“等腰三角形”“线段垂直平分线”习题及答案

等腰三角形

要点一、等腰三角形的性质及判定

一、选择题

1.(2009·宁波中考)等腰直角三角形的一个底角的度数是( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

【解析】选 B .因为等腰三角形的两个底角相等,而等腰直角三角形的两个底角互余,所以每个底角等于 45°;

2、(2009·威海中考)如图, AB ? AC,BD ? BC ,若 ?A ? 40 ,则 ?ABD的度数是( )

A. 20

B. 30

C. 35

D. 40

【解析】选 B.由 AB=AC, ?A ? 40 ,得∠ABC=∠ACB=70°,由 BD=BC 得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC= 40 ,

?ABD=∠ABC-∠DBC =70°- 40 = 30 .
3.(2009·聊城中考)如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为 D.E、F 分别是 CD、AD 上的点,且 CE= AF.如果∠AED=62?,那么∠DBF=( )

A.62?

B.38?

C.28?

D.26?

【解析】选 C.在 Rt△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 ?,

又∠AED=62?,∴∠EAC=62?-

45 ?=17 ?,又 CE=AF,∴△ABF≌△CAE,

∴∠ABF=17 ?, ∴∠DBF=45 ?-17 ?=28?.

4、(2009·黔东南中考)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 等于( )

-1-

A、30o

B、40o

C、45o

D、36o

【解析】选 D.∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠A=∠ABD,

∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xo,则∠ABD=xo, ∠C=∠ABC=∠BDC=2xo,

在△ABC 中,x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o

5、(2009·武汉中考)如图,已知 O 是四边形 ABCD 内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO

的大小是( )

A.70°

B.110

C.140°

D.150° B

O

C

A

D 【解析】选 D ∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,

所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°,

所以∠AOC+∠ADC=140°+70°=210°,

所以∠DAO+∠DCO=360°-210°=150°;

6.(2009·烟台中考)如图,等边△ABC 的边长为 3,P 为 BC 上一点,且 BP=1,D 为 AC 上一点,若∠APD=60°,

则 CD 的长为( )

A. 3 2

B. 2 3

C. 1 2

D. 3 4

A

60° D

BP

C

【解析】选 B 因为∠APD=60°,所以∠PDC=60°+∠PAD, 又因为∠BPA=60°+∠PAD,所以∠PDC=∠BPA,
-2-

又因为∠B=∠C,所以△ABP∽△PCD,

所以 BP ? AB ? 3 ,所以 CD= 2 .

CD PC 2

3

7、(2008·乌鲁木齐中考)某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm,则它的周长为( )

A.9cm

B.12cm C.15cm D.12cm 或 15cm

答案:选 C

二、填空题

8. (2009·达州中考)如图,在△ABC 中,AB=AC,与∠BAC 相邻的外角为 80°,则∠B=____________.

【解析】由 AB=AC 得∠B=∠C= 1 ∠DAC= 1 ×80°=40°.

2

2

答案:40°.

9.(2009·云南中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,DE∥AC,DE 交 AB 于

点 E ,M 为 BE 的中点,连结 DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是

.

(写出一个即可)

【解析】由∠ACB=90°,DE∥AC,得∠EDC=90°,又 M 为 BE 的中点,得 MB=MD=ME,∴△MBD 和△MDE 是等腰三角形,∵∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,DE∥AC,∴∠EDA=∠EAD=∠DAC, ∴△EAD 是等腰三角形. 答案:△MBD 或△MDE 或△EAD 10.(2008·菏泽中考)如图,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合),在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角 形 CDE,AD 与 BE 交于一点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连结 PQ.以下五个结论:①AD=BE; ②PQ∥AE; ③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.恒成立的有________(把你认为正确的序号都填上).

【解析】∵正三角形 ABC 和正三角形 CDE ∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120?,CD=CE

-3-

∴ΔACD≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE 又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ 又∠PCQ=60? ∴ΔCPQ 是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60?∴PQ∥AE,∵∠AOB=∠OEA+∠OAE= ∠OEA+∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60?,∵∠DPC>∠QPC
∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即 DP≠DE. 故恒成立的有①②③⑤

答案:①②③⑤

11、(2007·杭州中考)一个等腰三角形的一个外角等于110? ,则这个三角形的三个角应该为 答案: 70?,70?40?或70?,55?,55?
12、(2007·江西中考)如图,在 △ABC 中,点 D 是 BC 上一点,?BAD ? 80°,AB ? AD ? DC ,则 ?C ?

。 度.

答案: 25
三、解答题
13、(2009·绍兴中考) 如图,在 △ABC 中, AB ? AC,?BAC ? 40°,分别以 AB,AC 为边作两个等腰直角三角形 ABD和 ACE ,使 ?BAD ? ?CAE ? 90°. (1)求 ?DBC 的度数; (2)求证: BD ? CE .

答案:(1)ΔABD 是等腰直角三角形, ?BAD ? 90°,
所以∠ABD=45°,AB=AC,所以∠ABC=70°, 所以∠CBD=70°+45°=115°.
(2)因为 AB=AC, ?BAD ? ?CAE ? 90°,AD=AE,
所以 ΔBAD≌ΔCAE,所以 BD=CE. 14.(2009·河南中考)如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点 O 是 AD、BC 的交点,点 E 是 AB 的中点.试判断 OE 和
AB 的位置关系,并给出证明.
-4-

【解析】OE⊥AB.

证明:在△BAC 和△ABD 中,

AC=BD,

∠BAC=∠ABD,

AB=BA.

∴△BAC≌△ABD.

∴∠OBA=∠OAB,,∴OA=OB.

又∵AE=BE, ∴OE⊥AB.

15、(2009·泸州中考)如图,已知△ABC 为等边三角形,点 D、E 分别在 BC、AC 边上,且 AE=CD, AD 与 BE 相交

于点 F.

(1)求证: ?ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD 的度数.
【解析】(1)证明:∵ △ABC 为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA 在△ABE 和△CAD 中, AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD, ∴△ABE≌△CAD (2)解:∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
又∵△ABE≌△CAD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
16、(2009·义乌中考)如图,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,AD ? BC 于点 D,以 AD 为一边向右作正三角形 ADE。
(1)求△ABC 的面积 S; (2)判断 AC、DE 的位置关系,并给出证明。
-5-

【解析】(1)在正 △ABC 中, AD ? 4? 3 ? 2 3 , 2

?S ? 1 BC ? AD ? 1 ? 4? 2 3 ? 4 3 .

2

2

(2) AC、DE 的位置关系: AC ⊥ DE .

在 △CDF 中, ?CDE ? 90°? ?ADE ? 30°,

??CFD ?180°??C ??CDE ?180°?60°?30°? 90°,

? AC ⊥DE .

17、(2008·龙岩中考)如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,找出图中的一个等腰三角形,并给予证明.我找的等腰

三角形是:

.

【解析】我所找的等腰三角形是:△ABC(或△BDC 或△DAB)

证明:在△ABC 中,

∵∠A=36°,∠C=72°,

∴∠ABC=180°-(72°+36°)=72°.

∵∠C=∠ABC,

∴AB=AC,

∴△ABC 是等腰三角形. 我所找的等腰三角形是:△ABC(或△BDC 或△DAB)

要点二、线段的垂直平分线的性质

一、选择题

1、(2009·怀化中考)如图,在 Rt△ABC 中,?B ? 90? ,ED是 AC 的垂直平分线,交 AC 于点 D ,交 BC 于点 E .已

知 ?BAE ? 10? ,则 ?C 的度数为( )

A. 30?

B. 40?

C. 50?

D. 60?

-6-

【解析】选 B.由 ?B ? 90? , ?BAE ? 10? 得∠AEB=80°,由 ED是 AC 的垂直平分线得 EA=EC,所以

∠EAC=∠ECA= 1 ∠AEB= 1 ×80°=40°.

2

2

2、(2009·钦州中考)如图,AC=AD,BC=BD,则有( )

A.AB 垂直平分 CD C.AB 与 CD 互相垂直平分

B.CD 垂直平分 AB D.CD 平分∠ACB

【解析】选 A。线段垂直平分线判定定理:“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知应选 A。 3、(2009·云南中考)如图,等腰△ABC 的周长为 21,底边 BC = 5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点
E,则△BEC 的周长为( )

A.13

B.14

C.15

D.16

A

D

E

B

C

【解析】选 A.∵△ABC 周长等于 21,又∵BC 等于 5,且 AB=AC,∴AC=8,

∵DE 是线段 AB 的垂直平分线,∴AE=BE,∴AE+EC=BE+EC=AC=8,

∴△BEC 的周长=BE+EC+BC=8+5=13;

二、填空题

4、(2009·泉州中考)如图,在△ABC 中,BC 边上的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D,交边 AB 于点 E,若△EDC 的

周长为 24,△ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12,则线段 DE 的长为



-7-

【解析】∵△ABC 周长与四边形 AEDC 周长差等于 12,∵DE 是线段 BC 的垂直平分线∴△EDB≌△EDC, ∴BD+BE-DE=12,又∵BD+BE+DE=24,∴DE=6. 答案:6. 5、(2009·黄冈中考)在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 50°,则∠B 等于 _____________度. 【解析】如图(1)因为 DE 是 AB 的垂直平分线,又因为∠AED=50°,所以∠A=40°,因为 AB=AC,所以∠B=70°; 如图(2)因为 DE 是 AB 的垂直平分线,∠E=50°,所以∠EAD=40°,因为 AB=AC,所以∠B=20°;

答案:70 或 20; 6、(2008·孝感中考)如图,AB=AC,

,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,那么



答案:60°

7、(2008·徐州中考)如图,Rt△ABC 中, ?B ? 90? , AB ? 3 cm, AC ? 5 cm.将△ABC 折叠,使点 C 与 A 重合,得折

痕 DE,则△ABE 的周长 =

cm.

答案:7

8、(2007·陕西中考)如图, ?ABC ? 50 ,AD 垂直平分线段 BC 于点 D,?ABC 的

平分线 BE 交 AD 于点 E ,连结 EC ,则 ?AEC 的度数是



-8-

答案:115°
三、解答题
9、(2009·铁岭中考)如图所示,在 Rt△ABC 中, ?C ? 90°,?A ? 30°.
(1)尺规作图:作线段 AB 的垂直平分线 l (保留作图痕迹,不写作法); (2)在已作的图形中,若 l 分别交 AB、AC 及 BC 的延长线于点 D、E、F ,连结 BE . 求证: EF ? 2DE . 【解析】(1)直线 l 即为所求.
(2)证明:在 Rt△ABC 中, ?A ? 30°,??ABC ? 60°,
又∵ l 为线段 AB 的垂直平分线,∴ EA ? EB , ∴ ?EBA ? ?A ? 30°,?AED ? ?BED ? 60°, ∴ ?EBC ? 30°? ?EBA,?FEC ? 60°. 又∵ ED⊥ AB,EC ⊥BC ,∴ ED ? EC . 在 Rt△ECF 中, ?FEC ? 60°,??EFC ? 30°, ∴ EF ? 2EC ,∴ EF ? 2ED . 10、(2008·镇江中考)作图证明如图,在 △ABC 中,作 ?ABC 的平分线 BD ,交 AC 于 D ,作线段 BD 的垂直平分
-9-

线 EF ,分别交 AB 于 E ,交 BC 于 F ,垂足为 O ,连结 DF .在所作图中,寻找一对全等三角形,并加以证明.(不
写作法,保留作图痕迹)
【解析】(1)画角平分线,线段的垂直平分线.
(2) △BOE ≌△BOF ≌△DOF 11、(2007·成都中考)已知:如图,△ABC 中,?ABC ? 45°,CD ? AB 于 D , BE 平分 ?ABC ,且 BE ? AC 于
E ,与 CD 相交于点 F,H 是 BC 边的中点,连结 DH 与 BE 相交于点 G .

(1)求证: BF ? AC ; (2)求证: CE ? 1 BF ;
2 (3) CE 与 BG 的大小关系如何?试证明你的结论.

【解析】(1)证明:∵CD ? AB , ?ABC ? 45°,

∴△BCD 是等腰直角三角形.

∴BD ? CD .

在 Rt△DFB 和 Rt△DAC 中,

∵?DBF ? 90°? ?BFD , ?DCA ? 90°? ?EFC ,

且 ?BFD ? ?EFC ,

∴?DBF ? ?DCA.

又∵?BDF ? ?CDA ? 90°, BD ? CD ,

∴Rt△DFB ≌Rt△DAC .

∴BF ? AC .

(2)证明:在 Rt△BEA和 Rt△BEC 中

∵BE 平分 ?ABC ,

∴?ABE ? ?CBE .

- 10 -

又∵BE ? BE,?BEA ? ?BEC ? 90°,

∴Rt△BEA≌Rt△BEC .

∴CE ? AE ? 1 AC . 2

又由(1),知 BF ? AC ,

∴CE ? 1 AC ? 1 BF .

2

2

(3) CE ? BG .

证明:连结 CG .

∵△BCD 是等腰直角三角形, ∴BD ? CD . 又 H 是 BC 边的中点, ∴DH 垂直平分 BC . ∴BG ? CG . 在 Rt△CEG 中, ∵CG 是斜边, CE 是直角边, ∴CE ? CG . ∴CE ? BG .

- 11 -


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