高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算312空间向量的基本定理自我小测新人教B版选修21

3.1.2 空间向量的基本定理 自我小测 1.若 a 与 b 不共线,且 m=a+b,n=a-b,p=2a,则( A.m,n,p 共线 B.m 与 p 共线 ) C.n 与 p 共线 D.m,n,p 共面 → → 2.如图所示,在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若A1B1=a,A1D1= b,A1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是( → → ) 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2 ) → → → → 3.对于空间一点 O 和不共线的三点 A,B,C,且有 6OP=OA+2OB+3OC,则( A.O,A,B,C 四点共面 C.O,P,B,C 四点共面 B.P,A,B,C 四点共面 D.O,P,A,B,C 五点共面 4.三射线 AB,BC,BB1 不共面,若四边形 BB1A1A 和四边形 BB1C1C 的对角线均互相平分, → → → → 且AC1=xAB+2yBC+3zCC1,那么 x+y+z 的值为( 5 A.1 B. 6 2 C. 3 11 D. 6 ) ) → → → 1→ → 5. 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若AD=2DB, CD= CA+λ CB, 则 λ =( 3 A. 2 1 1 2 B. C.- D.- 3 3 3 3 → → → → 6.已知 G 是△ABC 的重心,点 O 是空间任意一点,若OA+OB+OC=λ OG,则 λ = __________. 7.在 → → → ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,AC=λ AE+μ AF,其中 λ ,μ ∈R, 则 λ +μ =__________. → → → → 8.在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,若AC1=x·AB+2y·BC+3z·C1C,则 x+y+z 等于 __________. 1 → → → → → → 9.已知平行四边形 ABCD,从平面 ABCD 外一点 O 引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC, → OH=kOD. 求证:(1)点 E,F,G,H 共面; (2)AB∥平面 EFGH. 10.如图,在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1. → 2 参考答案 1.解析:p=2a=m+n,即 p 可由 m,n 线性表示,所以 m,n,p 共面. 答案:D 1 1 → → → → 1→ → 1 → → 2.解析:B1M=B1B+B M =A1A+ BD=A1A+ (B1A1+B1C1)=- a+ b+c.∴应选 A. 2 2 2 2 答案:A → → → → → → → → → → → → → 3. 解析: 由 6OP=OA+2OB+3OC, 得OP-OA=2(OB-OP)+3(OC-OP), 即AP=2PB+3PC, → → → ∴AP,PB,PC共面.又它们有同一公共点 P,∴P,A,B,C 四点共面. 答案:B → → → 4.解析:由题意知 AB,BC,BB1 不共面,四边形 BB1C1C 为平行四边形,CC1=BB1,∴{AB, → BC,CC1}为一个基底. → → → → 又由向量加法AC1=AB+BC+CC1, ∴x=2y=3z=1. 1 1 11 ∴x=1,y= ,z= ,∴x+y+z= . 2 3 6 答案:D 2 → → → → 2→ → 2 → → 1→ 2→ 5.解析:如图,CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB,∴λ = . 3 3 3 3 3 → 答案:A 6.答案:3 → → 7.解析:设AB=a,AD=b, 1 → → 1 → 则AC=a+b,AE= a+b,AF=a+ b, 2 2 3 → → ?1 ? ∴λ AE+μ AF=λ ? a+b?+μ ?2 ? ?a+1b?=?1λ +μ ?a+?λ +1μ ?b, ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ∴a+b=? λ +μ ?a+?λ + μ ?b, 2 ? ?2 ? ? 1 ? ?2λ +μ =1, ∴? 1 ?λ +2μ =1, ? 4 ∴λ +μ = . 3 答案: 4 3 2 ? ?λ =3, ∴? 2 ?μ =3, ? → → → → → → → 8.解析:如图,AC1=AB+BC+CC1=AB+BC+(-1)·C1C, → → → → 又已知AC1=x·AB+2y·BC+3z·C1C, → → → → → → ∴x·AB+2y·BC+3z·C1C=AB+BC+(-1)·C1C x=1 ? ? ? ?2y=1 ? ?3z=-1 1 1 ?x=1,y=2,z=-3, 1 1 7 ∴x+y+z=1+ - = . 2 3 6 答案: 7 6 → → → → 9.思路分析:(1)要证 E,F,G,H 四点共面,可先证向量EG,EF,EH共面,即只需证EG → → 可以用EF,EH线性表示; → → → → (2)可证明AB与平面 EFGH 中的向量EF或EG,EH之一共线. → → → 证明:(1)∵OA+AB=OB, → → → ∴kOA+kAB=kOB. 4 → → → → 而OE=kOA,OF=kOB, → → → ∴OE+kAB=OF. → → → 又OE+EF=OF, → → ∴EF=kAB. → → → → 同理:EH=kAD,EG=kAC. ∵ABCD 是平行四边形, → → → ∴AC=AB+AD, → → → EG EF EH ∴ = + , k k k → → → 即EG=EF+EH.又它们有同一公共点 E, ∴点 E,F,G,H 共面. → → (2)由(1)知EF=kAB,

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