2019年线代方向导数与梯度.ppt_图文

一、方向导数的定义
二、梯度的概念 三、小结

y

一、方向导数的定义
讨论函数 z = f (x, y) 在一点 P

? P?

l

沿某一方向的变化率问题.

? ? P ?x
?

?y

o
定义

x

函数的增量 f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 与 PP ? 两点间的距离 ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 之 比值,当 P ? 沿着 l 趋于 P 时,如果此比 的极限存在,则称这极 限为函数在点 P 沿方向 l 的方向导数. 方向导数 记为

?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? lim . ?l ? ? 0 ?

依定义,函数 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向 e1 ? {1, 0}、

y 轴正向 e2 ? {0, 1} 的方向导数分别为 f x , f y ;

沿着 x 轴负向、 y 轴负向的方向导数是 ? f x , ? f y .
定理 如果函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 是可微分的, 那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都 存在,且有 ?f ?f ?f ? cos? ? sin ? , ?l ?x ?y 其中? 为 x 轴到方向 L 的转角.

例1

求函数 z ? xe 2 y 在点 P (1, 0) 处沿从点 P (1, 0) 到点 Q ( 2, ? 1) 的方向的方向导数.



这里方向 l 即为 PQ ? {1, ? 1}, 故 x 轴到方向 l 的转角? ? ? ? . 4 ? 1; 由 ?z ? e2 y (1,0 ) ?x (1,0 )
2y ?z 2 xe ? 2, ? ( 1 , 0 ) ?y (1,0)

y

o

P

? x
Q

方向导数 ?z ? 1 ? cos(? ? ) ? 2 ? sin( ? ? ) ? ? 2 . ?l 4 4 2

推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u ? f ( x , y , z ) ,它在空间一点
P ( x , y , z )沿着方向 L 的方向导数 ,可定义为

?f f ( x ? ?x , y ? ?y , z ? ?z ) ? f ( x , y , z ) ? lim , ?l ? ? 0 ?
( 其中 ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ? ( ?z )2 )

设方向 L 的方向角为? , ? , ? .
同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点沿 任意方向 L 的方向导数都存在,且有

?f ?f ?f ?f ? cos? ? cos ? ? cos? . ?l ?x ?y ?z

二、梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶 连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ? D ,都
?f ?f j ,这向量称为函 可定出一个向量 i ? ?x ?y

数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度,记为

?f ?f grad f ( x , y ) ? i ? j. ?x ?y

设 e ? cos? i ? sin ? j 是方向 l 上的单位向量,
由方向导数公式知

?f ?f ?f ? f ?f ? cos? ? sin ? ? { , } ? {cos? , sin ? } ?l ?x ?y ?x ? y

? grad f ( x , y ) ? e ? | grad f ( x , y ) | cos? ,

其中? ? ( grad f ( x , y ), e )
?f 有最大值. 当 cos( grad f ( x , y ), e ) ? 1 时, ?l

结论
函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方 向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的 模为方向导数的最大值.梯度的模为
? f ? ? ?f ? ? | grad f ( x , y ) | ? ? ? ? ? ? . ? ?x ? ? ?y ?
2 2

在几何上 z ? f ( x , y ) 表示一个曲面 曲面被平面 z ? c 所截得

? z ? f ( x, y) , ? ?z ? c

所得曲线在xoy面上投影如图

y

f ( x , y ) ? c2

P
c2 ? c1

grad f ( x , y ) 梯度为等高线上的法向量

f ( x , y ) ? c 等高线

o

f ( x , y ) ? c1 x

梯度的概念可以推广到三元函数

三元函数 u ? f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有一阶 连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y , z ) ? G ,都可 定义一个向量( 梯度)
?f ?f ?f grad f ( x , y , z ) ? i ? j ? k. ?x ?y ?z
类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与 取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的 最大值.

类似地, 设曲面 f ( x , y , z ) ? c 为函数 u ? f ( x , y , z ) 的等量面,此函数在点 P ( x , y , z )的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x , y , z ) ? c 在这点的法线的一 个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面,而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.

例 4 求函数 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 3 x ? 2 y 在点 (1, 1, 2) 处的梯度,并问在 哪些点处梯度为零向量?



由梯度计算公式得

gradu( x , y , z ) ? ?u i ? ?u j ? ?u k ?x ?y ?z

? ( 2 x ? 3 )i ? ( 4 y ? 2 ) j ? 6 z k ,


grad u(1, 1, 2) ? 5 i ? 2 j ? 12 k .

在 P0 ( ? 3 , 1 , 0) 处梯度为零向量. 2 2

三、小结
1、方向导数的概念 (注意方向导数与一般所说偏导数的区别) 2、梯度的概念 (注意梯度是一个向量) 3、方向导数与梯度的关系

梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最 快的方向. 梯度的模为方向导数的 最大值。

作业:60页 1,8


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