江苏省淮安市淮宁中学2014-2015学年高二上学期10月调研数学试卷 Word版含解析


江苏省淮安市淮宁中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月调研数 学试卷
一.填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)经过点 A(﹣1,2) ,B(3,2m)的直线的倾斜角为 135°,则实数 m 的值为. 2. (5 分)若一个球的体积为 36π,则该球的半径为. 3. (5 分)已知直线 ax﹣y﹣1=0 与直线(a﹣2)x﹣y+2=0 互相垂直,则实数 a=. 4. (5 分)已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,则直线 a 与 b 的位置关系是. 5. (5 分)平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 . 6. (5 分)直线 y=kx+2 与圆 x +y =m 恒有公共点,则 m 的取值范围是. 7. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知点 P 在 x 轴上,点 A 的坐标为(0,0,4) , PA=5,则点 P 的坐标是. 8. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,二面角 C1﹣BD﹣C 的正切值为.
2 2

9. (5 分)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分,使这两部分的 面积之差最大,则该直线的方程为. 10. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 α∥β,m?β,n?α,则 m∥n; (2)若 α∥β,m⊥β,n∥α,则 m⊥n; (3)若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m∥n; (4)若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n. 上面命题中,所有真命题的序号为. 11. (5 分)x +y +2ax+a ﹣4=0 和 x +y ﹣4by﹣1+4b =0 恰有三条公切线,若 a∈R,b∈R, 且 ab≠0,则 的最小值为.
2 2 4 2 2 2

2

2

12. (5 分)设集合 A={(x,y)|y≥|x﹣2|,x≥0},B={(x,y)|y≤﹣x+b},若 A∩B≠?, (x, y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是. 13. (5 分)如果圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的 取值范围是. 14. (5 分) 将边长为 2, 有一内角为 60°的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD, 点 E、F 分别为 AC、BD 的中点,则下列命题中正确的是; (将正确的命题序号全填上) . ①EF∥AB; ②EF 与异面直线 A C、BD 都垂直; ③当四面体 ABCD 的体积最大时,AC= ; ④AC 垂直于截面 BDE.
2 2

二.解答题(共 6 小题,共计 90 分) 15. (14 分)已知直线 y=﹣ x+1 和 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,以线段 AB 为一边作

等边△ ABC,点 C 在第一象限内. (1)求点 C 的坐标; (2)如果点 P(m, )使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求实数 m 的值.

16. (14 分)如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点, (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若∠PDA=45°,求证:平面 BMN⊥平面 PCD.

17. (15 分)如 图,所有棱长都为 2 的正三棱柱 BCD﹣B′C′D′,四边形 ABCD 是菱形,其 中 E 为 BD 的中点. (1)求证:C′E∥面 AB′D′; (2)求证:面 ACD′⊥面 BDD′; (3)求四棱锥 B′﹣ABCD 与 D′﹣ABCD 的公共部分体积.

18. (15 分)如图,在矩形 ABCD 中, ,以 A 为圆心 1 为半径的圆与 AB 交 于 E(圆弧 DE 为圆在矩形内的部分) (1)在圆弧 DE 上确定 P 点的位置,使过 P 的切线 l 平分矩形 ABCD 的面积; (2)若动圆 M 与满足题(1)的切线 l 及边 DC 都相切,试确定 M 的位置,使圆 M 为矩形 内部面积最大的圆.

19. (16 分) 如图所示, 将一块直角三角形板 ABO 置于平面直角坐标系中, 已知 AB=OB=1, AB⊥OB,点 P 是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部

分锯掉,可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角板锯成△ AMN.问: (1)求直线 MN 的方程 (2)求点 M,N 的坐标 (3)应如何确定直线 MN 的斜率,可使锯成的△ AMN 的面积最大?

20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1.

2

2

(1)若过点 C1(﹣1,0)的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程; (2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

江苏省淮安市淮宁中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月 调研数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)经过点 A(﹣1,2) ,B(3,2m)的直线的倾斜角为 135°,则实数 m 的值为﹣1. 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的倾斜角可得斜率,再由斜率公式可得 m 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵直线的倾斜角为 135°, ∴直线的斜率 k=tan135°=﹣1, 由斜率公式可得 =﹣1,

解得 m=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率公式,属基础题. 2. (5 分)若一个球的体积为 36π,则该球的半径为 3. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设球半径为 R,由 球的体积是 36π,知 解答: 解:设球半径为 R, ∵球的体积是 36π, =36π,由此能求出这个球的半径.



=36π,

解得 R=3. 故答案为:3 点评: 本题考查球的体积的求法及其应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意熟练掌握 基本概念. 3. (5 分)已知直线 ax﹣y﹣1=0 与直线(a﹣2)x﹣y+2=0 互相垂直,则实数 a=1. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的垂直关系可得 a 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵直线 ax﹣y﹣1=0 与直线(a﹣2)x﹣y+2=0 互相垂直, ∴a(a﹣2)+(﹣1) (﹣1)=0,解得 a=1 故答案为:1 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题. 4. (5 分)已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,则直线 a 与 b 的位置关系是平行或 异面. 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:∵平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β, 直线 a 与 b 的位置关系是:平行或异面. 故答案为:平行或异面. 点评: 本题考查空间中直线与直线的位置关系的判断, 是基础题, 解题时要注意空间思维 能力的培养. 5. (5 分)平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的 条数为 5. 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 数形结合. 分析: 有两条平行直线确定一个平面,和两条相交直线确定一个平面可知,有 BC,DC, BB1,AA1,D1C1, 解答: 解:如图,满足条件的有 BC,DC,BB1,AA1,D1C1, 故答案为 5

点评: 本题考查确定立体几何的公理三,及其三条推论,是对基本概念的应用 6. (5 分)直线 y=kx+2 与圆 x +y =m 恒有公共点,则 m 的取值范围是 m≥4. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 2 2 分析: 直线 y=kx+2 恒过点(0,2) ,直线 y=kx+2 与圆 x +y =m 恒有公共点, (0,2)在 2 2 2 2 圆 x +y =m 内或圆 x +y =m 上,即可求出 m 的取值范围. 解答: 解:直线 y=kx+2 恒过点(0,2) ,则 ∵直线 y=kx+2 与圆 x +y =m 恒有公共点, 2 2 2 2 ∴(0,2)在圆 x +y =m 内或圆 x +y =m 上, ∴m≥4. 故答案为:m≥4. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础. 7. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知点 P 在 x 轴上,点 A 的坐标为(0,0,4) , PA=5,则点 P 的坐标是(3,0,0) , (﹣3,0,0) . 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 空间中的点的坐标. 空间位置关系与距离. 设出 P 的坐标,利用 PA=5,求解即可. 解:设 P 的坐标是(a,0,0) ,点 A 的坐标为(0,0,4) ,PA=5, =5,解得 a=±3.
2 2 2 2

点 P 的坐标是(3,0,0) , (﹣3,0,0) . 故答案为: (3,0,0) , (﹣3,0,0) . 点评: 本题考查空间两点间的距离公式的应用,考查计算能力. 8. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,二面角 C1﹣BD﹣C 的正切值为 .

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;空间角. 分析: 取 BD 的中点 O,连接 OC1,OC,则∠COC1 就是二面角 C1﹣BD﹣C 的平面角, 由此能求出二面角 C1﹣BD﹣C 的正切值. 解答: 解:设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a, 则 ,CD=BC=CC1=a,

取 BD 的中点 O,连接 OC1,OC,则∠COC1 就是二面角 C1﹣BD﹣C 的平面角, ∵CO= = , = .

∴tan∠COC1= 故答案为: .

点评: 本题考查二面角的正切值的求法,是基础题.解题时要认真审题,正方体性质的合 理运用. 9. (5 分)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分,使这两部分的 面积之差最大,则该直线的方程为 x+y﹣2=0. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达到 最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可. 解答: 解:要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长 达到最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可. 又已知点 P(1,1) ,则 kOP=1,故所求直线的斜率为﹣1. 又所求直线过点 P(1,1) ,故由点斜式得,所求直线的方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) , 即 x+y﹣2=0. 故答案为:x+y﹣2=0.
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点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 10. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 α∥β,m?β,n?α,则 m∥n; (2)若 α∥β,m⊥β,n∥α,则 m⊥n; (3)若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m∥n; (4)若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n. 上面命题中,所有真命题的序号为(2) , (4) . 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 计算题. 分析: (1) 若 α∥β, m∈β, n∈α, 则 m∥n 或 m 与 n 异面; (2) 若 α∥β, m⊥β, 则 m⊥α, 再由 n∥α, 得 m⊥n; (3) 若 α⊥β, m⊥α, n∥β, 则 m 与 n 相交、 平行或异面; ( 4) 若 α⊥β, m⊥α,n⊥β,则 m⊥n. 解答: 解:由 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,知: (1)若 α∥β,m∈β,n∈α,则 m∥n 或 m 与 n 异面,故(1)不正确; (2)若 α∥β,m⊥β,则 m⊥α,再由 n∥α,得 m⊥n,故(2)正确; (3)若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m 与 n 相交、平行或异面,故(3)不正确; (4)若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n,故(4)正确. 故答案为: (2) , (4) . 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意 平面性质及其推论的灵活运用. 11. (5 分)x +y +2ax+a ﹣4=0 和 x +y ﹣4by﹣1+4b =0 恰有三条公切线,若 a∈R,b∈R, 且 ab≠0,则 的最小值为 .
2 2 4 2 2 2

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 先将圆的方程配方得出圆心坐标与半径,根据 x +y +2ax+a ﹣4=0 和 x +y ﹣4by 2 ﹣1+4b =0 恰有三条公切线,得出两圆外切,圆心距等于两半径之和,得出 a,b 的关系式; a +4b =25,再利用基本不等式即可求得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

的最小值.
2

解答: 解:∵x +y +2ax+a ﹣4=0 和 x +y ﹣4by﹣1+4b =0 恰有三条公切线, ∴两圆外切, 2 2 ∴圆心距等于两半径之和,即得:a +4b =9, ∴

= (5+

+

)≥ (5+4)=1

当且仅当 a=2b 时取等号,



的最小值为 1

故答案为:1 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.要把握住基本不等式中的“一 正”,“二定”,“三相等”的特点 . 12. (5 分)设集合 A={(x,y)|y≥|x﹣2|,x≥0},B={(x,y)|y≤﹣x+b},若 A∩B≠?, (x, y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 利用集合 A,集合 B,以及 A∩B≠?,通过线性规划,在可行域内,给 x+2y 几何意 义为直线的纵截距,使直线动起来,求出最值. 解答: 解:如图:集合 A={(x,y)|y≥|x﹣2|,x≥0}表示图中阴影部分, 集合 B={(x,y)|y≤﹣x+b}表示直线 y=﹣x+b 的下方, ∵A∩B≠?. 若(x,y)∈A∩B,令 z=x+2y 作直线 z=x+2y,由图知当直线过(0,b)时,z 最大 所以 0+2b=9,解得 b= . 故答案为:

点评: 本题主要考查了集合的交集的含义及数形结合思想方法,数形 结合是数学解题中 常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使 用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷. 13. (5 分)如果圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的 取值范围是(﹣ ,﹣ )∪( , ) .
2 2

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 直线与圆. 分析: 圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交,两圆圆心距大于两圆半径之差、小 于两圆半径之和. 2 2 2 2 解答: 解:由题意可得,圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交, 根据两圆圆心距 d= 可得 2﹣1< ∴﹣ |a|<2+1,即: 或 <a< <|a|< , ,﹣ , )∪( ) .
2 2 2 2 2 2 2 2

= ,

|a|,

<a<﹣

故实数 a 的取值范围是 (﹣ 故答案为: (﹣ ,﹣



) ,

)∪(

点评: 体现了转化的数学思想,将问题转化为:圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交,体现了转化的数学思想,属于中档题. 14. (5 分) 将边长为 2, 有一内角为 60°的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD, 点 E、F 分别为 AC、BD 的中点,则下列命题中正确的是②③④; (将正确的命题序号全 填上) . ①EF∥AB; ②EF 与异面直线 AC、BD 都垂直; ③当四面体 ABCD 的体积最大时,AC= ; ④AC 垂直于截面 BDE. 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出图形,利用翻折前后线面关系,角的关系,逐一分析各个选项的正确性,把正 确的选项找出来. 解答: 解:如图:由题意得,EF 与 AB 是异面直线,故①不正确; 由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD,AF⊥BD,DB⊥面 ACF,又 EF?面 ACF, ∴EF⊥BD,且 EF⊥AC,故②正确; 当四面体 ABCD 的体积最大时,因为等边△ ABD 的面积为定值, 故面 SBD⊥面 ABD,CF 为四面体的高, AC= ,故③正确.

由 DB⊥面 ACF 得,DB⊥AC,又 EF⊥AC,∴ AC⊥面 EBD,故④正确; 故答案为:②③④.

点评: 本题考查棱锥的结构特征, 注意在翻折过程中哪些量发生了变化, 哪些量没有发生 变化;位于折线同侧的元素关系不变,位于折线两侧的元素关系会发生变化 二.解答题(共 6 小题,共计 90 分) 15. (14 分)已知直线 y=﹣ x+1 和 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,以线段 AB 为一边作

等边△ ABC,点 C 在第一象限内. (1)求点 C 的坐标; (2)如果点 P(m, )使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求实数 m 的值.

考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由直线 AB 的斜率易得倾斜角为 150°,再由∠BAC=60°可得 AC 的倾斜角为 90°,由 A 和 B 的坐标结合|AC|=|AB|=2 可得答案; (2)由题意可得的点 P 到直线 AB 的距离等于点 C 到直线 AB 的距离,由距离公式可得 m 的方程,解方程可得. 解答: 解: (1)∵直线 AB 的斜率 k= ,∴AB 的倾斜角为 150°,

∵∠BAC=60°,∴AC 的倾斜角为 90°, 又 A( ,0) ,B(0,1) ,∴|AC|=|AB|=2, ∵点 C 在第一象限内,∴C( ,2) ; (2)由题意可得的点 P 到直线 AB 的距离等于点 C 到直线 AB 的距离, 又点 C 到直线 AB: x+3y﹣3=0 的距离 d= = ,



=

,解得 m=

或 m=﹣

点评: 本题考查直线的一般式方程,涉及距离公式,属基础题. 16. (14 分)如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点, (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若∠PDA=45°,求证:平面 BMN⊥平面 PCD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;综合题. 分析: (1)取 PD 的中点 E,连接 AE、EN,根据三角形中位线的性质,我们可得四边 形 AMNE 为平行四边形, 即 MN∥AE, 进而根据线面平行的判定定理得到 MN∥平面 PAD. (2)由已知中 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,根据线面垂直的性质及矩形的性质,可得 PA⊥AB,AD⊥AB,由线面垂直的判定定理得 AB⊥平面 PAD,结合线面垂直的判定定理 及性质,即可得到 MN⊥CD; (3) 由已知中 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面, ∠PDA=45°, E 是 PD 的中点, 可得 MN⊥PD, MN⊥CD, 由线面线面垂直的判定定理得 MN⊥平面 PCD, 再由面面垂直的判定定理可得面 BMN⊥平面 PCD. 解答: 证明: (1)如图所示,取 PD 的中点 E,连接 AE、EN, 则有 EN= = =AM,EN∥CD∥AB∥AM,

故 AMNE 是平行四边形, ∴MN∥AE, ∵AE?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AB,又 AD⊥AB, ∴AB⊥平 面 PAD, ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN, 又 CD∥AB, ∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,E 是 PD 的中点, ∴AE⊥PD,即 MN⊥PD, 又 MN⊥CD, ∴MN⊥平面 PCD, ∵MN?平面 BMN ∴平面 BMN⊥平面 PCD.

点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定, 直线与平面平行的判定, 熟练掌握空 间直线与平面平行及垂直的判定和性质是解答本题的关键. 17. (15 分)如图,所有棱长都为 2 的正三棱柱 BCD﹣B′C′D′,四边形 ABCD 是菱形,其 中 E 为 BD 的中点. (1)求证:C′E∥面 AB′D′; (2)求证:面 ACD′ ⊥面 BDD′; (3)求四棱锥 B′﹣ABCD 与 D′﹣ABCD 的公共部分体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;组合几何体的面积、体积问题;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)取 B′D′的中点为 F,连 AF,C′F,根据三角形中位线定理,我们易判断出 AF∥C′E,结合线面平行的充要条件,即可得到 C′E∥平面 AB′D′. (2)连接 AC,CD′,结合菱形及正三棱柱的几何特征,我们可以得到 AC⊥BD,AC⊥DD', 根据线面垂直的判定定理我们可以得到 AC⊥平面 BDD′,再由面面垂直的判定定理,即可 得到面 ACD′⊥面 BDD′; (3)由图得四棱锥 B′﹣ABCD 与 D′﹣ABCD 的公共部分为四棱锥 O﹣ABCD,求出棱锥 的 高及底面积,代入棱锥体积公式,即可得到四棱锥 B′﹣ABCD 与 D′﹣ABCD 的公共部分体 积. 解答: 解: (1)证明:如图取 B′D′的中点为 F,连 AF,C′F,易得 AFC′E 为平行四边形.

∴AF∥C′E,又 AF?平面 AB′D′ ∴C′E∥平面 AB′D′..(4 分) (2)证明:连接 AC,CD′,因 ABCD 是菱形故有 AC⊥BD 又 BCD﹣B′C′D′为正三棱柱

故有 AC⊥DD' 所以 AC⊥平面 BDD′ ,而 AC?平面 ACD′ 所以面 ACD′⊥面 BDD′(9 分) (3)设 B′D 与 BD′的交点为 O, 由图得四棱锥 B′﹣ABCD 与 D′﹣ABCD 的公共部分为四棱锥 O﹣ABCD 且易得 O 到下底面的距离为 1, 所以公共部分的体积为 (14 分)

点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定, 组合几何体的体积, 及直线与平面平 行的判定,要求一个几何体的体积,我们要先判定几何体的形状,然后求出底面积,高,代 入公式即可求解. 18. (15 分)如图,在矩形 ABCD 中, ,以 A 为圆心 1 为半径的圆与 AB 交 于 E(圆弧 DE 为圆在矩形内的部分) (1)在圆弧 DE 上确定 P 点的位置,使过 P 的切线 l 平分矩形 ABCD 的面积; (2)若动圆 M 与满足题(1)的切线 l 及边 DC 都相切,试确定 M 的位置,使圆 M 为矩形 内部面积最大的圆.

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)以 A 点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系.设 P(x0,y0) 则 B,C 坐标可知,进而求得圆弧 DE 的方程和切线 l 的方程,设 l 与 AB、CD 交于 F、G, 则 F,G 的坐标可表示出,进而根据 l 平分矩形 ABCD 面积,可知求得 x0 和 y0 的关系式, 同时与圆弧的方程联立求得 x0 和 y0 的,则点 P 的坐标可得. (2)根据(1)中切线的方程,当满足题意的圆 M 面积最大时必与边 BC 相切,设圆 M 与 直线 l、BC、DC 分别切于 R、Q、T,则 MR=MT=MQ=r(r 为圆 M 的半径) .进 而根据点 到直线的距离求得求得 r 的值,进而求得点 M 的坐标. 解答: 解: (1)以 A 点为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 设 P(x0,y0) , ,D(0,1) , 2 2 圆弧 DE 的方程 x +y =1(x≥0,y≥0) 切线 l 的方程:x0x+y0y=1 设 l 与 AB、CD 交于 F、G 可求 F( ) ,G( ) ,

∵l 平分矩形 ABCD 面积, ∴ 又 x0 +y0 =1②解①、②得: ,∴ ; ,
2 2



(2)由题(Ⅰ)可知:切线 l 的方程: 当满足题意的圆 M 面积最大时必与边 BC 相切, 设圆 M 与直线 l、BC、DC 分别切于 R、Q、T, 则 MR=MT=MQ=r(r 为圆 M 的半径) .∴M 由

, (舍) , .

∴M 点坐标为



点评: 本题主要考查了直线与圆的综合运用.考查了考生综合运用所学知识的能力. 19. (16 分) 如图所示, 将一块直角三角形板 ABO 置于平面直角坐标系中, 已知 AB=OB=1, AB⊥OB,点 P 是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部

分锯掉,可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角板锯成△ AMN.问: (1)求直线 MN 的方程 (2)求点 M,N 的坐标 (3)应如何确定直线 MN 的斜率,可使锯成的△ AMN 的面积最大?

考点: 恒过定点的直线;直线的点斜式方程;两条直线的交点坐标. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)依题意得直线 MN 过点 P 且其斜率存在,由直线的点斜式方程可

写出答案; (2)根据题意,M 为 OA 与 MN 的交点,N 为 AB 与 MN 的交点,易得 OA、OB 的方程, 由(1)中所得的 MN 的方程,结合两直线交点的求法,联立直线的方程,易得 M、N 的坐 标;

(3)先根据三角形面积公式写出 S△ AMN 关于 k 的关系式,设 t=1﹣k,则 转化为求 f(t)的最大值问题,用作差法判断出 f(t)在 (t)取得最大值,将 t= 代入 f(t)中,可得答案. 解答: 解: (1)依题意得直线 MN 过点 P . (2)∵AB⊥OB,|AB|=|OB|=1, ∴直线 OA 方程为:y=x 直线 AB 方程为:x=1, 由 ,可得 , 且其斜率存在,则 MN 方程为:



是增函数,即 t= 时,f



,可得 k≥1 或 k≤ ,

又由







可得 k≤ ∴ 故

, ; , = , . .

(3) S△ AMN= 设 当

时,f(t1)﹣f(t2)

=

=





,∴t1t2>0,t1﹣t2<0,4t1t2﹣1>0,

∴f(t1)﹣f(t2)<0,即 f(t1)<f(t2) . ∴f(t)在 ∴当 S△ max= 时, . 是增函数, ,即当 1﹣k= 时即 k= 时,

点评: 本题考查直线方程的运用,解(3)题时,注意先转化问题,结合函数的性质,通 过求函数的最大值的方法,求出答案. 20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1. (1)若过点 C1(﹣1,0)的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程; (2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
2 2

考点: 圆与圆的位置关系 及其判定;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;综合题;直线与圆. 分析: (1)设过直线 l 方程:y=k(x+1) ,根据垂直于弦的直径的性质,结合点到直线的 距离公式列式,可解出 k 的值,从而得到直线 l 的方程; (2)①由题意,圆心 C 到 C1、C2 两点的距离相等,由此结合两点间的距离公式建立关系 式,化简整理得 x+y﹣3=0,即为所求定直线方程; ②根据题意设 C(m,3﹣m) ,得到圆 C 方程关于参数 m 的一般方程形式,由此可得动圆 C 经过圆 x +y ﹣6y﹣2=0 与直线 x﹣y+1=0 的交点,最后联解方程组,即可得到动圆 C 经过 的定点坐标. 解答: 解: (1)设过点 C1(﹣1,0)的直线 l 方程:y=k(x+1) ,化成一般式 kx﹣y+k=0 ∵直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 , ∴点 C2(3,4)到直线 l 的距离为 d= = ,
2 2

解之得 k= 或 由此可得直线 l 的方程为:4x﹣3y+4=0 或 3x﹣4y+3=0. (2)①设圆心 C(x,y) ,由题意,得 CC1=CC2, 即 = ,

化简整理,得 x+y﹣3=0, 即动圆圆心 C 在定直线 x+y﹣3=0 上运动. ②设圆 C 过定点,设 C(m,3﹣m) , 则动圆 C 的半径为 = ,

于是动圆 C 的方程为(x﹣m) +(y﹣3+m) =1+(m+1) +(3﹣m) , 2 2 整理,得 x +y ﹣6y﹣2﹣2m(x﹣y+1)=0,

2

2

2

2







所以动圆 C 经过定点,其坐标为





点评: 本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程, 并探索动圆圆心在定直线上的问题. 考 查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,考查学生运算能力.


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