2016届高三数学理科(人教版)一轮复习学案第六章不等式与推理证明第5课时数学归纳法

考纲索引 课标要求 知识梳理

第 5 课时 数学归纳法
1. 数学归纳法的概率及原理. 2. 数学归纳法的应用. 1. 了解数学归纳法的原理. 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1. 数学归纳法是证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)(归纳奠基)证明当 n 取

时命题成立.

(2)(归纳递推)假设 n=k(k≥k0,k∈N*)时命题成立,证明当

2. 应用数学归纳法时特别注意:

时命题也成立.

(1)数学归纳法证明的对象是与

有关的命题.

(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.

基础自测

1. 用数学归纳法证明 3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步应验证( ).

A. n=1

B. n=2

C. n=3

D. n=4

2. 用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中,在验证 n=1 时,左端计算所得的

项为( ). A. 1

B. 1+2

C. 1+2+22

D. 1+2+22+23

指点迷津 【想一想】 对于数学归纳法证明中的两个基本步骤,你是如何理解的? 【答案】 第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的 作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法,第二步的关键是“一凑假设,二 凑结论.” 考点透析 考向一 用数学归纳法证明恒等式
【方法总结】用数学归纳法证题的关键是第二步由 n=k 到 n=k+1 的过渡,要设法将待证式与归 纳假设建立联系,即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把 n=k+1 时的表达 式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明. 变式训练
考向二 用数学归纳法证明不等式 例 2 设 f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*. (1)当 n=1,2,3,4 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小; (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.

【方法总结】用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过放大 或缩小技巧变换出要证明的目标不等式,事实上,在合理运用归纳假设后,可以使用证明不等式 的任何方法证明目标式成立. 变式训练

考向三 用数学归纳法证明几何问题

【方法总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从 k 个变成 k+1 个时,

所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析;事实上,将 n=k+1 和

n=k 分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大

技巧.

变式训练

3. 平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,则这 n 个圆将

平面分成不同的区域的个数为( ).

A. 2n

B. 2n

C. n2-n+2

D. n2+n+1

考向四 用数学归纳法证明整除性问题

例 4 已知 n 为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明: an+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除.
【方法总结】用数学归纳法证明整除问题,P(k)? P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的 差异,然后将 P(k+1)进行分拆、配凑成 P(k)的形式,也可运用结论“: P(k)能被 p 整除且 P(k+1)-P(k) 能被 p 整除? P(k+1)能被 p 整除.” 变式训练 4. 用数学归纳法证明 42n+1+3n+2 能被 13 整除,其中 n 为正整数.
考向五 归纳一猜想一证明 例 5 设数列{an}满足 an+1=-nan+1,n=1,2,3,…. (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明:对所有的 n≥1,有 an≥n+2.
【方法总结】“归纳——猜想——证明的模式”,是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题 模式,这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用,它的证题模式是先由归纳推理发现 结论,然后用数学归纳法证明结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式. 变式训练

经典考题

真题体验 1. (2014·广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式.
2. (2014·陕西)设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中 f'(x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明.

参考答案与解析
知识梳理 1. (1)第一个值 n0(n0∈N*) (2)n=k+1 2. (1)正整数 基础自测
考点透析

【例 4】 (1)当 n=1 时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被 a2+a+1 整除. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)2k-1 能被 a2+a+1 整除, 那么当 n=k+1 时, ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被 a2+a+1 整除. 即当 n=k+1 时命题也成立. 根据(1)(2)可知,对于任意 n∈N*,an+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除. 【例 5】 (1)由 a1=2,得 a2=-a1+1=3, 由 a2=3,得 a3=-2a2+1=4, 由 a3=4,得 a4=-3a3+1=5, 由此猜想 an 的一个通项公式:an=n+1(n≥1).

(2)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立. 即 ak≥k+2, 那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+2. 根据①②,对于所有 n≥1,都有 an≥n+2. 变式训练

3. C 解析:n=2,分成 4 部分,排除 D;n=3,分成 8 部分,排除 A;n=4,分成 14 部分,排除 B,故选 C. 4. (1)当 n=1 时,42×1+1+31+2=91 能被 13 整除. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,42k+1+3k+2 能被 13 整除. 则当 n=k+1 时,

42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2), ∵ 42k+1·13 能被 13 整除,42k+1+3k+2 能被 13 整除, ∴ 42(k+1)+1+3k+3 能被 13 整除. 由(1)(2)知,当 n∈N*时,42n+1+3n+2 能被 13 整除.
考点透析 真题体验


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