18版高中数学第二章数列2.1.1数列学业分层测评新人教B版必修5

数 列 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下面有四个结论,其中叙述正确的有( ①数列的通项公式是唯一的; ②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③数列若用图象表示,它是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】 数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,所以①④不正确. 【答案】 B ?3n+1,n为奇数, ? 2.数列的通项公式为 an=? ?2n-2,n为偶数, ? ) 则 a2·a3 等于( ) A.70 C.20 ? ?3n+1,n为奇数, 【解析】 由 an=? ?2n-2,n为偶数, ? B.28 D.8 得 a2=2,a3=10,所以 a2·a3=20. 【答案】 C 3.若数列{an}的前 4 项依次是 2,0,2,0,则这个数列的通项公式不能是( A.an=1+(-1) n+1 ) B.an=1-cos nπ C.an=2sin 2 nπ 2 n-1 D.an=1+(-1) +(n-1)(n-2) 【解析】 根据各选项中的通项公式写出前 4 项,看是否为题干中的数列即可.当 n=3 和 4 时,D 选项不满足,故选 D. 【答案】 D 4.已知数列{an}的通项公式是 an= n-1 ,那么这个数列是( n+1 ) 【导学号:18082074】 A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.摆动数列 1 【解析】 an= 数列. 【答案】 A n-1 2 2 =1- ,∴当 n 越大, 越小,则 an 越大,故该数列是递增 n+1 n+1 n+1 1 1 n-2 5.在数列-1,0, , ,…, 2 ,…中,0.08 是它的( 9 8 n A.第 100 项 C.第 10 项 【解析】 ∵an= 【答案】 C 二、填空题 B.第 12 项 D.第 8 项 ) n-2 n-2 5 2 ,令 2 =0.08,解得 n=10 或 n= (舍去). n n 2 6.已知数列{an}的通项公式 an=19-2n, 则使 an>0 成立的最大正整数 n 的值为________. 19 【解析】 由 an=19-2n>0,得 n< . 2 ∵n∈N+, ∴n≤9. 【答案】 9 7.已知数列{an},an=a +m(a<0,n∈N+),满足 a1=2,a2=4,则 a3=________. 【导学号:18082075】 【解析】 ? ?a1=a+m=2, ? ? ?a2=a +m=4, 2 n ∴a -a=2, 2 ∴a=2 或-1, 又 a<0,∴a=-1. 又 a+m=2, ∴m=3, ∴an=(-1) +3, ∴a3=(-1) +3=2. 【答案】 2 8.如图 2?1?1 是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的 “短线”表示化学键,按图中结构,第 n 个图中共有化学键________个. 3 n 图 2?1?1 2 【解析】 各图中的化学键个数依次是 6,6+5,6+5+5,….若把 6 看成是 1+5,则上 述数列为 1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第 n 个图有化学键(5n+1)个. 【答案】 (5n+1) 三、解答题 9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: 4 1 4 2 (1) , , , ,…; 5 2 11 7 1 9 25 (2) ,2, ,8, ,…; 2 2 2 (3)1,3,6,10,15,…; (4)7,77,777,…. 【导学号:18082076】 4 4 4 4 【解】 (1)注意前 4 项中有两项的分子为 4, 不妨把分子统一为 4, 即为 , , , , …, 5 8 11 14 4 于是它们的分母依次相差 3,因而有 an= . 3n+2 1 4 9 16 25 n (2)把分母统一为 2,则有 , , , , ,…,因而有 an= . 2 2 2 2 2 2 (3)注意 6=2×3,10=2×5,15=3×5, 规律还不明显, 再把各项的分子和分母都乘以 2, 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 n 即 , , , , ,…,因而有 an= 2 2 2 2 2 2 n+ 2 . 7 n (4)把各项除以 7,得 1,11,111,…,再乘以 9,得 9,99,999,…,因而有 an= (10 9 -1). 10.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于 n 的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a2 016; (3)2 016 是否为数列{an}中的项? 【解】 (1)设 an=kn+b(k≠0),则有 ? ?k+b=2, ? ?17k+b=66, ? 解得 k=4,b=-2. ∴an=4n-2. (2)a2 016=4×2 016-2=8 062. (3)由 4n-2=2 016 得 n=504.5?N+, 故 2 016 不是数列{an}中的项. 3 [能力提升] 1.已知数列{an}的通项公式 an=log(n+1)(n+2),则它的前 30 项之积是( A. 1 5 B.5 D. log23+log3132 5 lg 3 lg 4 × lg 2 lg 3 ) C.6 【解析】 a1·a2·a3·…·a30 = log23×log34×log45×…×log3132 = lg 32 lg 32 5 ×…× = =log232=log22 =5. lg 31 lg 2 【答案】 B 2.已知数列{an}中,an=n -kn(n∈N+),且{an}单调递增,则 k 的取值范围是( A.(-∞,2] C.(-∞,2) 2 2 ) B.(-∞,3) D.(-∞,3] 2 【解析】 an+1-an=(n+1) -k(n+1)-n +kn=2n+1-k,又{an}单调递增,故应有 an+1-an>0,即

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