人教版高中数学必修二2.1.1平面的基本性质(1)ppt模板_图文

2.1.1
平面及平面的基本性质 第一课时





情景一:如果你面前有一个大西瓜,

让你切三刀,最多能切出几块?

情景 二:你能否用三根牙签搭建 一个两两垂直的图形?

只要努力一切皆有可能!



学好立体几何,增强空



间想象力!

自习任务
一、自学讨论
? 1.初中部分,我们学习了直线的基本知识,那么直线是什么?直线 有什么特点?我们又是怎样表示一条直线的?
? 2.类比直线的相关知识,考虑下面的问题: (1)平面有哪些特点? (2)平面可以看作是怎样形成的? (3)平面是什么? (4)怎么表示一个平面?

明镜止水以澄心
? 明镜、止水给我们什么样的直观感觉?

1.平面

立体几何中的平面的特点:

1.平的

(不是凹凸不平)

2.四周无限延展

(没有边界;没有厚度 )

3.不计大小

(无所谓面积)

4.不计厚薄

(没有体积)

(1)平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移得到的.

(2)直线可以看成是点的集合,所以平面可视为直线的集合,也 可视为点的集合.
(3)和点、直线一样,平面也是从现实世界中抽象出来的几何概 念,它没有厚薄,是无限延展的.

2. 平面的画法:

文字语言:通常用平行四边形来表示平面.

符号语言:通常用希腊字母

等来表?示, ,?如,?:平面 ;也

可用表示平行四边形的?两个相对顶点的字母来表示,如:平面AC.

图形语言:

(1) 当平面是水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成45°, 横边画成邻边长的2倍。
(2)画直立平面时,要有一组对边为竖直。

水平平面

直立平面

■ 立体几何研究的对象、内容
对象:点、线、面 内容:空间图形的形状、位置关系、性质、画法等
■ 现实生活中哪些东西给你以平面的印象?
■练习一: 下列说法正确的是:
A、平静的太湖面是平面 B、地球表面是一个平面
C、两个平面的面积是一个平面面积的2倍 D、圆和平面多边形都可以表示平面

■练二: 两个相交平面如何画?

C

C

N

G C

E

N

F

A D

BA (一)

M

B

(二)

D

G C

E

N

F

A

M

B

H (三)

D

G

C

E

N

F

A

M

B

H (四)

D

A

M

B

H

(五)

D

画两个相交平面的步骤:
1、画出边线AB、CD 2、找交点M,作线段MN 3、过A、B、C、D作
MN的平行线段 4、完成两个平行四边形
5、看不到的线用虚线或擦去

G

C

E

N

F

A

M

B

H

D

注意:
画相交平面时,虚线实线要清楚。
在画两个平面相交图时,如果图形的一部分被另一部分遮住,可 以把遮住部分画成虚线(不等同于平面几何中的辅助线),也可以不画。

3. 探索平面的基本性质:

数学实验1:
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。
(1)若直尺上的两个点固定在桌面内,问直尺所在直线上各点与桌面所在 的平面有何关系?
(2)若直尺上有一个点不在桌面内,直尺所在直线与桌面所在的平面关系 如何?

桌面α

B

A

文字 语言

公理1:如果一条直线上的 两点在一个平面内,那么这 条直线在此平面内.

作用1) 说明平面是“平的” (2)判断直线是否在平面内 的依据
α

符号语言

图形语 言

A

B

■点、线、面的基本关系:

①点A在直线 ?上

A?l

点A不在直线 ?上

②点A在平面 α内

A??

点A不在平面 α内

③直线?在平面α内

l ??

④直线?与直线m相交于点A

直线?不在平面α内 ?∩m=A

⑤直线?与平面α相交于点A ⑥平面α与平面β相交于直线?

?∩α=A α∩β=?

A?l
A??
l ??

空间中的点、直线、平面的位置关系,可 以借用集合中的符号来表示.

例如:在长方体 ABCD—A1B1C1D1中

位置关系
点P在直线AB上
点c不在直线AB上
点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内

符号表示

P ∈ AB

C ∈ AB

A1

M ∈ 平面AC

A1∈平面AC



AB∩BC = B

AB ∩平面AC

AA1 ∩平面AC

D1

C1

B1

· · D M

P





A?l, B ?l,且A??,B ? ? ? l ? ?

符号语 言

文字 语言

公理1:如果一条直线上的 两点在一个平面内,那么这
?
条直线在此平面内.

图形语 言

B αA

B
αA ?

A∈α, B∈α
A∈? , B∈?
?



}
α

公理1:如果一条直线上的两点 在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
公理1的用途:
①判定直线是否在平面内 ②检查直线是否直,平面是否平
③判定直线上的点在不在平面内

教学实验2: 两个合页与一把锁就可以把门固定,为什么?

折页 页



观察下列问题,你能得到什么结论_?

B A

B

C

α

A

C

公理2.过不在一直线上的三点,有且只有一个平面.

公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面.

A.

B.

?

c.

公理2的用途: 确定平面.

有且只有一个的含义:
至少有一个

“有” “只有一个”

说明图形是存在的! 说明图形是唯一的!

至多有一个

推论: 1、过直线和直线外一点有且 只有一个平面。

确定平面的依据
?

A
a

2、过两条相交直线有且只有一个 平面

确定平面的依据

C AB

a

b
?

3、过两条平行直线有且只有 一个平面
a
确定平面的依据
b
?

思考:

两个平面的公共点的个数可能有......( )

D

(A)0 (B)1 (C)2 (D)0或无数

数学实验3:
(1)一个三角形的顶点在桌面上, 能说我这个三角形所在平面与桌面 所在平面只有一个公共点吗?
(2)把教室门及其所在的墙面看成两个平面,当门打开时,他们的公共点分布 情况如何?

公理3: (见课本)如果两个不重合的平面有一个公 共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

A∈α,A ∈ β
公理3的用途::
①判定两个平面是否相交 ②判定点共线 ③寻找两个平面交线

{ α∩β=? A∈?

思考题:三个平面中,每两个平面都相交,可能有几条交线?

练习:三个平面两两相交,则它们交线的数……( )

B

(A)最多4条最少3条 (C)最多3条最少2条

(B)最多3条最少1条 (D)最多2条最少1条

例.若三个平面两两相交有三条交线,若其中两条相交于一点,证明第三 条交线也过这一点。

已知: ? ? ? ? c, ? ? ? ? a,

? ?? ? b,a ?b ? O

求证:O ? c

?

c
O

证明:

a

O ?b,b ? ?, ?O ??

b?
?

O ? a,a ? ?, ?O ? ?

?O在?与?的交线上,

又? ? ? ? c,?O ? c

练.判断下列命题是否正确: (1)经过三点确定一个平面。(×) (2)经过同一点的三条直线确定一个平面。 (×) (3)若点A ?直线a,点A ?平面α,则a ?α. (×) (4)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点。(×)
练习:课本

■课堂小结

1、平面:
①平面的特点:1、平2、无限延展、3、没有厚薄 ②平面的表示及画法 ③点、线、面的基本关系

2、平面的基本性质:

①公理 1 及用途

②公理 3 及用途



公理2及用途;三推论

■课本练习1~4
作业:P51 1T

谢谢观看!

作业:P51 1;2T.

立体几何


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