上海进才中学2017学年高一第二学期期中考试数学试题

上海市进才中学期中考试试卷
一、填空题(每题 3 分,满分 36 分,请将正确答案直接填写在相应空格上) o 1.若 ? ? 2013 ,则与 ? 具有相同终边的最小正角为 。
2. 已知扇形的圆心角为

2? ,半径为 5 ,则扇形的面积为 3
。 。



3.已知角 ? 的终边经过点 P ? ?4 ,3 ? ,则 cos ? ? 4. 函数 y ?

2sin x ? 1 (0 ? x ? 2?) 的定义域为 ?? ? ? 5.若 tan ? 2 ,则 tan ? ? ? ? ? 。 3 cos ? sin ? 6.若 ? ? (? , ? ) ,化简: ? ? 2 1 ? tan 2 ? 1 ? cot 2 ? sin(7? ? ? ) ? 5cos(2? ? ? ) 7.已知 tan ? ? ?2 ,则 ? 3? 3sin( ? ? ) ? sin( ?? ) 2
8.在 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 1 ,则这个三角形的形状是 9.在 ?ABC 中,已知 a ?

2

?

4?

。 。

。 ___个。 。

6 , b ? 2 , A ? 60 o ,则这样的三角形的有____

10.在 (0 , 2 ?) 内,使 cos x ? sin x ? tan x 的成立的 x 的取值范围是

11.凸函数的性质定理为:如果函数 f ( x) 在区间 D 上是凸函数,则对 D 内的任意 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) x ? x2 ? L ? xn x1 , x 2 , ? , x n ,有 ? f( 1 ) .函数 f ( x) ? sin x 在 n n 区间 (0, ? ) 上是凸函数,则在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C 的最大值为 。 12.方程 x ? cos x ? 0 的解可视为函数 y ? cos x 的图像与函数 y ? x 的图像的交点的横 坐标,方程 x ? 10 x sin
2 2 2

?x ? 1 ? 0 的实数解的个数为 2



二、选择题(每小题 4 分,满分 16 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的代号填写在题后 括号内) 2? 13. “? ? ”是“ tan ? ? ? 3 ”成立的 ( )
3 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件。 14.函数 y ? cos ? x 的单调递减区间是 ( ) (A) [ 2k , 2k ? 1 ] k ? Z (B) [ 2k ? 1, 2k ] k ? Z (C) [ k , k ? 1 ] k ? Z (D) [ k ? 1, k ] k ? Z 15.下列函数中,周期为 ? 的偶函数是 ( )
(A) y ? tan x (B) y ? 2 cos 2 x ? 1 (C) y ? 2 cos x (D) y ? (cos x ? sin x ) 2 ( ) 16.设函数 y ? sin x 的定义域为 [ a, b] ,值域为 ? ?1, ? ,则以下结论中错误的是 2 (A) b ? a 的最小值为

2? 3

? ?

1? ?

(B) b ? a 的最大值为

(C) a 不可能等于 2k? ?

? ,k ?Z 6

4? 3

(D) b 不可能等于 2k? ?

? ,k ?Z 6

三、解答题(共 5 小题,满分 48 分,解答要有详细的论证过程与运算步骤)
17. (本题满分 6 分)三角比内容丰富,公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证,你也能发现其中的一些奥秘。 请你完成以下问题: (1)计算:

(直接写答案, 别忘记把计算器设置成“角度”呦! ) (2)根据(1)的计算结果,请你猜出一个一般性的结论:__________. (用数学式子加以表达,并证明你的结论,写出推理过程. )

cos 2? cos88? cos 5? cos85? ? ? _______ , ? ? ______ 。 sin 47? sin133? sin 50? sin130?

18. (本题满分 10 分)定义: (1)求 cos 2? 的值;

a b x y

? ay ? bx 。已知

cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) cos ?

?

1 。 3

(2)求 tan(

? ? ? ) 的值。 4 2

19.(本题满分 10 分)请研究与函数 f ( x ) ? tan x 相关的下列问题,在表中填写结论. 问 求 f (2 x ? ) 的定义域 求函数 f (2 x ? ) 的周期 写出 f (2 x ? ) 的单调区间(指明是增还是减) 写出 f ( x ? 题 结 论(不需要过程) 分数

? 3

? ? ? ) 在区间 [ ? , ] 范围内的值域 2 4 4

? 3

? 3

写出 f ( 2 x ) 图像的所有对称中心

20. (本题满分 10 分)已知扇形 OAB 的半径为 3,圆心角 ?AOB ? 60? ,过弧 AB 上的动点 P 作平行于 BO 的直线 交 AO 于点 Q ,设 ?AOP ? ? 。 B (1)求 ?POQ 的面积 S 关于 ? 的函数解析式 S ? f (? ) ; (2) ? 为何值时, S ? f (? ) 有最大值?并求出该最大值。
P

O

Q

A


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