数学问题的现实化、 情境化。 弗兰登塔尔认为: “模型就是中介,复杂的现实或理论通过它被理想化或简化, 以便于进行形式化的数学处理。 ”根据以上观点,情境中的活动以及情境本身的 过程就是模型化或构建(或重构) 。 用数学来解决现实问题,就要把现实问题转 化成一种类似于现实的、简化了的、抽象的数学模型,然后用数学的方法去解决 现实问题的数学模型,最后用数学模型去解决现实提出的问题。

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三、突出学生的主体地位以及和教师的互动
在传统的课堂教学中, 因为数学教学内容的理论性强与抽象性的特点,缺少 必要的感性材料而使得学生对知识的理解困难,进而使教学活动不平衡、教学参 与性不高,课堂授课便成了教师的一言堂。课堂教学是师生的共同活动,而活动 理应是以学生为主角。荷兰教材中的很多情境为学生提供了生动形象的教学材 料, 学生借此进行探索发现式学习并内化为知识的认知,如此一来学生思路变得 开阔、情绪高涨,成为学习真正的主体。同时,教师根据一系列的问题串指导学 生逐步答疑解惑,与学生进行更多交流、互动,引导学生思维、关注学生反馈、 调动学生全程参与教学过程。而学生在教师的指引下,通过自主的探究性学习, 充分调动起了学习的积极主动性,去研究问题、发现规律、获取新知。 众所周知, “兴趣是最好的老师” 、 “学生是学习的主体, 教师是学习的主导” , 若想让学生积极思考、 主动学习并亲身参加学习实践,就必须先培养学生的学习 兴趣。中学生正处于好奇心强、容易接受新鲜事物的年龄段,而感染力强的教学 材料和内容丰富的现实情境, 能够调动起学生的好奇心和求知欲,进而对所学内 容产生产生浓厚的兴趣。

四、运用绘图软件辅助教学
学生借助 Cabri 软件在计算机上操作,通过制作各种几何图形、进行不同的 几何变换过程,从而发现并研究图形的内在关系。在这样一个理想“做数学”的 环境下, 学生能更形象也更容易理解变化过程中的几何关系,真正变成学习的主 人;学生积极主动地加入到教学过程中,能更深入理解所学的内容,有效地消化 知识重点难点,构建了自己的知识体系。这在传统教学里是难以实现和达到的。 利用数学软件绘图并从图形的变化过程里探索数学规律, 使学生从单一被动的学 习方式向多样化主动的学习方式转变,摈弃了以往的学习模式。在这当中,合作 学习和自主学习都是我国教育改革一直以来所强调的学习方式。 就是在教师指导 下可操作性学习活动, 即运用学生已有的知识结构和方法,提出疑问并试图解决 有关问题,学会善用旧知识去研究新问题,主动获取新的学习成果。

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五、“问题解决”成为基本模式
教材中的大部分内容都是以“提出问题→分析问题→解决问题→理性归纳” 的形式呈现。其中,在一开始的“提出问题”阶段大都是以问题串的方式引导学 生自己去发现问题,提出问题,考虑到把教材内容、学生实际和具体情境联系在 一起的问题串,具有探索性、连续性和可接受性。在“分析问题”和“解决问题” 阶段,在教师带领下,学生自主进行问题的探究。根据教材问题要求,讨论和交 流可以在老师和学生之间、学生和学生之间展开,并以“学生主导的探究? 比 较和评价? 反思”的模式,完成执行策略。而在“理性归纳”阶段,学生则需 要在老师指导下, 自己再对问题的解答过程和结果进行检验、 评价、 反馈、 论证, 最终上升为理论。 在数学学习中, 问题解决有助于学生数学知识掌握水平的提高,培养学生灵 活运用所学数学知识解决实际问题的能力,使他们的数学意识、创新能力、探索 精神和认知结构得以发展, 处理问题的方法也有新的突破。根据鲁宾逊与奥苏伯 尔的观点, 问题解决高于其它的一切数学活动,是仅次于创造性活动的一种学习 活动。问题解决的表现方式,一为认知学习过程,二为创造性过程,即创造性思 维过程。此外,因为数学问题解决中的问题不同于常规习题,这就使得数学问题 解决有别于单纯的练习题解答, 即数学问题解决高于巩固与应用数学知识的一般 性练习水平。因此,问题解决不单是功能性的解决过程,更是一种信息加工和认 知的过程。

第五节 荷兰教材的教学特点
纵观荷兰现实教育,它的主要特点是:运用情境问题;不同的数学内容甚至 跨学科内容相互交织; 学生自主找出结论且对已有的知识进行再创造活动是教学 内容的一部分;采取模式教学;注重学习过程中的交流。于是在这样的指导思想 下的教学模式具有一定的可操作性,并有主体性、探索性、活动性、合作性和应 用性的特点。它们的关系是:

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主体 活动


探究

现实性

合作 应用

主体性是现代数学教育的灵魂和核心。学生是教学中认识的主体,只有他们 主动思维才能实现知识的获取。 引入现代教育技术,必须要充分体现以学生为主 体,主动参与到教学活动中来。所以,由“教”转变为“学”必须作为新教学模 式的立足点,激发学生的自主学习意识。 探索性学习的基本载体是要在学习生活和社会生活中获取的各种信息; 基本 目标是“培养学生发现问题、提出问题、最终解决问题的能力” ;基本学习形式 是“在教师的指导下,以学生自主采取研究性的学习方式开展知识探究” ;基本 内容是 “在提出问题和解决问题当中获得的科学文化知识、学习研究方法和得到 丰富且多方面的体验” 。 活动性和合作性是主体性的具体体现,是构建新的教学模式的核心。它们是 以改变传统教学中“教师讲、学生听”的模式,从而唤起学生的学习积极性,提 高学生的团队意识和创新意识, 培养学生创造能力,让他们更深层次地参与教学 中为主要目的。在教学过程中,需要教师引导学生自己动手,通过观察、实验、 类此、抽象、猜想、分析、概括综合、归纳等探索研究性活动,充分利用现代信 息教育技术, 着重培养学生的动手实践能力和创新开拓精神。因为数学教育与学 生的个性发展密切相关,为了充分发挥创新意识和情感教学在数学教育中的作 用,创造一个平等、和谐、民主、宽松的教学氛围,必须注意充分调动起学生的 学习动机,使学生能够自觉地运用现代信息教育技术,自主进行创造性学习。 应用性是学习的最终目的。美国的《国家应用学习标准》里提到应用学习的 5 个要素:①问题解决;②信息手段与技巧;③学习与自我管理手段与技巧;④ 与他人合作的手段与技巧;⑤交流的手段与技巧。教材中以数学的角度对在日常

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生产生活和其它学科中经常遇到的某些问题进行探索, 或者更深入讨论某些数学 问题,并在过程中要求学生的自主性和合作精神,这不仅体现了应用性,同时还 考查学生知识应用的意识和分析问题、解决问题的能力。

第三章 中荷高中几何教材的对比分析

第一节 中国高中几何教材的现状 一、我国现行高中数学教材现状
随着教育不断深化改革,提高教材质量、针对教材的出版编写体制,国家也 进行较大的变革。 由原来一家出版社编写、出版教材发展到现在的由近百家出版 社编写、发行教材,让各个地区学校根据各自不同情况选用不同层次的教科书, 实现教材多样化方针,于是便有一纲多本、百家争鸣的状况出现,令教材质量得 以提升。 根据目前新课标编写的高中实验教材里,有五套教材在 2004 年由全国中小 学教材审定委员会初审通过,它们分别是:人民教育出版社 A 版和 B 版、湖南 师范大学出版社、北京师范大学出版社、江苏教育出版社等出版的教材(简称人 教 A 版和 B 版、湖南版、北师大版、苏教版)。这些集中反映了《新课标》的基 本理念的教材,走进了国家基础教育课程改革的试验区,供广大高中学生使用。

二、我国现行高中数学教材特点
总体看来, 我国现行的高中几何教材有以下几个特点: 1、相对严谨的知识体系, 比较清晰的结构脉络 2、重视基础知识 3、基本技能训练扎实 4、逻辑思维水平的要求高
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5、内容更新不足, 与实际联系不够密切 6、知识的理论性偏多, 学生的学习心理过程不足 7、教材发挥图形语言的作用不足 总而言之,仍处于发展阶段的中国教科书,在长期的教育改革中,还只是关 注教材内容的增加或减少, 对于编排结构以及内容的阐述方式上不够重视。这在 知识信息化迅速发展的当今社会里,教材既无法包罗万象,又必须不断充实先进 的科学知识, 这显然是矛盾的。 而仅仅简单地用内容增加或删减来解决这一矛盾 显然是不够的。在信息快速增长的现代社会,高中数学教材既要跟上社会、学科 发展的步伐,又要建立合理的教材结构,渗透进步的教育理念,才能切实提高教 材的质量。

第二节 中荷高中几何教材的对比 一、中荷高中几何教材的体系对比
为了便于说明,以下是北师大的高中数学教材的内容结构,可以与第 11 页 的表一作比较。 ⑴简单几何体 ⑵直观图 立体几何初步 (必修 2) 高一 ⑶三视图 ⑷空间图形的基本关系与公理 ⑸平行关系 ⑹垂直关系 ⑺简单几何体的面积和体积 解析几何初步 (必修 2) 高一 ⑴直线与直线方程 ⑵圆与圆的方程 ⑶空间直角坐标系

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⑴周期现象 ⑵角的概念的推广 ⑶弧度制 ⑷正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 三角函数 (必修 4) 高一 ⑸正弦函数的性质与图像 ⑹余弦函数的性质与图像 ⑺正切函数 ⑻函数 y=Asin( ? x+ ? )的图像 ⑼三角函数的简单应用 ⑴从位移、速度、力到向量 ⑵从位移的合成到向量的加法 平行向量 (必修 4) 高一 ⑶从速度的倍数到数乘向量 ⑷平面向量的坐标 ⑸从力做的功到向量的数量积 ⑹平面向量数量积的坐标表示 ⑺向量的应用举例 三角恒等变形 (必修 4) 高一 ⑴同等三角函数的基本关系 ⑵两角和与差的三角函数 ⑶二倍角的三角函数 ⑴正弦定理与余弦定理 高一 ⑵三角形中的几何计算 ⑶解三角形的实际应用举例 ⑴椭圆 高二 ⑵抛物线 ⑶双曲线 ⑴从平面向量到空间向量 ⑵空间向量的运算 高二 ⑶ 向量的坐标表示和空间向量的基本定理 ⑷用向量讨论垂直与平行
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解三角形 (必修 5) 圆锥曲线 与方程 (选修 2-1) 空间向量 与立体几何 (选修 2-1)

⑸夹角的计算 ⑹距离的计算 ⑴归纳与类比 推理与证明 (选修 2-2) 高二 ⑵综合法与分析法 ⑶反证法 ⑷数学归纳法

可以看出, 我国教材是以 “立体几何→解析几何→三角函数→向量几何→三 角计算”为必修内容, “圆锥曲线→空间向量→逻辑证明”等归为选修内容,按 照几何学的分类来编排整个内容,把每个理论知识点“整齐”集结在一起,而荷 兰的教材结构似乎略显“凌乱” ,但仔细研究会发现,后者是以解决某个实际问 题所涉及到的知识群为一个章节。例如,在《距离、边界和区域》中,开篇就提 出如何划分边境,从而使各国之间的国土最优化这样非常切合实际问题。那么, 怎么解决这个问题呢?于是便有了泰森多边形、等距线、最短距离等等一系列相 关内容。但这不是理论知识简单机械的排列,而是从现实情境出发,合理的、人 性化的现实问题的糅合。

二、中荷高中几何教材的内容对比
荷兰的这套系列教材信息覆盖面宽,内容超越单一学科的知识范围,强调探 究过程,注重知识和过程的统一。探究活动的安排是有系统规划的,活动的设计 贴近学生生活,可操作性很强,具有典型意义。这样就能有效地引导学生自主学 习,促进学生整体科学素养的提高。另外,活动还体现了 STS 的教育思想,注 重技术科学与人文科学的结合。 如以最新科技为例,让学生探讨科学技术与社会 之间的关系。 知识的发生过程体现在教材的编写中,注重学生在获取新知识的过 程中, 概念性知识和体验性知识的重要作用。大部分知识的编写在教材里并没有 告知结论,而是引导学生不断探究获得结论,体现了科学的过程是证明的过程, 是在寻找论据的过程, 也是不断逼近真理的过程。学生只有真正认识并理解了科 学的本质,将来才能去创新发明。
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即便近年来我国倡导新课程改革,比以前更重视于培养学生的思考能力、交 往能力和解决问题的实践能力, 重视人本化、个性化全面发展的价值取向和发展 性的教育目标;但相比之下,我国的教材总体还是倾向于“机械的数学教育” : 多数的纯几何证明题,对知识的应用部分关注较少(尤其在新知识的引入阶段)、 呈现方式单一, “教学”被简化为“传递过程” ,教师照本宣科的“灌输” ,学生 按部就班地模仿学习……也成为了我国教材的一大“特色” 。 北师大版的教材体系也借鉴了国外教材的模式,其基本叙述方式为“问题情 境——建立模型——解释与应用” ,内容信息量大,结构综合性强。以统一的科 学概念和原理来构建教材的知识体系(明线) ,以科学探究为教材的主要呈现方 式(暗线) 。在综合度上由组合型向混合型(或完全综合型)更进了一步,部分 章节采用跨学科乃至跨领域的论题或课题来表现统一原则。 同时也应该清晰的认 识到,现行教材的选材过于陈旧、不够新颖,社会文化的关注点和视野上不够广 泛;在学生学习过程中,教材内容的指导相对“粗放” ,没有过多的问题提出和 引导。以下将具体举两例说明。

1、例如:在必修 2 的第二章《解析几何初步》 §1.3 两条直线的位置关系

??

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分析:这部分的理论性很强,没有完整的问题提出、逐步解决的过程,只在开始 的时候有几个象征性的问题,却又没留给学生足够的思考空间,就给出了现成的 答案,于是学生被教材“灌输”了相交直线的有关内容的计算。虽然在本节的最 后, 提到了用数学软件动态呈现直线变化,但这是作为整个内容完成后的仅有的 补充材料的简单说明, 而不是在整个的教学过程中作为教师的主要教学工具,帮 助学生带着未知的疑问、 以探索的视角观察图形,从直线斜率的变化中自主发现 规律。 学生在这里仅仅学会了如何机械地计算斜率, 却不知道如何灵活运用斜率。

2、同样是必修 2 的第一章《立体几何初步》 §5.1 平行关系的判定

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分析: 平行关系的问题提出是建立在纯数学的几何平面和立体几何基础上,这样 的数学概念还是停留在数学学科的范围内,没有扩充到更广阔的领域。学生只能 从抽象的空间意识去理解这样的图形关系, 而与现实的联系也只有在页面空白处 放了两张双子大楼和双杠的图片,以此说明生活中的平行,却也没有文字上的叙 述。 教材对现实数学题材的挖掘不深,所谓的理论知识与实践应用相结合流于表 面。 总之, 中国教材注重基础知识和技能的掌握,荷兰则比较重视知识的应用和 数学素养的培养。

第三节 对我国几何课程建设的启示
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研究国外的几何教材最终是为了优化我们的教材编制, 为我国的数学教育服 务。可两国的国情、东西方文化背景不同,完全照搬荷兰的教材模式显然不切实 际,如果一味的模仿反而成了东施效颦。只有立足于中国的教育体制,把两者有 机的融合在一起, 才能产生数学教育的火花。以下是对我国教材可借鉴的几点建 议:

一、选材多样化,增加入社会人文和数学相结合的素材 我国的传统教材实际应用举例大多在物理、建筑学,随着现代科技的不断发 展,更多领域渗透入了数学的养分,像计算机技术、互联网、艺术美学也可以成 为数学运用的素材。 数学文化不能只作为课外阅读或补充材料,应该与理论知识充分结合,成为 教材内容的主体。可以在数学、科技的发展背景里融入数学理论,边讲“故事” 边授课,使教学材料变得更丰富多彩。

二、注重情境创设以及培养学生生活中的数学思维能力 数学应该从现实问题出发, 回归到解决现实问题中去。像上述平行关系的内 容, 可以设置情景为两条近似平行的河道两岸,平行线间的距离就是垂直架在两 岸之间桥梁的河上长度, 或者如何过河使距离最短, 以这样的形式代入数学理论, 在现实情景中植入数学问题,学生在不断的解决实际问题中发展为数学能力。

三、突出能力训练,把信息技术作为辅助数学教学的工具。 学习信息技术不能是对已知知识的实践操作,而应该作为辅助教学的工具, 在操作数学软件过程中,通过数字、图形变化,发现规律、收获知识。

四、引入问题模式,在教师带领下学生自己发现数学 。 增加问题提出, 学生即使不能独立回答出问题,也能够在教师的指导下解决 问题,在不断的思考过程中自主学习,而不是接受一个现成的结论。

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“他山之石,可以攻玉”。本文主要从研究、学习与借鉴的角度,对荷兰其 中最代表性之一的高中几何教材的部分内容进行分析, 以期对我国教材的编写能 有一定的参考价值。虽然两国有着不一样的语言、不一样的文化底蕴,但在几何 教材的编写方面,应该可以有更多可交流和沟通的地方。

参考文献
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致 谢

本论文是在孙晓天老师的悉心指导下完成的, 感谢中央民族大学理学院的所 有老师们和同学们在我学习的七年时间里对我的谆谆教诲与帮助!

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攻读学位期间发表的学术论文目录

[1] 严谨. 数学的现实性及其在教材中的体现 一般刊物. 中央民族大学学报. (自然科学版)增刊. 2013 年 3 月 [2] 石琳,何伟,严谨,杨佳. 基于高校学业表现的西藏内高班与本地班学生学习 状况对比研究. 中文核心. 民族教育研究. 已接收.

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