“等腰三角形”“线段垂直平分线”习题及答案

等腰三角形
要点一、等腰三角形的性质及判定 一、选择题 1. (2009· 宁波中考)等腰直角三角形的一个底角的度数是( A.30° B.45° C.60° ) D.90°

【解析】选 B .因为等腰三角形的两个底角相等,而等腰直角三角形的两个底角互余,所以每个底角等于 45° ; 2、 (2009· 威海中考)如图, AB ? AC, BD ? BC ,若 ? A ? 40 ,则 ? ABD 的度数是(
?



A. 20

?

B. 30

?

C. 35
?

?

D. 40

?

【解析】选 B.由 AB=AC, ? A ? 40 ,得∠ABC=∠ACB=70° BD=BC 得∠BDC=∠ACB=70° ,由 ,∴∠DBC= 40 ,
?

? ABD =∠ABC-∠DBC =70° 40 = 30 . ? ?

3. 2009· ( 聊城中考) 如图, Rt△ABC 中, 在 AB=AC, AD⊥BC, 垂足为 D. F 分别是 CD、 上的点, CE=AF. E、 AD 且 如 果∠AED=62? ,那么∠DBF=( )

A.62?

B.38?

C.28?

D.26?

【解析】选 C.在 Rt△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 ? , 又∠AED=62? ,∴∠EAC=62? 45 ? =17 ? CE=AF,∴△ABF≌△CAE, ,又 ∴∠ABF=17 ? ∴∠DBF=45 ? ? . , -17 =28? 4、(2009· 黔东南中考)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,则∠A 等于( )

- 1 -

A、30o

B、40o

C、45o

D、36o

【解析】选 D.∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠A=∠ABD, ∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xo,则∠ABD=xo, ∠C=∠ABC=∠BDC=2xo, 在△ABC 中,x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o 5、 (2009·武汉中考) 如图, 已知 O 是四边形 ABCD 内一点, OA=OB=OC, ∠ABC=∠ADC=70° 则∠DAO+∠DCO , 的大小是( A.70° ) B.110 C.140° D.150° B

O A

C

D 【解析】选 D ∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70° , 所以∠BOA+∠BOC=360° -140° =220° ,所以∠AOC=140° , 所以∠AOC+∠ADC=140° +70° =210° , 所以∠DAO+∠DCO=360° -210° =150° ; 6. (2009· 烟台中考)如图,等边△ABC 的边长为 3,P 为 BC 上一点,且 BP=1,D 为 AC 上一点,若∠APD=60° , 则 CD 的长为( A.
3 2

) B.
2 3

C.

1 2

D. A

3 4

60° B P

D C

【解析】选 B 因为∠APD=60° ,所以∠PDC=60° +∠PAD, 又因为∠BPA=60° +∠PAD,所以∠PDC=∠BPA,
- 2 -

又因为∠B=∠C,所以△ABP∽△PCD, 所以
BP CD ? AB PC ? 3 2

,所以 CD=

2 3

. )

7、 (2008· 乌鲁木齐中考)某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm,则它的周长为( A.9cm 答案:选 C 二、填空题 B.12cm C.15cm D.12cm 或 15cm

8. (2009· 达州中考)如图,在△ABC 中,AB=AC,与∠BAC 相邻的外角为 80° ,则∠B=____________.

【解析】由 AB=AC 得∠B=∠C= 答案:40° .

1 2

∠DAC=

1 2

× =40° 80° .

9.(2009· 云南中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,DE∥AC,DE 交 AB 于 点 E ,M 为 BE 的中点,连结 DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是 (写出一个即可) .

【解析】由∠ACB=90° ,DE∥AC,得∠EDC=90° ,又 M 为 BE 的中点,得 MB=MD=ME,∴△MBD 和△MDE 是等腰三角形,∵∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,DE∥AC,∴∠EDA=∠EAD=∠DAC, ∴△EAD 是等腰三角形. 答案:△MBD 或△MDE 或△EAD 10.(2008· 菏泽中考)如图,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合) ,在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角 形 CDE,AD 与 BE 交于一点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连结 PQ.以下五个结论:①AD=BE; ②PQ∥AE; ③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60° .恒成立的有________(把你认为正确的序号都填上) .

【解析】∵正三角形 ABC 和正三角形 CDE ∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120? ,CD=CE
- 3 -

∴ΔACD≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE 又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ 又∠PCQ=60? ∴ΔCPQ 是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60? ∴PQ∥AE,∵∠AOB=∠OEA+∠OAE= ∠OEA+∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60? ,∵∠DPC>∠QPC ∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即 DP≠DE. 故恒成立的有①②③⑤ 答案:①②③⑤ 11、 (2007· 杭州中考)一个等腰三角形的一个外角等于 110? ,则这个三角形的三个角应该为 答案: 70 ?, 70 ?40 ?或 70 ?, 55 ?, 55 ?
? 12、 2007· ( 江西中考) 如图, △ ABC 中, D 是 BC 上一点, BAD ? 80 ° ,AB ? AD ? DC , ? C ? 在 点 则



度.

答案: 25 三、解答题 13、(2009· 绍兴中考) 如图,在 △ ABC 中, AB ? AC, ? BAC ? 40 ° ,分别以 AB, AC 为边作两个等腰直角三角形
ABD 和 ACE ,使 ? BAD ? ? CAE ? 90 ° .

(1)求 ? DBC 的度数; (2)求证: BD ? CE .

答案: (1)ΔABD 是等腰直角三角形, ? BAD ? 90 ° , 所以∠ABD=45° ,AB=AC,所以∠ABC=70° , 所以∠CBD=70° +45° =115° . (2)因为 AB=AC, ? BAD ? ? CAE ? 90 ° ,AD=AE, 所以 ΔBAD≌ΔCAE,所以 BD=CE. 14.(2009· 河南中考)如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点 O 是 AD、BC 的交点,点 E 是 AB 的中点.试判断 OE 和 AB 的位置关系,并给出证明.

- 4 -

【解析】OE⊥AB. 证明:在△BAC 和△ABD 中, AC=BD, ∠BAC=∠ABD, AB=BA. ∴△BAC≌△ABD. 又∵AE=BE, ∴OE⊥AB. 15、(2009· 泸州中考)如图,已知△ABC 为等边三角形,点 D、E 分别在 BC、AC 边上,且 AE=CD, AD 与 BE 相交于 点 F. ∴∠OBA=∠OAB,,∴OA=OB.

(1)求证: ? ABE ≌△CAD; (2)求∠BFD 的度数. 【解析】 (1)证明:∵ △ ABC 为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60° ,AB=CA 在△ABE 和△CAD 中, AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD, ∴△ABE≌△CAD (2)解:∵∠BFD=∠ABE+∠BAD, 又∵△ABE≌△CAD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° 16、 (2009· 义乌中考)如图,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,AD ? BC 于点 D,以 AD 为一边向右作正三角形 ADE。 (1)求△ABC 的面积 S; (2)判断 AC、DE 的位置关系,并给出证明。

- 5 -

【解析】 (1)在正 △ ABC 中, AD ? 4 ?
?S ? 1 2 BC ? AD ? 1 2 ? 4? 2 3 ? 4 3 .

3 2

?2 3,

(2) AC、 DE 的位置关系: AC ⊥ DE . 在 △ CDF 中,? ? CDE ? 90 ° ? ? ADE ? 30 ° ,

? ? CFD ? 180 ° ? ? C ? ? CDE ? 180 ° ? 60 ° ? 30 ° ? 90 ° ,
? AC ⊥ DE .

17、 (2008· 龙岩中考)如图,∠A=36° ,∠DBC=36° ,∠C=72° ,找出图中的一个等腰三角形,并给予证明.我找的等腰 三角形是: .

【解析】我所找的等腰三角形是:△ABC(或△BDC 或△DAB) 证明:在△ABC 中, ∵∠A=36° ,∠C=72° , ∴∠ABC=180° -(72° +36° )=72° . ∵∠C=∠ABC, ∴AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形. 我所找的等腰三角形是:△ABC(或△BDC 或△DAB) 要点二、线段的垂直平分线的性质 一、选择题 1、 (2009· 怀化中考) 如图, Rt △ ABC 中,?B ? 90 在 知 ?BAE ? 10 ,则 ? C 的度数为(
? ?

,ED 是 AC 的垂直平分线, AC 于点 D , BC 于点 E . 交 交 已


?

A. 30

?

B. 40

?

C. 50

D. 60

?

- 6 -

【解析】选 B.由 ?B ? 90 ? , ?BAE ? 10 ? 得∠AEB=80° ,由 ED 是 AC 的垂直平分线得 EA=EC,所以 ∠EAC=∠ECA=
1 2

∠AEB=

1 2

× =40° 80° . )

2、 (2009· 钦州中考)如图,AC=AD,BC=BD,则有(

A.AB 垂直平分 CD C.AB 与 CD 互相垂直平分

B.CD 垂直平分 AB D.CD 平分∠ACB

【解析】选 A。线段垂直平分线判定定理:“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知应选 A。 3、 (2009· 云南中考)如图,等腰△ABC 的周长为 21,底边 BC = 5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,则△BEC 的周长为( A.13 B.14 ) C.15 D.16 A

D

E

B

C

【解析】选 A.∵△ABC 周长等于 21,又∵BC 等于 5,且 AB=AC,∴AC=8, ∵DE 是线段 AB 的垂直平分线,∴AE=BE,∴AE+EC=BE+EC=AC=8, ∴△BEC 的周长=BE+EC+BC=8+5=13; 二、填空题 4、 (2009· 泉州中考)如图,在△ABC 中,BC 边上的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D,交边 AB 于点 E,若△EDC 的周 长为 24,△ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12,则线段 DE 的长为 ;

- 7 -

【解析】∵△ABC 周长与四边形 AEDC 周长差等于 12,∵DE 是线段 BC 的垂直平分线∴△EDB≌△EDC, ∴BD+BE-DE=12,又∵BD+BE+DE=24,∴DE=6. 答案:6. 5、 (2009· 黄冈中考)在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 50° ,则∠B 等于 _____________度. 【解析】 如图 (1)因为 DE 是 AB 的垂直平分线,又因为∠AED=50° 所以∠A=40° , ,因为 AB=AC,所以∠B=70° ; 如图(2)因为 DE 是 AB 的垂直平分线,∠E=50° ,所以∠EAD=40° ,因为 AB=AC,所以∠B=20° ;

答案:70 或 20; 6、 (2008· 孝感中考)如图,AB=AC, ,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,那么 ;

答案:60° 7、 (2008· 徐州中考)如图,Rt△ABC 中, ? B ? 90 ? , AB ? 3 cm, AC ? 5 cm.将△ABC 折叠,使点 C 与 A 重合,得折 痕 DE,则△ABE 的周长 = cm.

答案:7 8、 (2007· 陕西中考)如图, ? ABC ? 50 , AD 垂直平分线段 BC 于点 D, ? ABC 的
?

平分线 BE 交 AD 于点 E ,连结 EC ,则 ? AEC 的度数是



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答案: 115° 三、解答题 9、 (2009· 铁岭中考)如图所示,在 Rt △ ABC 中, ? C ? 90 °, ? A ? 30 ° .

(1)尺规作图:作线段 AB 的垂直平分线 l (保留作图痕迹,不写作法) ; (2)在已作的图形中,若 l 分别交 AB、 AC 及 BC 的延长线于点 D、 E、 F ,连结 BE . 求证: EF ? 2 DE . 【解析】 (1)直线 l 即为所求.

(2)证明:在 Rt △ ABC 中,
? ? A ? 30 °, ? ABC ? 60 °, ?

又∵ l 为线段 AB 的垂直平分线,∴ EA ? EB , ∴ ? EBA ? ? A ? 30 °, ? AED ? ? BED ? 60 ° , ∴ ? EBC ? 30 ° ? ? EBA, ? FEC ? 60 ° . 又∵ ED ⊥ AB, EC ⊥ BC ,∴ ED ? EC .
? 在 Rt △ ECF 中, ? FEC ? 60 °, ? EFC ? 30 ° ,

∴ EF ? 2 EC ,∴ EF ? 2 ED . 10、 (2008· 镇江中考)作图证明如图,在 △ ABC 中,作 ? ABC 的平分线 BD ,交 AC 于 D ,作线段 BD 的垂直平分
- 9 -

线 EF , 分别交 AB 于 E , BC 于 F , 交 垂足为 O , 连结 DF . 在所作图中, 寻找一对全等三角形, 并加以证明. (不 写作法,保留作图痕迹)

【解析】 (1)画角平分线,线段的垂直平分线. (2) △ BOE ≌△ BOF ≌△ DOF 11、 (2007· 成都中考)已知:如图, △ ABC 中, ? ABC ? 45 ° , CD ? AB 于 D , BE 平分 ? ABC ,且 BE ? AC 于
E ,与 CD 相交于点 F , H 是 BC 边的中点,连结 D H 与 BE 相交于点 G .

(1)求证: BF ? AC ; (2)求证: C E ?
1 2 BF ;

(3) C E 与 BG 的大小关系如何?试证明你的结论. 【解析】 (1)证明:∵ CD ? AB , ? ABC ? 45 ° ,
∴ △ BCD 是等腰直角三角形. ∴ BD ? CD .

在 Rt △ DFB 和 Rt △ DAC 中,
∵ ? DBF ? 90 ° ? ? BFD , ? DCA ? 90 ° ? ? EFC ,

且 ? BFD ? ? EFC ,
∴ ? DBF ? ? DCA .

又∵ ? BDF ? ? CDA ? 90 ° , BD ? CD ,
∴ Rt △ DFB ≌ Rt △ DAC . ∴ BF ? AC .

(2)证明:在 Rt △ BEA 和 Rt △ BEC 中
∵ BE 平分 ? ABC ,
∴ ? ABE ? ? CBE .
- 10 -

又∵ BE ? BE, ? BEA ? ? BEC ? 90 ° ,
∴ Rt △ BEA ≌ Rt △ BEC .

∴ CE ? AE ?

1 2

AC .

又由(1) ,知 BF ? AC ,
∴ CE ? 1 2 AC ? 1 2 BF .

(3) CE ? BG . 证明:连结 CG .

∵ △ BCD 是等腰直角三角形, ∴ BD ? CD .

又 H 是 BC 边的中点,
∴ DH 垂直平分 BC .
∴ BG ? CG .

在 Rt △ CEG 中,
∵ CG 是斜边, C E 是直角边, ∴ CE ? CG . ∴ CE ? BG .

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