2017-2018学年高中数学人教版必修5课件:第二章 数列:等比数列的概念与通项公式

1说基础· 名师导读 知识点1 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做 文字 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比 语言 通常用字母q表示(q≠0). 在数列{an}中,如果 * ? an an-1 =q(n≥2, ? an+1 ? * 数学 n∈N ) ?或 = q ? n ∈ N ? ? (q≠0)成立,则称数 a ? ? n 符号 列{an}为等比数列,常数q称为等比数列的公 比. ? 递推 关系 an=an-1· q(q≠0,n∈N*,n≥2)或an+1= an· q(n∈N*,q≠0). 讲重点 对等比数列定义的理解 对于等比数列的定义要注意: ①“从第2项起”,也就是说等比数列中至少含有三项; ②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项 的比”; an ③“同一常数q”,q是等比数列的公比,即q= 或q= an-1 an+1 an .特别注意,q不可以为零,当q=1时,等比数列为常数列, 非零的常数列是特殊的等比数列; ④等比数列的定义是判断一个数列为等比数列的重要依 据,即 an =q(q≠0,n≥2,n∈N*)?{an}是等比数列; an-1 ⑤定义中隐含:任一项an≠0且q≠0,“an≠0”是数列 {an}成等比数列的必要条件. 知识点2 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那 么G叫做a与b的等比中项.即G=± ab或G2=ab. 定义的理解:①任意两个同号的数的等比中项有两个,这 两个数互为相反数;②利用等比中项可以判断或证明一个数列 是等比数列. 讲重点 对等比中项定义的理解 (1)在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷等比数列 的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项;事实上等比 数列中某一项是与其等距离的前后两项的等比中项,即a 2 n =an- an+m(n,m∈N*,n>m). m· * (2)an≠0,且a 2 = a · a ( n ≥ 2 , n ∈ N )?数列{an}是等比 - + n n 1 n 1 数列. 知识点3 等比数列的通项公式 - 等比数列的通项公式:an=a1qn 1(其中,a1是首项,q是公 比.) 讲重点 等比数列通项公式的推导与证明: (1)归纳法 等比数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得,若等比数列 {an}的首项是a1,公比是q,则根据其定义可得: a2 a1=q,即a2=a1q, a3 2 = q ,即 a 3=a2q=a1q , a2 a4 3 = q ,即 a 4=a3q=a1q , a3 …… - 由此,归纳等比数列的通项公式为an=a1qn 1. 说明:由归纳经过猜想得出等比数列的通项公式是正确的,以后 可以证明. (2)累乘法 由等比数列的定义可得: a2 a1=q, a3 a2=q, …… an =q, an-1 a2 a3 an an n-1 以上n-1个式子相乘得: a · · … · = = q ,即an= a a an-1 1 2 1 a1qn-1. 讲拓展 通项公式的推广:an=am· qn m(m,n∈N*) n-1 a q an 1 - * 推导过程:设m,n∈N ,由通项公式,则 a = m-1 =qn a1 q m m .所以an=am· qn-m. - 2说方法· 分类探究 类型一 等比数列中基本量的计算 【例1】 {an}为等比数列,求下列各值. 1 (1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=2,求n; (2)已知a2· a8=36,a3+a7=15,求公比q. 思维启迪:由已知条件列出关于a1,q的方程(或方程组), 或有关量的方程(或方程组),解方程(或方程组)即可. 解析:(1)解法一:∵a3+a6=36,a4+a7=18, ∴a1q2+a1q5=36,① a1q3+a1q6=18.② ② 1 ,得q=2. ① 1 1 1 把q=2代入①,得4a1+32a1=36.∴a1=128. ?1? - 1 n-1 而an=a1q ,∴2=128×?2?n 1,∴n=9. ? ? 解法二:∵a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q, a4+a7 18 1 ∴q= =36=2,而a3+a6=a3(1+q3), a3+a6 a3+a6 36 ∴a3= = 1=32. 1+q3 1+8 ?1? - 1 n-3 ∵an=a3q ,∴2=32×?2?n 3,∴n=9. ? ? (2)∵a2· a8=36=a3· a7,而a3+a7=15, ? ? ?a3=3 ?a3=12, ∴? 或? ? ? ?a7=12 ?a7=3. a7 1 4 ∴q =a =4或4. 3 2 ∴q=± 2或q=± 2 . [类题通法] (1)a1和q是等比数列的基本元素,只要求出这两个基本元 素,其余的元素便可求出. (2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,知任意三 个就可以求出另外一个. (3)本例题(1)的解法一是常规解法,解法二灵活运用了等比 数列的通项公式,简化了运算. 变式训练1 (1)在等比数列{an}中,已知a5-a1=15,a4- a2=6,求an; (2)在等比数列{an}中,已知a3-a1=15,a4-a2=6,求an. 4 ? ?a5-a1=a1q -a1=15① 解析:(1)? 3 ? ?a4-a2=a1q -a1q=6② , ① 1 由 得q=2或q=2. ② 1 当q=2时,a1=-16. 当q=2时,a1=1, ?1? - ? ?n 1或an=2n-1. ∴an=-16· ?2? (2)解法一:显然q≠1, 2 ? ?a3-a1=a1q -a1=15① ∵? , 3 ? ?a4-a2=a1q -a1q=6② ② 2 125 由 得q=5,a1=- 7 . ① 125

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