20142015学年高中数学北师大版必修二练习:215平面直角坐标系中的距离公式

第二章

§1

1.5

一、选择题 1.已知 A(3,7),B(2,5),则 A,B 两点间的距离为( A.5 C.3 [答案] B [解析] 由平面内两点间的距离公式可知|AB|= 2.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( 1 A. 2 3 2 C. 2 [答案] C |1-?-1?+1| 3 2 [解析] 由点到直线的距离公式可得 = . 2 2 3.已知点 P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线 x-y=0 的距离是( A. C. 2 (a-b) 2 2 (b-a) 2 B.b-a D. a2+b2 ) 3 B. 2 D. 2 2 ) ?3-2?2+?7-5?2= 5. B. 5 D. 29 )

[答案] C [解析] ∵P(a,b)是第二象限点, ∴a<0,b>0. ∴a-b<0. |a-b| 2 ∴点 P 到直线 x-y=0 的距离 d= = (b-a). 2 2 4.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|=( A.5 C.2 5 [答案] C [解析] 设 A(x,0),B(0,y),因 P 为 AB 的中点, B.4 2 D.2 10 )

则 x=4,y=-2,∴|AB|=

16+4=2 5. )

5.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是坐标原点,则|OP|的最小值是( A. 7 C.2 2 [答案] C [解析] |OP|最小即 OP⊥l 时, ∴|OP|min= |0+0-4| =2 2. 2 B. 6 D. 5

6.已知两直线 2x+3y-3=0 与 mx+6y+1=0 平行,则它们间的距离等于( 2 13 A. 13 7 13 C. 26 [答案] C 2 [解析] ∵直线 2x+3y-3=0 的斜率 k1=- , 3 m 直线 mx+6y+1=0 的斜率 k2=- , 6 2 m ∴- =- ,得 m=4. 3 6 ∴它们间的距离 d= 二、填空题 7.已知 A(a,6),B(3,-2),且|AB|=17,则实数 a 的值为________. [答案] 18 或-12 [解析] |AB|= ?a-3?2+?6+2?2=17, |-6-1| 4 +6
2 2

)

5 13 B. 26 D.4



7 13 . 26

解得 a=18 或 a=-12. 8.直线 2x-y-1=0 与直线 6x-3y+10=0 的距离是________. [答案] 13 5 15

[解析] 方法一:在方程 2x-y-1=0 中令 x=0,则 y=-1,即(0,-1)为直线上的一 |6×0-3×?-1?+10| 13 5 点.由点到直线的距离公式,得所求距离为 = . 15 62+32

|-3-10| 13 13 5 方法二: 直线 2x-y-1=0 可化为 6x-3y-3=0, 则所求距离为 = = . 15 62+32 3 5 三、解答题 9.过点 P(1,2)引一直线,使它与两点 A(2,3)、B(4,-5)的距离相等,求这条直线方程. [解析] 方法一:设所求直线为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0, |2k-3-k+2| |4k+5-k+2| 由已知得 = , k2+1 k2+1 3 解得 k=-4 或- , 2 故所求直线为 3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0. 方法二:因为 A(2,3),B(4,-5)到这条直线的距离相等, 所以这条直线与 AB 平行或过 AB 的中点. 当与直线 AB 平行时,k=kAB= 3-?-5? =-4, 2-4

直线方程为 y-2=-4(x-1),即 4x+y-6=0. 当直线过 AB 的中点(3,-1)时,由两点式得 方程为 x-3 = ,即 3x+2y-7=0. 2-?-1? 1-3 y-?-1?

故所求直线方程为 4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0.

一、选择题 1.过点 A(4,a)和点 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|=( A.6 C.2 [答案] B b-a [解析] 由题意得 kAB= =1,即 b-a=1, 5-4 ∴|AB|= ?5-4?2+?b-a?2= 2,故选 B. B. 2 D.不能确定 )

2.P,Q 分别为 3x+4y-12=0 与 6x+8y+6=0 上任一点,则|PQ|的最小值为( 9 A. 5 C.3 [答案] C 18 B. 5 D.6

)

[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线 3x+4y-12=0 上取点(4,0), 然后利用点到直线的距离公式得 PQ 的最小距离为 3. 二、填空题 3. 若直线 l 经过点 A(5,10), 且坐标原点到直线 l 的距离为 10, 则直线 l 的方程是________. [答案] 4x+3y-50=0 或 y=10 [解析] ①k 存在时,设直线方程为 y-10=k(x-5), |10-5k| ∴10= . 1+k2 4 ∴k=- 或 k=0. 3 4 ∴y-10=- (x-5)或 y=10. 3 ②k 不存在时,x=5 不符合题意. 综上所述,4x+3y-50=0 或 y=10 为所求. x y 4.点 P(m+n,-m)到直线 + =1 的距离为______. m n [答案] |m2-n2| m2+n2

x y x y [解析] 将直线 + =1 化为一般式为 nx+my-mn=0, 故 P(m+n, -m)到直线 + = m n m n |n?m+n?-m2-mn| |m2-n2| 1 的距离 d= = . m2+n2 m2+n2 三、解答题 5.已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积. 1 [解析] 设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC= |AB|· h, 2 |AB|= ?3-1?2+?1-3?2=2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离,

y-3 x-1 AB 边所在直线方程为: = , 1-3 3-1 即:x+y-4=0. 点 C 到 x+y-4=0 的距离 |-1+0-4| 5 h= = . 2 12+12 1 5 因此 S△ABC= ×2 2× =5. 2 2 6.直线 l 经过 A(2,4),且被平行直线 x-y+1=0 与 x-y-1=0 所截得的线段的中点在 直线 x+y-3=0 上,求直线 l 的方程. [解析] 解法一:设所求的直线的斜率为 k,则所求直线 l 的方程为 y-4=k(x-2).

? ?y-4=k?x-2?, 由? ?x-y+1=0, ?
2k-3 3k-4 可解得 P( , ); k-1 k-1

? ?y-4=k?x-2?, 由? ?x-y-1=0, ?
2k-5 k-4 可解得 B( , ). k-1 k-1 2k-4 2k-4 ∴P、B 的中点 D 的坐标为( , ). k-1 k-1 又∵D 在直线 x+y-3=0 上, 2k-4 2k-4 ∴ + -3=0,解之得 k=5. k-1 k-1 所以,所求直线的方程为 y-4=5(x-2), 即 5x-y-6=0. 解法二:与 x-y-1=0 及 x-y+1=0 等距离的直线必定与它们是平行的,所以设 x-y

+c=0,从而

|c+1|

= 1+1

|c-1|

,解之得,c=0,∴x-y=0,又截得的线段的中点在 x+y-3 1+1

? ?x-y=0, 3 3 3 3 =0 上,∴由? 可解得中点坐标为( , ),所以直线 l 过点(2,4)和( , ), 2 2 2 2 ? ?x+y-3=0,
从而得 l 的方程为 5x-y-6=0. 7.已知点 P(2,-1),求: (1)过点 P 且与原点的距离为 2 的直线方程; (2)过点 P 且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大值; (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存 在,请说明理由. [解析] (1)当斜率不存在时,方程 x=2 适合题意 当直线的斜率存在时,设为 k,则直线方程应为 y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0. 根据题意 |2k+1| 3 =2,解得 k= . 4 k2+1

∴直线方程为 3x-4y-10=0. ∴所求直线方程应为 x-2=0 或 3x-4y-10=0. (2)过点 P 且与原点的距离最大的直线方程应为过点 P 且与 OP 垂直的直线,易求其方 程 2x-y-5=0,且最大距离 d= 5. (3)由于原点到过点(2,-1)的直线的最大距离 5,而 6> 5. ∴这样的直线不存在.


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