【解析版】南通市2014届高三第一次调研测试数学


南通市 2014 届高三第 一次调研测试

数 学 试 题
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 参考公式: 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,…,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. ni=1 ni=1 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在相应位置上. 1.已知集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},则?UA=________. 2. 已知复数 z1=1+3i, z2=3+i(i 为虚数单位). 在复平面内, z1-z2 对应的点在第________ 象限. 3.命题:“ x∈R,|x|≤0”的否定是__________________. 4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=8x 上横坐标为 1 的点 到其焦点的距离为______________. x≥0, 5 .设实数 x 、 y

? ?y≥0, 满足 ? 则 x+y≤3, ? ?2x+y≤4,

z = 3x + 2y 的最大值是

________. 6.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值 是________. 7.抽样统计甲、乙两个城市连续 5 天的空气质量指数(AQI),数 据如下: 城市 甲 乙 空气质量指数(AQI) 第1天 109 110 第2天 111 111 第3天 132 115 第4天 118 132 第5天 110 112
(第 6 题)

则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填“甲”或“乙”). 8.已知正三棱锥的侧棱长为 1,底面正三角形的边长为 2.现从该正三棱锥的六条棱中随 机选取两条棱,则这两条棱互相垂直的概率是________. π 9. 将函数 f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移 个单位后得到的图象关于原点 6 对称,则 φ 等于________. 1 1 ? 10.已知等比数列{an}的首项为 2,公比为 3,前 n 项和为 Sn.若 log3? ?2an(S4m+1)?=9,则n 4 + 的最小值是________. m 11. 若向量 a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ), 且|a+b|≤2a· b, 则 cos(α-β)的值是________. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线,则当 a>0 时,实数 b 的最小值是______________.

13.已知集合 M={(x,y)|x-3≤y≤x-1},N={P|PA≥ 2PB,A(-1,0),B(1,0)},则 表示 M∩N 的图形面积等于________. 14. 若函数 f(x)=ax2+20x+14(a>0)对任意实数 t, 在闭区间[t-1, t+1]上总存在两实数 x1、 x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8 成立,则实数 a 的最小值为________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥CD,AB1⊥BC,且 AA1=AB.求证: (1) AB∥平面 D1DCC1; (2) AB1⊥平面 A1BC.

(第 15 题)

16.(本小题满分 14 分) 3 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 c=-3bcosA,tanC= . 4 (1) 求 tanB 的值; (2) 若 c=2,求△ABC 的面积.

17.(本小题满分 14 分) 已知 a 为实常数,y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)= a3 2x- 2 +1. x (1) 求函数 f(x)的单调区间; (2) 若 f(x)≥a-1 对一切 x>0 成立,求 a 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分) ︵ 如图,一块弓形薄铁片 EMF,点 M 为EF的中点,其所在圆 O 的半径为 4 dm(圆心 O 在弓 2π 形 EMF 内), ∠EOF= .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD(不计损耗), AD∥EF, 3 ︵ 且点 A、D 在EF上,设∠AOD=2θ. (1) 求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于 θ 的函数关系式; (2) 当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时,求 cosθ 的值.

(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) x2 y2 3 3 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)过点?1, ?,离心率为 ,又椭 a b 2 2? ? 1? → 圆内接四边形 ABCD(点 A、B、C、D 在椭圆上)的对角线 AC、BD 相交于点 P? ?1,4?,且AP= → → → 2PC,BP=2PD. (1) 求椭圆的方程; (2) 求直线 AB 的斜率.

(第 19 题)

20.(本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足 a1+a2=a3,b1b2=b3,且 a3,a2+b1,a1+b2 成等差 数列,a1,a2,b2 成等比数列. (1) 求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2) 按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项: 第 1 次从数列{an}中取 a1, 第 2 次从数列{bn}中取 b1,b2, 第 3 次从数列{an}中取 a2,a3,a4, 第 4 次从数列{bn}中取 b3,b4,b5,b6, ?? 第 2n-1 次从数列{an}中继续依次取 2n-1 个项, 第 2n 次从数列{bn}中继续依次取 2n 个项, ?? 由此构造数列{cn}:a1,b1,b2,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8, b9,b10,b11,b12,?,记数列{cn}的前 n 项和为 Sn.求满足 Sn<22 014 的最大正整数 n.

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数学Ⅱ附加题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】从 A、B、C、D 四小题中选做两小题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4-1:几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,已知 CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的外接圆交 BC 于点 N,且 BN=2AM. 求证:AB=2AC.

B.(选修 4-2:矩阵与变换) (本小题满分 10 分) 设二阶矩阵 A、B 满足 A 1=?


(第 21—A 题)

?1 2?,(BA)-1=?1 0?,求 B-1. ? ? ? ?3 4? ?0 1?

C.(选修 4-4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知曲线 C:ρ=2sinθ,过极点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,且 AB= 3,求直线 l 的方程.

D.(选修 4-5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) x y z 1 1 1 已知 x、y、z 均为正数,求证: + + ≥ + + . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,设 P1,P2,?,P6 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同点构 成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量 S. (1) 求 S= 3 的概率; 2

(2) 求 S 的分布列及数学期望 E(S).

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 记 1,2,?,n 满足下列性质 T 的排列 a1,a2,?,an 的个数为 f(n)(n≥2,n∈N*).性质 T:排列 a1,a2,?,an 中有且只有一个 ai>ai+1(i∈{1,2,?,n-1}). (1) 求 f(3); (2) 求 f(n).

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数学试题参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{3,5} 2 8. 5 2.二 π 9. 3 3.x∈R,|x|>0 5 10. 2 4.3 11.1 5.7 12.-1 3 6.- 2 4 13. π+2 3 3 7.乙 14.8

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.证明:(1) 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥CD, AB ? 平面 D1DCC1, CD ? 平面 D1DCC1, 所以 AB∥平面 D1DCC1.(6 分) (2) 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 A1ABB1 为平行四边形,又 AA1=AB, 故四边形 A1ABB1 为菱形. 从而 AB1⊥A1B.(9 分) 又 AB1⊥BC,而 A1B∩BC=B,A1B、BC ? 平面 A1BC, 所以 AB1⊥平面 A1BC.(14 分) 16.解:(1) 由正弦定理,得 sinC=-3sinBcosA,(2 分) 即 sin(A+B)=-3sinBcosA. 所以 sinAcosB+cosAsinB=-3sinBcosA. 从而 sinAcosB=-4sinBcosA. tanA 因为 cosAcosB≠0,所以 =-4,即 tanA=-4tanB.(4 分) tanB tanA+tanB 3tanB 3 又 tanC=-tan(A+B)= = = , tanAtanB-1 4tan2B+1 4 1 解得 tanB= .(6 分) 2 (2) 由(1),得 sinA= 2 1 3 ,sinB= ,sinC= .(10 分) 5 5 5

2 2× 5 4 5 csinA 由正弦定理,得 a= = = .(12 分) sinC 3 3 5

1 1 4 5 1 4 所以△ABC 的面积为 acsinB= × ×2× = .(14 分) 2 2 3 5 3 17.解:(1) 由奇函数的对称性可知,我们只要讨论 f(x)在区间(-∞,0)上的单调性即可. 2a3 f′(x)=2+ 3 ,令 f′(x)=0,得 x=-a.(2 分) x ① 当 a≤0 时,f′(x)>0,故 f(x)在区间(-∞,0)上是单调递增.(4 分) ② 当 a>0 时,x∈(-∞,-a),f′(x)>0,所以 f(x)在区间(-∞,-a)上是单调递增; x∈(-a,0),f′(x)<0,所以 f(x)在区间(-a,0)上是单调递减.(6 分) 综上所述,当 a≤0 时,f(x)单调增区间为(-∞,0),(0,+∞); 当 a>0 时,f(x)单调增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调减区间为(-a,0),(0,a).(7 分) a3 a3 -2x- 2 +1?=2x+ 2 -1.(9 分) (2) 因为 f(x)为奇函数,所以当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-? x ? ? x a3 ① 当 a<0 时,要使 f(x)≥a-1 对一切 x>0 成立,即 2x+ 2 ≥a 对一切 x>0 成立. x a 而当 x=- >0 时,有-a+4a≥a,所以 a≥0,这与 a<0 矛盾. 2 所以 a<0 不成立.(11 分) ② 当 a=0 时,f(x)=2x-1>-1=a-1 对一切 x>0 成立,故 a=0 满足题设要求.(12 分) ③ 当 a>0 时,由(1)可知 f(x)在(0,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数. 所以 fmin(x)=f(a)=3a-1>a-1,所以 a>0 时也满足题设要求.(13 分) 综上所述,a 的取值范围是[0,+∞).(14 分) 18.解:(1) 设矩形铁片的面积为 S,∠AOM=θ.

π 当 0<θ< 时(如图①),AB=4cosθ+2,AD=2×4sinθ, 3 S=AB×AD=(4cosθ+2)(2×4sinθ)=16sinθ(2cosθ+1).(3 分) π π 当 ≤θ< (如图②),AB=2×4cosθ,AD=2×4sinθ, 3 2 故 S=AB×AD=64sinθcosθ=32sin2θ. 综上得,矩形铁片的面积 S 关于 θ 的函数关系式为

?16sinθ(2cosθ+1),0<θ<3, S=? (7 分) π π ?32sin2θ,3≤θ<2.
π (2) 当 0<θ< 时,求导,得 3 S′=16[cosθ(2cosθ+1)+sinθ(-2sinθ)]=16(4cos2θ+cosθ-2). 令 S′=0,得 cosθ= 33-1 .(10 分) 8

π

π? 33-1 记区间? ?0,3?内余弦值等于 8 的角为 θ0(唯一存在).列表: θ S′ S (0,θ0) + 增函数 θ0 0 极大值

?θ0,π? 3? ?
- 减函数

π π? π π 又当 ≤θ< 时,S=32sin2θ 在? ?3,2?上为单调减函数, 3 2 所以当 θ=θ0 即 cosθ= 33-1 时,矩形的面积最大.(16 分) 8 c 3
2 2

?a= 2 , a =4, 3 19.解:(1) 依题意,? 1 解得 + =1, b =1. a 4b ?c =a -b ,
2 2

? ? ? ? ?

2

2

2

x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1.(6 分) 4 x2 1 (2) 设 A(x1,y1),则 +y2 1=1. 4 3-x1 3-4y1? → → 由AP=2PC,得 C? ? 2 , 8 ?.(8 分) x2 代入椭圆方程 +y2=1,得 4 x2 1

?3-x1? ? 2 ?
4

2

+?

3-4y1?2 ? 8 ? =1.

3 19 2 整理,得 +y1 - (x1+y1)- =0,(10 分) 4 2 16 1 即 x1+y1=- .①(12 分) 8 1 设 B(x2,y2),同理可得 x2+y2=- .②(14 分) 8

y2-y1 ①-②,得 =-1, x2-x1 y2-y1 即直线 AB 的斜率为 k= =-1.(16 分) x2-x1 20.解:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, a +(a +d)=a +2d, ? ?b (b q)=b q , 依题意,得? (a +2d)+(a +b q)=2[(a +d)+b ], ? ?(a +d) =a (b q),
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1

解得 a1=d=1,b1=q=2.故 an=n,bn=2n.(6 分) (2) 将 a1,b1,b2 记为第 1 组,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6 记为第 2 组,a5,a6,a7,a8, a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12 记为第 3 组,??以此类推,则第 n 组中,有 2n-1 项选取 于数列{an},有 2n 项选取于数列{bn},前 n 组共有 n2 项选取于数列{an},有 n2+n 项选取 于数列{bn},记它们的总和为 Pn,并且有 n2(n2+1) Pn= +2n2+n+1-2.(11 分) 2 452(452+1) 2 071 P45-22 014= +2 -22 014-2>0, 2 442(442+1) 1 981 33 P44-22 014= -2 (2 -1)-2<0. 2 452(452+1) 当 Sn= +(2+22+?+22 012)时, 2 452(452+1) Sn-22 014=-22 013-2+ <0.(13 分) 2 452(452+1) 当 Sn= +(2+22+?+22 013)时, 2 Sn-2
2 014

452(452+1) =-2+ >0. 2

可得到符合 Sn<22 014 的最大的 n=452+2 012=4 037.(16 分)

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数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21.A. 证明:如图,在△ABC 中,因为 CM 是∠ACB 的平分线, AC AM 所以 = .①(3 分) BC BM 因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的割线, 所以 BM· BA=BN· BC, BA BN 即 = .(6 分) BC BM 又 BN=2AM, BA 2AM 所以 = .②(8 分) BC BM 由①②,得 AB=2AC.(10 分) B. 解:设 B 1=?


(第 21—A 题)

?a b?,因为(BA)-1=A-1B-1,(2 分) ? ?c d ?
a+2c=1, ? ?b+2d=0, b? (6 分) ?,即? d? 3a+4c=0, ? ?3b+4d=1,

所以?

?1 0?=?1 2??a ? ? ?? ?0 1? ?3 4??c
a=-2,

? ?b=31, 解得?c= , 所以 B 2 ? , ?d=-1 2
C.

-1

? -2 1 ? ? =? 3 1 ?.(10 分) ? ? 2 -2 ?

解:设直线 l 的方程为 θ=θ0(ρ∈R),A(0,0)、B(ρ1,θ0),(2 分) 则 AB=|ρ1-0|=|2sinθ0|.(5 分) 3 又 AB= 3,故 sinθ0=± .(7 分) 2 π π 解得 θ0= +2kπ 或 θ0=- +2kπ,k∈Z. 3 3 π 2π 所以直线 l 的方程为 θ= 或 θ= (ρ∈R).(10 分) 3 3 D.

x y 1 y x? 2 + ≥ .(4 分) 证明:因为 x、y、z 均为正数,所以 + ≥ ? yz zx z ?x y? z z y 2 x z 2 同理可得 + ≥ , + ≥ .(7 分) xy zx x yz xy y 当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式左、右两边分别相加,并除以 2, x y z 1 1 1 得 + + ≥ + + .(10 分) yz zx xy x y z 22.解:(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有 C3 6种不同选法, 其中 S= 3 的为有一个角是 30°的直角三角形(如△P1P4P5),共 6×2=12 种, 2 3? 12 3 = 3= .(3 分) 2 ? C6 5 3 3 3 3 , , . 4 2 4

所以 P?S=

?

(2) S 的所有可能取值为 S=

3 的为顶角是 120°的等腰三角形(如△P1P2P3), 4

共 6 种,所以 P?S=

?

3? 6 3 = 3= .(5 分) 4 ? C6 10
(第 22 题)

3 3 1 3 3? 2 S= 的为等边三角形(如△P1P3P5),共 2 种,所以 P?S= = 3= .(7 分) 4 4 ? C6 10 ? 又由(1)知 P?S=

?

3? 12 3 = 3= ,故 S 的分布列为 2 ? C6 5 S P 3 4 3 10 3 2 3 5 3 3 4 1 10

所以 E(S)=

3 3 3 3 3 3 1 9 3 × + × + × = .(10 分) 4 10 2 5 4 10 20

23.解:(1) 当 n=3 时,1,2,3 的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3, 1),(3,1,2),(3,2,1),其中满足仅存在一个 i∈{1,2,3},使得 ai>ai+1 的排列有(1, 3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), 所以 f(3)=4.(3 分) (2) 在 1,2,?,n 的所有排列(a1,a2,?,an)中, 若 ai=n(1≤i≤n-1),从 n-1 个数 1,2,3,?,n-1 中选 i-1 个数按从小到大的顺序 排列为 a1,a2,?,ai-1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个 数为 Cin-11.(6 分)


若 an=n,则满足题意的排列个数为 f(n-1).(8 分) 综上所述,f(n)=f(n-1)+ ∑ Cin-11=f(n-1)+2n 1-1.
- -

n-1 i=1

23(1-2n 3) 从而 f(n)= -(n-3)+f(3)=2n-n-1.(10 分) 1-2


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数学试题参考答案与解析
1.{3,5} 解析:本题考查集合的补集运算,属于容易题. 2.二 解析:z1-z2=(1-3)+(3-1)i=-2+2i,从而 z1-z2 在第二象限. 本题考查了复数的四则运算.本题属于容易题. 3.x∈R,|x|>0 解析:含有量词的命题否定要将存在换成任意,p 改成非 p. 本题考查了命题的否定.本题属于容易题. p 4.3 解析:由定义可知距离 1+ =1+2=3. 2 本题考查了抛物线的定义.本题属于容易题. 5.7 解析:由题设可知线性规划的可行域的四个顶点坐标分别为 (0,0),(2,0),(0,3),(1,2).作出可行域如图阴影部分所示,将最 优解(1,2)代入,从而(3x+2y)max=3×1+2×2=7. 本题考查了线性规划的应用.本题属于容易题. 3 6.- 解析:由题设流程图的循环体执行如下: 2 1 第 1 次循环体对 y= ×2-1=0,|y-x|=2≥1,x=0; 2 第 2 次循环体对 y=0-1=-1,|y-x|≥1,x=-1; 3 3 第 3 次循环体对 y=- ,|y-x|<1,停止,输出 y=- . 2 2 本题考查流程图基础知识,关键把握每一次循环体执行情况.本题属于容易题. 7. 乙 解析: 由题设可知甲的数据波动较大, 乙的数据波动较小, 由观察法知乙方差较小. 本题主要考查方差的概念以及观察法.本题属于容易题. 2 8. 解析:如图所示:SA⊥SB,SA⊥SC,SA⊥BC,SB⊥SC, 5 SC⊥AB.共有 6 组棱两两垂直,由题设可知,基本事件总数为 15,从 2 而概率为 . 5 本题考查古典概型与空间的线线、线面位置关系,属于容易题. π π π π 9. 解析:向右平移 后,解析式 f(x)=sin(2x+φ- )为奇函数,从而 φ- =kπ.又 0<φ 3 6 3 3

π <π,从而 φ= . 3 本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用.本题属于容易题. 2(1-34m) 5 1 + - n-1 10. 解析:由题设 an=2×3 ,S4m+1= +1=34m,∴ an(S4m+1)=34m n 1. 2 2 1-3 1 1 1 4 1 1 4? + 又 log3[ an(S4m+1)]=9, ∴ an(S4m+1)=39, 即 4m+n-1=9, ∴ 4m+n=10.又 + = ? 2 2 n m 10?n m? 1 4n 4m 5 4n 4m (4m+n)= ·(17+ + )≥ ,当且仅当 = ,即 m=n=2 时, “=”成立. 10 m n 2 m n 本题考查了等比数列的通项与前 n 项和的公式的应用以及运用基本不等式求函数的最 值.本题属于中等题. 11. 1 解析: 由题意知 a· b>0, 且 a2+2ab+b2≤4|a· b|2, 即 2+2ab≤4|a· b|2, 从而有 2(|a· b|2) -a· b-1≥0, 即(2a· b+1)(a· b-1)≥0, ∴ a· b≥1, 即|a||b|cos(α-β)≥1, ∴cos(α-β)≥1.又 cos(α -β)≤1,∴cos(α-β)=1. 本题考查了向量数量积与三角函数综合应用, 主要考查向量见模就平方的常见处理方法. 本 题属于中等题. a 12.-1 解析:不妨设切点 P(x0,y0),则 f′(x0)= =1,∴ x0=a,从而 y0=a+b,y0 x0 =alna,即有 b=alna-a,a>0.又令 b′(a)=lna=0,解得 a=1,∴ 当 a=1 时,b 取得最小值 -1. 本题考查导数的几何意义以及运用导数求函数的最值,属于中等题. 4 13. π+2 3 3 解析:设 P(x,y),由 PA2≥PB2 知(x+1)2+y2≥

2(x-1)2+2y2.整理得(x-3)2+y2≤8,则集合 M∩N 示意图如下图, 则 SM∩N=S△ABN+2S 扇 BNF.又 N(3,0)到 AB 距离 d= 2,从而△ABN 2π 3 为顶角为 的等腰三角形,∴ S△ABN= (2 2)2=2 3,2S 3 4
扇 BNF

=2

1 π 4 4 × l·r=lr=r2θ=8× = π.综上知 M∩N 的图形面积为 π+2 3. 2 6 3 3 本题考查了直线与圆的综合应用以及数形结合的数学思想.本题属于难题. 【天利版本】 求出集合 N 对应的区域后, 利用扇形面积公式求解. 设 P(x, y), 由 PA≥ 2PB 得(x+1)2+y2≥2[(x-1)2+y2],化简得(x-3)2+y2 ≤8.所以 M∩N 对应的平面区域如图,面积为半圆面积减去弓

2π 形面积.因为圆心 C(3,0)到直线 y=x-1 的距离为 2,所以圆心角∠ACB= ,所以扇 3 1 2π 8π 1 3 8π 形 ACB 的面积为 ×8× = ,△ACB 的面积为 ×8× =2 3,所以弓形面积为 - 2 3 3 2 2 3 8π ? 4 2 3,故阴影部分的面积为 4π-? ? 3 -2 3?=3π+2 3. 10 2 100 x+ ? +14- (a>0),由题设知原题可以等价于对任意区间[x1, 14.8 解析:f(x)=a? ? a? a x2],x2-x1=2,函数 f(x)在[x1,x2]上的最大值与最小值之差大于等于 8,不妨设 g(x)=ax2+14 - 100 ,则原题可转化成对任意 t∈R,g(x)在[t,t+2]上最大值与最小值之差大于等于 8, a ① 当 t≥0 时,g(x)在[t,t+2]上递增, 从而 gmax(x)-gmin(x)=g(t+2)-g(t)=a[(t+2)2-t2]≥8,即 a(4t+4)≥8 对 t≥0 恒成立,从 而 4a≥8?a≥2; ② 当 t+2≤0 时,g(x)在[t,t+2]上递减,从而 gmax(x)-gmin(x)=g(t)-g(t+2)≥8 时,对任 意 t≤-2 恒成立,即 a(-4t-4)≥8.对任意 t≤-2 恒成立,从而 a(8-4)≥8?a≥2; ③ 当 t+1≤0 时,g(x)在[t,0]上递减,在[0,t+2]上递增,且 g(t+2)≥g(t),从而 gmax(x) -gmin(x)=g(t+2)-g(0)=a(t+2)2≥8,对于任意 t≥-1 恒成立,从而有 a≥8; ④ 同理 t+1≥0 时,也有 a≥8,综上知 a≥8. 本题考查了二次函数在给定区间上的最值问题, 用二次函数图象性质解决相关恒成立问题, 以及等价转化的数学思想.本题属于难题. 【恩波版本】 解析:要使函数 f(x)=ax2+20x+14(a>0)在任意长度为 2 的闭区间[t-1,t+1]上总存在两 个实数 x1,x2 使得|f(x1)-f(x2)|≥8 成立,只需要|f(x1)-f(x2)|min≥8 成立.因为 f(x)=ax2+20x +14(a>0)的对称轴为 x=-
2 2

10 ? 10 ? ? 10?? ,即? ?f?- a -1?-f?- a ??≥8 恒成立,从而可求实数 a,即 a

?a??-10-1? -?-10? ?+20?-10-1+10?+14-14?≥8,有|20+a-20|≥8,|a|≥8.所 a? ? a ? ? a?? ? ?? a ?
以实数 a 的最小值为 8. 【天利版本】 解析:利用二次函数图象求解.由题意可得(f(x)max-f(x)min)min≥8.又因为在二次函数图象 上,区间[t-1,t+1]离对称轴越远,f(x)max-f(x)min 越大,所以当[t-1,t+1]关于对称轴 对称时,f(x)max-f(x)min 取得最小值,为 f(t+1)-f(t)=a≥8,所以实数 a 的最小值为 8.

南通市 2014 届高三第一次调研测试 数学Ⅰ讲评建议
第 1 题 考查集合的运算,补集的概念. 第 2 题 考查复数的减法运算与几何意义. 第 3 题 考查全称量词与存在量词的否定,数学符号语言. 第 4 题 考查抛物线的几何性质. 法一:由 y2=8x 得其焦点 F 坐标为(2,0),设 A(1,m),则 m2=8.AF= (2-1)2+m2=3. 法二:y2=8x 的准线方程为 x=-2. 由抛物线的定义可知点 A(1,m)到抛物线焦点的 距离等于到准线的距离即为 1-(-2)=3. 第 5 题 考查考线性规划,数形结合思想及估算能力. 第 6 题 考查算法的概念,算法主要考查流程图与伪代码,复习时要求能看懂流程图与伪代码 就行,不宜过难过深. 第 7 题 考查期望与方差的求法,总体分布的估计. 第 8 题 考查古典概型,几何中的线线关系. 正三棱锥的对棱相互垂直这样有 3 对,由三个侧面为等腰直角,三条侧棱相互垂直也 2 有 3 对.在 6 条棱中任取两条共有 15 对,所以其概率为 . 5 第 9 题 本题考查三角函数图象变换,函数的奇偶性,图象的对称性. f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? , 个单位后得到 ? 0 ? ? ? ?? 图象上每一点向右平移 ? ? g(x)= sin 2 x ? ? ? ? 的图象关于 3

?

?

π π π 原点对称,所以,φ- =kπ(k∈Z).φ=kπ+ (k∈Z).因为 ? 0 ? ? ? ? ? ,所以 φ= . 3 3 3 1 第 10 题 考查等比数列的性质,基本不等式的应用.由 log3[ an(S4m+1)]=9,得 n+4m=10, 2 1 4 1 1 4 1 4m 4n + = (n+4m)( + )= (5+ + )≥ 5 . n m 10 n m 10 n m 2

第 11 题 考查两角和与差的三角函数,向量模与向量积. 解法一: a ? b ≤2a ? b ?2cos2(α-β)-2cos(α-β)-1≥0, 1 得 cos(α-β)≥1,或 cos(α-β)≤- (舍去). 2 故 cos(α-β)=1. 解法二:用向量加法的几何意义解题更简单. 第 12 题 考查导数、最值、函数切线等知识. a a 因为 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,设切点为(x0,alnx0),y′= |x=x0= =1,x0=a, x x0 又点(x0,alnx0)在直线 y ? x ? b 上,所以 alna=a+b.即 b=alna-a,a∈(0,+∞), 令 g(x)=xlnx-x, g′(x)=lnx, 当 x∈(0,1), g′(x)<0, g(x)在区间(0,1)单调减, 当 x∈(1,+∞), g′(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)单调增.故 g(x)≥g(1)=-1. 第 13 题 考查集合的性质,直线方程,圆方程,数形结合,轨迹等数学知识. 设 P(x,y),由 PA≥ 2PB,得 (x+1)2+y2≥ 2 (x-1)2+y2,化简得:(x-3)2+y2≤8. 直线 y=x-3 过圆(x-3)2+y2=8 的圆心,所以 M∩N 的图象是曲边梯形,由两个扇形 4 与一个等腰三角形组成,其面积为 2 3+ π. 3 第 14 题 考查二次函数,不等式,最值及综合应用数学知识解决问题的能力. 10 100 10 f ( x) ? ax2 ? 20x ? 14 (a ? 0) =a(x+ )2+14- ,要使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≥|f(- )- a a a 10 f(- +1)|=|a|≥8. a 第 15 题 考查线、面的平行与垂直.评讲时可作适当的变形,拓展,加深.如可证明:A1C⊥ AB1;一平面 A1ABB1∥平面 D1DCC1 等. 第 16 题 考查三角函数的恒等变形,两角和与差的三角函数,正弦定理,余弦定理,三角形的 面积计算.考查学生代数恒等变形能力,基本计算能力.本题还可以这样解: 3 3 4 解法一:∵tanC= ,且 0<C<π.∴sinC= ,cosC= . 4 5 5 ∵c=-3bcosA,∴sinC=-3 sinBcosA,5sinBcosA=-1, 1 ?5sinBcos(B+C)=1?4sinBcosB-3sin2B=1?4tan2B-4tanB+1=0?tanB= . 2

?c=-3bcosA ? ?c=-3bcosA ?3a2=3b2+5c2 ? 2 2 3 4 ?? 解法二: 由? ?? a=2b, 2 2 2?a -4ab+4b =0, ?8ab=5a +5b -5c tan C = cos C = ? ? 4 5 ? ?
c= a2+c2-b2 2 3 1 b,cosB= = ,所以 tanB= . 2ac 2 5 5

第 17 题 考查函数的单调性、 函数的最值、 函数的极值, 利用导数研究函数的性质, 分类讨论. 本 题也可以得用函数的单调性定义来求解. a3 解:由题设得:f(x)=2x+ 2 -1,(x>0), x (1)当 a≤0 时,显然 f(x)在(0,+∞)为增函数; (2)当 a>0 时,可有定义证明在(0,a)上单调减,(a,+∞)上为单调增. a3 a3 f(x)=2x+ 2 -1=x+x+ 2 -1≥3 x x 最小值. 第 18 题 考查数学实际的应用,分段函数,分段函数的最值. 本题变量设为 BC=2x, (1)当 0<x≤ 3)时,AB=2+ 16-x2, S(x)=4x+2x 16-x (0<x≤ 3).
O O
2 3

a3 x·x· 2 -1=3a-1,当且仅当 x=a,f(x)取得 x

A

l M

l M

D

A

D

(2)当 3<x<2 时,AB=2 16-x2, S(x)=4x 16-x2(0<x≤ 3).

B E B

C F

E

然后由导数或基本不等求最值.



F

C

第 19 题 考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性,直线与椭圆的位置关系,向量坐标运算,考查 学生模块的运算能力. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)可得 x1 ? y1 ? ? 1 , x2 ? y2 ? ? 1 ,故 AB 的斜率为-1. 8 8 第 20 题 考查等差数列与等比数列的基本性质,不等式及综合解题能力. 第 23 题 (2)设在 1,2,?, n 的所有排列 (a1 , a 2 ,?, an ) 中,符合条件的排列有 f(n) ,则 将 n+1 添加进去后,方法之一是将它放在上述每个排列的最后,方法之二是放入符合 条件 ai ? ai ?1 的 ai,ai+1 之间,此时共有 2f(n)个。 又将 n+1 放在(1,2,3,?,n)的每个数字的前面,又有 n 个,

所以 f(n+1)=2f(n)+n,f(n+1)+n+1=2[f(n)+n],又 f(2)=1,从而 f (n) ? 2n ? n ? 1 .


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