专题3-2 一元二次不等式及其解法-试题君之K三关2017-2018学年高二数学 含解析 精品

3.2 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的定义 我们把只含有_________个未知数,并且未知数的最高次数是_________的不等式,称为一 元二次不等式.例如:x +x>0,2x +3x+1<0,x -3x≥0,x -x-2≤0 都是一元二次 不等式. 注: (1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数 是唯一的,但这并不意味着不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母 看成常数; (2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是 2, 且最高次项的系数不为 0. 2.一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式:ax +bx+c>0, ax + bx + c ≥ 0 , ax + bx + c < 0 , ax + bx +c≤0. 其中 a,b,c 为常数,且 a≠0. 3.一元二次不等式的解与解集 使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫这个一元二次不等式的_________, 所有的解组成的 集合叫做这个一元二次不等式的_________.例如 x=1 是不等式 x -2x<0 的解,不等式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2-2x<0 的解集为 {x | 0 ? x ? 2} . 注:将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫做不等式的同解变形. 4.三个“二次”之间的关系 ? ? b2 ? 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ??0 ??0 ??0 有两个不相等的实数根 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相等的实数 根 x1 ? x2 ? ? x1 ? ?b ? ? ?b ? ? ,x2 ? 2a 2a b 2a 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x | x ? x1 , 或 x ? x2 } {x | x ? ? b } 2a R ax2+bx+c<0 ____________ (a>0)的解集 ? ? 注:上述表格是解一元二次不等式的一个依据,其中 x1,x2 具有三重身份: (1)相应的一 元二次方程的实数根; (2)相应的二次函数的零点; (3)相应的一元二次不等式解集的区 间端点. 5.一元二次不等式的解法 由上述三个“二次”之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下: (1)通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为 0); (2)计算判别式 ? ,求相应的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根; (3)画出对应二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象; (4)根据图象及一元二次不等式解集的几何意义写出解集. 我们可以用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来,如下: 2 K 知识参考答案: 1.一 2 3.解 解集 4. {x | x1 ? x ? x2 } K—重点 K—难点 K—易错 三个“二次”之间的关系、一元二次不等式的解法及步骤 含参不等式的求解、高次(分式)不等式的求解、穿针引线法的应用 解含参不等式时不能正确分类或忽略对二次项系数的讨论 解不含参数的一元二次不等式 解不含参数的一元二次不等式有以下三种方法: 方法 1:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式, 则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集. 其依据是上一节所学 的有关因式积的符号法则. 即:若 ab>0,则 a,b 同号;若 ab<0,则 a,b 异号.因此我们可以将二次三项式进 行因式分解,然后利用上述符号法则来求解一元二次不等式. 方法 2:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大 于或等于零,不等式的解集易得. 方法 3:若上述两种方法不能解决,则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法. 解下列不等式: (1)2x +7x+3>0; (4) ? 2 (2)x -4x-5≤0; 2 (3)-4x +18x- 2 81 ≥ 0; 4 1 2 x +3x-5>0; (5)-2x2+3x-2<0; (6)-2<x2-3x≤10. 2 1 9 【答案】(1){x|x> ? 或 x<-3};(2){x|-1≤x≤5};(3) {x | x ? } ; 2 4 (4) ? ;(5)R;(6)[-2,1)∪(2,5]. 【解析】(1)因为 Δ =72-4×2×3=25>0,所以方程 2x2+7x+3=0 有两个不等实根 x1= -3,x2= ? 1 . 2 2 又二次函数 y=2x +7x+3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x> ? 1 或 x<-3}. 2 (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 2 (3)原不等式可化为 (2 x ? ) ≤0,所以原不等式的解集为 {x | x ? } . 9 2 9 4 (4)原不等式可化为 x2-6x+10<0,Δ =(-6)2-40=-4<0,所以方程 x2-6x+10=0 无 实根, 又二次函数 y=x2-6x+10 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 ? . (5)原不等式可化为 2x -3x+2>0, 因为 Δ =9-4×2×2=-7<0,所以方程 2x2-3x+2=0 无实根, 又二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 R. 2 ? ? x ? 3x ? ?2 ① (6)原不等式等价于 ? 2 , ? ? x ? 3x ? 10 ② 2 ①可化为 x -3x+2>0,解得 x>2 或 x<1;②可化为 x -3x-10≤0,解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5]. 【名师点睛】 ( 1 )一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系, 不要将二者混淆; (2)如果能对一个多项式

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