2019年-高等数学D101二重积分概念-PPT精选文档_图文

第十章

重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分

第一节 二重积分的概念与性质
一、引例

第十章

二、二重积分的定义与可积性
三、二重积分的性质

四、曲顶柱体体积的计算

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一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底: xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 z ? f ( x , y ) ? 0 求其体积.

z ? f( x ,y )

D

侧面:以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”

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1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 ? ? , ? ? , ? , ? ? 1 2 n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2)“常代变” 在每个 ?? k 中任取一点 ( ? ,则 k,? k)

z ? f( x ,y )
f( ? ,? k k)
(?k ,?k )

D
?? k

? V ? f ( , ) ? ( k ? 1 , 2 , ? , n ) k k k k
3)“近似和”

? ? ?
n k? 1

f( ? ? ? V ? ? ?Vk ?? k,? k) k
k ?1
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n

4)“取极限”

定义 ? ? k的直径为


? ? ? ? max ? ( ? ? ) k 1 ? k ? n
n

? ??
? ? 0 k ? 1

? ( ? ) ? max P P P ,P ? ? k 1 2 1 2 k
z ? f( x ,y )
f( ? ,? k k)
(?k ,?k )
?? k

?

V ? lim f( ? ,? ) ? ? ? k k k

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2. 平面薄片的质量

( x ,y ) ? C , 度为? 计算该薄片的质量 M .

有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密

设D 的面积为? , 则 若 ? ( x ,y ) ? ? ( 常数 ), M ? ? ? ? y ,y )非常数 , 仍可用 若 ?(x D

“大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小”

, ? , ? , ? , 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 ? 1 2 n
相应把薄片也分为小区域 .
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? ? ?

x

2)“常代变”
则第 k 小块的质量 ? ? 在每个 ? ? k, k), k中任取一点 (

? M ? ( , ) ? ( k ? 1 , 2 , ? , n ) k k k k y 3)“近似和”

? ? ? ?
n k ? 1

M ? ??Mk?? ? ( ? ? ? k,? k) k
k ?1

n

4)“取极限”

? ? 令 ? ? max ? ( ? ? ) k
1 ? k ? n

( ? ? k, k) ??k

x

M ? lim ? ( ? , ? ) ? ? ? k k k
? ? 0 k ? 1
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n

两个问题的共性:
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:

V ? lim f( ? ,? ) ? ? ? k k k
? ? 0 k ? 1
n

n

平面薄片的质量:

M ? lim ? ( ? , ? ) ? ? ? k k k
? ? 0 k ? 1
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二、二重积分的定义及可积性
f(x ,y )是定义在有界区域 D上的有界函数 , 定义: 设
将区域 D 任意分成 n 个小区域 ? ( k ? 1 , 2 , ? , n ), k

? , ? ) ? ? ? , 任取一点 ( 若存在一个常数 I , 使 k k k
I? lim f( ? ,? ) ? ? ? k k k
? ? 0 k ? 1
n

?

记作

f (x ,y )d ? ?? D
积分表达式

则称 f( x ,y )可积 , 称 I 为 f( x ,y ) 在D上的二重积分.
积分和
积分域

f (x ,y )d ? ?? D
被积函数

x , y 称为积分变量
面积元素
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, y)在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 如果 f (x 分区域D , 这时 ? ? ? ? x ? y , 因此面积元素 d? 也常 k k k
记作 dxdy, 二重积分记作

f( x ,y ) d x d y . ?? D
引例1中曲顶柱体体积:

x ,y ) d x d y V ? ,y ) d ?? ??f( ?? f(x
D
D

引例2中平面薄板的质量:

? ( x ,y ) d x d y M ? ( x ,y ) d ? ??? ???
D
D
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二重积分存在定理: (证明略)

, y)在有界闭区域 D上连续, 则 定理1. 若函数 f (x f (x , y)在D上可积. , y) 在有界闭区域 D 上除去有 定理2. 若有界函数 f (x
积.

限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 则 f( x ,y )在 D 上可

x2 ? y2 0 ? x ? 1 y 在D : 例如, f (x, y) ? 1 x? y 0 ?y? 1 D 1 上二重积分存在 ; 但 f (x ,y )? 在D 上 o x 1 x?y 二重积分不存在 .
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三、二重积分的性质
1 .?? k f( x ,y ) d ? ? k x ,y ) d ? ( k 为常数) ??f(
2 . [ f ( x , y ) ? g ( x , y )] d ? ??
D

D

D

3 . f ( x , y ) d ? f ( x , y ) d ? f ( x , y ) d ?? ?? ??
D D 1 D 2

?

? f ( x , y ) d ? g ( x , y ) d ?? ??
D

?D

?

?

?

( D ? D ? D ,D ,D 无公共内点 ) 1 2 1 2

? 为D 的面积, 则 4 . 若在 D 上 f ( x , y ) ? 1 ,

? ? 1 ? d ? ? d ? ?? ?? D D
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, y)? ? ( x ,y ) ,则 5. 若在D上 f (x
f (x ,y )d ? ? ? ( x ,y )d ? ?? ?? D D
特别, 由于 ? f ( x , y ) ? f ( x , y ) ? f ( x , y )

?

? f( x ,y )d ? f(x ,y ) d ? ?? ?? D D
D D

6. 设 M ? max f ( x , y ), m ? min f ( x , y ), D 的面积为? , 则有

m ? ? f ( x , y ) d ? ? M ? ??
D

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7.(二重积分的中值定理) 设函数 f( x ,y )在闭区域D上
连续, ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 ( ? , ? ) ? D ,使

f ( x , y ) d ? ? f ( ? , ? ) ? ?? D

证: 由性质6 可知, 1 m ? ??f( x ,y ) d ? ? M 使 ? , ? ) ? D 由连续函数介值定理, 至少有一点 ( 1 f( ? , ? ) ? ?? f( x ,y ) d ? 因此

?D

?D f ( x , y ) d ? ? f ( ? , ? ) ? ?? D

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例1. 比较下列积分的大小:
D D 2

2 3 ( x ? y ) d ? , ( x ? y ) d ? ?? ??

y

2 其中 D : ( x ? 2 )? ( y ? 1 )? 2

1

D

解: 积分域 D 的边界为圆周

2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1 ) ? 2 它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直线 x ? y ? 1 相切 .而域 D 位

o1 2 3 x x?y? 1

? y ? 1 ,从而 于直线的上方, 故在 D 上 x
2 3 ( x ? y ) ? ( x ? y )

? ( x ? y ) d ? ? ( x ? y ) d ? ?? ??
2 3 D D
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例2. 判断积分 ??

2 2 31 的正负号. ? x ? y d x d y

2 2 x ? y ? 4

y

解: 分积分域为 D ,D ,D ,则 1 2 3 原式 =??
2 2 3 1 ? x? yd x d y D 1
2 2 ? 3x ? y? 1 d x d y D 2

o1 3 2x
D1

D2

D3

??

2 2 3x ? y? 1 d x d y ??? ? D 3

舍去此项 猜想结果为负

但不好估计 . 33 ??? dxdy? ? 1 d x d y ??
D 1

D 3

3 3 ? ? ( 1 ? 2 ) ? 0 ? ? ? 2 ? ( 4 ? 3 )
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例3. 估计下列积分之值 d x d y I ? D : x ? y ? 10 ?? 2 2 100 ? cos x ? cos y D y 10 2 解: D 的面积为 ? ? ( 10 2 ) ? 200 D 由于 ?10 o 10 x 1 1 1 ? ? 2 2 102 100 ? cos x ? cos y 100 ?10
积分性质5

200 200 ?I ? 102 100

即: 1.96 ? I ? 2

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, y)在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 8. 设函数 f (x y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 则 ( 1 ) f ( x , ? y ) ? f ( x , y ), D
2 f( x ,y )d ? f(x ,y )d ?? oD ?? ?? D D ( 2 ) f ( x , ? y ) ? ? f ( x , y ), x ,y ) d ? ? 0 则 ?? f( D
1
1

x

当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 有类似结果. 2 2 在第一象限部分, 则有 如 , D 为圆域 D : x ? y ? 1 1
2 2 ? 4 ( x y) d x d y x? y) d x d y ?? ? ??(
2 2 D

??(x?y)dxdy ?0
D

D 1

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四、曲顶柱体体积的计算

? ( x ) ? y ? ? ( x ) ? ? 1 2 z D ? ( x ,y ) ? ? a ? x ? b ? y? ? ( x ) ? 2 任取 x 平面 x ? x0 截柱体的 ? [ a , b ] , y 0
截面积为

设曲顶柱的底为

A( x0 )

D

则曲顶柱体体积为

V ? ?a A( x)d x

b

o a x 0 bx y? ? ( x ) 1

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z
y ? ? ( x ) 2

y

o

a

x 0 bx y? ? ( x ) 1

z
A( x0 )

z?f (x ) 0, y

0

?1 ( x0 )

?2 (x0 )

y

? ( x ) 2 0 A ( x ) ? f( x ,y ) d y 0 0 ? ( x ) 1 0

?

z
y ? ? ( x ) 2

y

o
故曲顶柱体的体积为

a

x 0 bx y? ? ( x ) 1

? ( x ) 2 V ? A ( x ) d x ? [ f ( x , y ) dy ] dx ? dx f ( x , y ) d a a ? ( x ) a ? ( x ) 1 1

?

b

? ?

b ? ( x ) 2

??

b

同样, 曲顶柱的底为

? ? D ? ( x , y ) ( y ) ? x ? ( y ), c ? y ? d 1 2
y d d V? A (y)dy x ? ? ( y ) 2 c x ? ? ( y ) 1 ) d ? 2(y f (x ,y )d x] ? [? d y y ? (y ) c ? 1 c ? ) o ? d 2(y x ?? dy? f (x ,y )d x

? ?

则其体积可按如下两次积分计算

?

c

? (y ) 1

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例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
2 2 2 2 2 2 ? z ? R x ? y ? R ,x 利用对称性, 考虑第一卦限部分,

z
2 2 2 x ? y ? R R

2 2 其曲顶柱体的顶为 z ? R? x
2 2 ? 0 ? y ? R ? x ( x ,y ) ? D :? 0 ? x ? R ? 则所求体积为

o R D
x
2
2 2 2 x ? z ? R

y

2 2 V ? 8 R xd x d y ? 8 ?? ? ? D

R

0

R ?x dx?
2

R2 ? x2

0

dy

16 3 ? 8 (R ?x )dx? R ? 0 3
R 2 2
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内容小结
1. 二重积分的定义

f( ? ? ? ? f (x ,y )d ? ?lim ? ? d x d y ) ? i, i) i (d ?? D ? ? 0 i? 1
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法

n

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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:

I 1?

2 2 x ? y ? 1

?? xy dxdy
1 1 ? 1? 1

I2 ?

x?y? 1

?? xy dxdy
y

I3 ? ? ? xy dxdy
解: I , I2, I3 被积函数相同, 且非负, 1

1

由它们的积分域范围可知

I ? I ? I 2 1 3

o

1

x

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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则

yxd ? , I3 ??? I1 ???yx3d?, I2 ???
2 3

1 y 2x3d?

的大小顺序为 ( D ) ( A ) I ? I ? I ; 1 2 3

D

D

D

( B ) I ? I ? I ; 2 1 3 ( D ) I ? I ? I . 3 1 2
1 ?y?y 2 ;

( C ) I ? I ? I ; 3 2 1
提示: 因 0 < y <1, 故 y
2

y

1

3 又因 x ? 0 , 故在D上有
1 3 3 23 2 y x? y x? yx

D
ox
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3. 计算
解:

2 2 I? ( x ? y ) d x d y . ? ? sin

? ?

2 2 I? d y ( x ? y ) d x ? ? sin

00 ? ?
? 2

0

0

?

? ? cos( x ? y ) dy ?0 ? 0
2
?

?

2 ? y? cos y ] d y ?[sin

0

? ? ? ? cos y ? sin y 0 ?2
2
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?

2 2 4. 证明: 1 其中D 为 ? ( sin x ? cos y ) d ? ? 2 , ?? D y 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 . 1 解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有 D
2 2 ( sin x ? cos y ) d ? ?? D

2 2 2 2 1 ? ? ? ( sin x ? cos y ) d ? ( sin y ? co x ) d ?? ?? 2 D D

? ? ? ? ? ( sin x ? cos x ) d ? ? ( sin y ? co y ) d ? ?? ??
2 1 2 D
2 D

o

1x

2

2 D

2

2 2 ? 1 又 D 的面积为 1 , ? 0 ? x ? 1 , ? ? sin( x ? ) ? 1 , 4 2 故结论成立 .
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2 ? ? ( sin x ? cos x ) d ? ? 2 sin( x ? ) d ? ?? ?? 4
2

D

作业
P78 2,4,5
P95 1(1), 8

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备用题

0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 2 .

d ? 1. 估计 I? 的值, 其中 D 为 ??x 2 2 ? y? 2 xy ? 16 D y

,y )? 解: 被积函数 f(x
D 的面积

1
2 (x?y ) ? 16

2

?? 2

D

o 1 x 1 的最大值 M? f ( 在 D 上 f( x ,y ) 0 ,0 )? 4 1 1 f (x , y) 的最小值 m ? f( 1 , 2 ) ? ? 2 2 5 3 ? 4 2 2 故 ?I ? , ? 0 . 4 ? I ? 0 . 5 5 4
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2 2 的正负. 2. 判断 ?? ln( x ? y ) d x d y ( ? ? 0 ) ? ? x ? y ? 1 y 1 时, 解:当 ? ? x ? y? 1

2 0?x ?y2? (x? y)2 ?1

?1



2 2 ln( x ? y )? 0

D o? 1 x ?1

2 2 时, 又当 x? y ? 1 ln( x? y )? 0

于是

? ? x ? y ? 1

ln( x? y) d x d y ? 0 ??
2 2

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