专题3-4 基本不等式讲-2017-2018学年高二数学同步课堂必修五 含解析 精品

☆学习目标☆ ☆学习重点☆ 1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题; 2.会合理拆项或凑项,会应用基本不等式; ☆学习难点☆ 1.会求给定条件的最值问题; 2.能证明一些简单的不等式. ☆教学过程☆ 一、创设情境: 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗? 引入新课,板书课题:基本不等式 二、探究新知 (一)探究一: 问题 1:设直角三角形的长为 a、b,那么正方形的边长为 a 2 ? b 2 ;面积为 a ? b ,4 个直角 2 2 三角形的面积和是 2ab. 问题 2:根据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系,我们可得到一个怎样的不等 式 a 2 ? b 2 ? 2ab 问题 3:4 个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗?何时相等?图形怎样变 化? 当直角三角形变成等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 变成一个点,这时有 a 2 ? b 2 ? 2ab 问题 4:你能给出它的证明吗?学—— ? a 2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 ? 0 ,? a 2 ? b2 ? 2ab, 当且仅当 a=b 时,取“=” 归纳小结: (重要不等式) , 对于任意的实数 a,b,都有 a ? b ? 2ab ;当且仅当 a=b 时, 取 “=” 。 2 2 探究二: 问题 5:既然对于任意的实数 a,b,都有 a +b ≥2ab,如果 a>0,b>0,用 a, b分别代替 a +b ≥2ab 中的 a,b 会得到怎样的不等式? a ? b ? 2 ab 2 2 2 2 问题 6:如何证明不等式 ab≤ a+b (a>0,b>0)? 2 ? a ? b ? 2 ab ? ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 a ? b ? ( a ? b ) 2 ? 0 证明: a?b ? a ? b ? 2 ab,? ab ? 2 归纳小结: 若 a>0,且 b>0,那么 ab ? a?b ,我们把这个不等式叫做基本不等式(又叫均值不等式) 。 2 问题 7:如下图,AB 是圆 O 的直径,点 Q 是 AB 上任一点,AQ=a,BQ=b,过点 Q 作 PQ 垂直 a+b AB 于 Q,连接 AP,PB.你能利用这个图形得出基本不等式 ab≤ 的几何解释吗? 2 答 易证 Rt△APQ∽Rt△PBQ,那么 PQ2=AQ· QB, a+b a+b 即 PQ= ab.半径 OP= 2 ,显然,它大于或等于 PQ,即 2 ≥ ab,其中 当且仅当点 Q 与圆心 O 重合,即 a=b 时,等号成立. 定理解读: (1)基本不等式的几何意义: “半径不小于半弦” (2)平均数解释: a?b 叫做 a、b 的算数平均数, ab 叫做 a、b 的几何平均数。 2 a?b ? ab 。 2 (3)定理成立的条件是 a=b;结论是 三、知识应用 例 1 已知 a,b,c 为任意的实数,求证:a +b +c ≥ ab+bc+ca. 证明: 2 2 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab; b 2 ? c 2 ? 2bc; c 2 ? a 2 ? 2ca ? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) 即a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca y x 例 2 已知 x、y 都是正数.求证: + ≥ 2. x y 证明: ? x, y都是正数, ? x y ? 0, ? 0, y x x y x y x y ? ? ?2 ? ? 2, 即 ? ? 2 y x y x y x 当且仅当x ? y时,等号成立。 ☆课堂小结☆ 1、应用基本不等式求最值时,①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使 之能够出现定值是解题的关键;②必须指出等号成立的条件. 2、利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接 使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等 式的条件; ☆课后作业☆ 课本 p101 页习题 3.4B 组 1、2 精品文档 强烈推荐

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