河北省邯郸市广平一中高二上学期第三次月考数学试卷(理科) Word版含解析 (1)

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2016-2017 学年河北省邯郸市广平一中高二(上)第三次月考数学
试卷(理科)

一、选择题(共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.“a<1”是“lna<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 2.命题“若 α= ,则 tanα=1”的逆否命题是( )
A.若 α≠ ,则 tanα≠1 B.若 α= ,则 tanα≠1
C.若 tanα≠1,则 α≠ D.若 tanα≠1,则 α=

3.设焦点在 x 轴上的椭圆

的离心率为 e,且

,则实数 k 的取

值范围是( )

A.(0,3) B.

C.

D.(0,2)

4.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A.若|AF|=3,则点 A 的坐标 为( ) A.(2,2 ) B.(2,﹣2 ) C.(2,±2 ) D.(1,±2)

5.已知双曲线

=1 的右焦点恰好是抛物线 y2=8x 的焦点重合,则 m=( )

A.3 B.5 C.4 D.1

6.已知 x、y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最大值为( )

A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2

7.不等式

的解集是( )

A.{x| ≤x≤2} B.{x| ≤x<2} C.{x|x>2 或 x≤ } D.{x|x≥ }

8.直线 y=kx﹣k 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) A. B.1 C.2 D.

9.椭圆

的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2 的大小

() A.60° B.120°C.150°D.30° 10.若关于 x 的不等式 x2﹣3x﹣2﹣a>0 在 1<x<4 内有解,则实数 a 的取值范围 是( ) A.a<﹣4 B.a>﹣4 C.a>2 D.a<2 11.设 A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,O 是坐标原点,已知 OA⊥OB, OD⊥AB 于 D,点 D 的坐标为(1,3),则 p=( ) A.2 B.3 C.4 D.5

12.已知点 F1、F2 是双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 为坐

标原点,点 P 在双曲线 C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双 曲线 C 的离心率的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.[ ,+∞) C.(1, ] D.(1, ]

二、填空题(共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 x2﹣2y2=1 的渐近线方程为 . 14.若实数列 1,a,b,c,4 是等比数列,则 b 的值为 . 15.设抛物线 y2=4px(p>0)上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 10,则 p= . 16.过椭圆 + =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使得弦被 M 点平分,则此弦 所在的直线方程为 .
三、解答题(17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分,共 70 分)

17.已知 a>0,b>0,且



(1)求 ab 的最小值; (2)求 a+2b 的最小值,并求出 a,b 相应的取值. 18.已知抛物线的标准方程是 y2=6x, (1)求它的焦点坐标和准线方程, (2)直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°,且与抛物线的交点为 A、B,求 AB 的长度. 19.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,已知 2asinB= b. (1)求角 A; (2)若 b=1,a= ,求 S△ABC. 20.已知 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 Sn= an2+ an﹣

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 an=2nbn,求数列{bn}的前 n 项和.

21.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ),且离心率等于 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(2,0)作直线 PA,PB 交椭圆于 A,B 两点,且满足 PA⊥PB,试判 断直线 AB 是否过定点,若过定点求出点坐标,若不过定点请说明理由.

22.设 A、B 分别为双曲线

的左右顶点,双曲线的实轴长

为 ,焦点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程;

(2)已知直线

与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上

存在点 D,使

,求 t 的值及点 D 的坐标.

2016-2017 学年河北省邯郸市广平一中高二(上)第三次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.“a<1”是“lna<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 【考点】充要条件. 【分析】当 a=0 时,满足 a<1,但此时 lna<0 不成立.若 lna<0,由对数函数得 性质得 0<a<1,满足 a<1. 【解答】解:a<1 推不出“lna<0”,比如 当 a=0 时.若 lna<0,由对数函数得性 质得 0<a<1,满足 a<1. 故选 B.

2.命题“若 α=

,则 tanα=1”的逆否命题是( )

A.若 α≠

,则 tanα≠1 B.若 α=

,则 tanα≠1

C.若 tanα≠1,则 α≠

D.若 tanα≠1,则 α=

【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】原命题为:若 a,则 b.逆否命题为:若非 b,则非 a.

【解答】解:命题:“若 α=

,则 tanα=1”的逆否命题为:若 tanα≠1,则 α≠ .

故选 C.

3.设焦点在 x 轴上的椭圆

的离心率为 e,且

,则实数 k 的取

值范围是( )

A.(0,3) B.

C.

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】焦点在 x 轴上的椭圆

D.(0,2) 中 a2=4 , b2=k , 4 > k > 0 ,

e2=

? k 的范围,

【解答】解:焦点在 x 轴上的椭圆

中 a2=4,b2=k,4>k>0,

e2=

? 0<k<3

则实数 k 的取值范围(0,3), 故选:A.

4.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A.若|AF|=3,则点 A 的坐标

为( )

A.(2,2 ) B.(2,﹣2 ) C.(2,±2 ) D.(1,±2)

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】确定抛物线 y2=4x 的准线方程,利用抛物线的定义,可求 A 点的横坐标,

即可得出 A 的坐标. 【解答】解:抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=﹣1,F(1,0).

设 A(x,y),

∵|AF|=3,

∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1,

∴x=2,

∴y=



∴A 的坐标为(2,

).

故选:C,

5.已知双曲线

=1 的右焦点恰好是抛物线 y2=8x 的焦点重合,则

m=( ) A.3 B.5 C.4 D.1 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】求得抛物线的焦点,可得双曲线的右焦点,由双曲线 恰好是抛物线 y2=8x 的焦点重合,求 m. 【解答】解:抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),

=1 的右焦点

即有双曲线

=1 的右焦点为(2,0),

则 c=2,解得 m=22﹣1=3, 故选:A.

6.已知 x、y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最大值为( )

A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【考点】简单线性规划. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣y 表示直线 在 y 轴上的截距的相反数,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 【解答】解:画出可行域(如下图),由 z=x﹣y 可得 y=x﹣z 则﹣z 为直线 y=x﹣z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越大 由图可知,当直线 l 经过点 C(2,0)时, z 最大,且最大值为 zmax=2 故选 C

7.不等式

的解集是( )

A.{x| ≤x≤2} B.{x| ≤x<2} C.{x|x>2 或 x≤ } D.{x|x≥ }

【考点】一元二次不等式的应用. 【分析】把原不等式的右边移项到左边,通分计算后,然后转化为两个一元一次 不等式组,求出不等式组的解集即为原不等式的解集.

【解答】解:不等式



移项得:

,即

≤0,

可化为:



解得: ≤x<2, 则原不等式的解集为: ≤x<2 故选 B.

8.直线 y=kx﹣k 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) A. B.1 C.2 D.

【考点】直线与抛物线的位置关系. 【分析】确定抛物线的准线方程,利用抛物线的定义及弦长,可得弦 AB 的中点到 准线的距离,进而可求弦 AB 的中点到 y 轴的距离. 【解答】解:由题意,直线 y=kx﹣k 恒过(1,0), 抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=﹣1, 根据抛物线的定义,∵|AB|=4,∴A、B 到准线的距离和为 4, ∴弦 AB 的中点到准线的距离为 2 ∴弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 2﹣1=1 故选:B.

9.椭圆

的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2

的大小( )

A.60° B.120°C.150°D.30°

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的焦点为 F1(﹣

,0)、F2(

,0),得

到 |F1F2|=2

. 由 椭 圆 的 定 义 得 |PF1|+|PF2|=2a=6 , 从 而 算 出 |PF2|=6 ﹣

|PF1|=2.最后在△F1PF2 中,根据余弦定理列式解出 cos∠F1PF2=﹣ ,即可得到

∠F1PF2 的大小.

【解答】解:∵椭圆

中,a2=9,b2=2,

∴a=3,b= ,c=

= ,可得 F1(﹣ ,0)、F2( ,0),

根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=6,结合|PF1|=4,得|PF2|=6﹣|PF1|=2. △F1PF2 中,根据余弦定理得:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2,

∴(2 )2=42+22﹣2?4?2?cos∠F1PF2,解之得 cos∠F1PF2=﹣

结合为三角形的内角,可得∠F1PF2=120°. 故选:B

10.若关于 x 的不等式 x2﹣3x﹣2﹣a>0 在 1<x<4 内有解,则实数 a 的取值范围 是( ) A.a<﹣4 B.a>﹣4 C.a>2 D.a<2 【考点】一元二次不等式的应用. 【分析】先分离参数,再求出函数 t=x2﹣3x﹣2 的范围,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解:由不等式 x2﹣3x﹣2﹣a>0 可得不等式 a<x2﹣3x﹣2 由 t=x2﹣3x﹣2=(x﹣ )2﹣ ,1<x<4,可得﹣ ≤t<2 ∵关于 x 的不等式 x2﹣3x﹣2﹣a>0 在 1<x<4 内有解, ∴a<2 即实数 a 的取值范围是 a<2 故选 D.

11.设 A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,O 是坐标原点,已知 OA⊥OB, OD⊥AB 于 D,点 D 的坐标为(1,3),则 p=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】利用 OD⊥AB,可求直线 AB 的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理, 结合 OA⊥OB,利用向量的数量积公式,即可求出 p 的值. 【解答】解:∵OD⊥AB,∴kOD?kAB=﹣1. 又 kOD=3,∴kAB=﹣ ,

∴直线 AB 的方程为 y﹣3=﹣ (x﹣1),

即为 y=﹣ + , 设 A(x1,x2),B(x2,y2),则 x1x2+y1y2=0, 又 x1x2+y1y2=x1x2+(﹣ x1+ )(﹣ x2+ )

= x1x2﹣ (x1+x2)+ , 联立直线方程和抛物线方程,消 y 可得 x2﹣( +2p)x+ ∴x1+x2=20+18p,x1x2=100,

=0①

∴x1x2+y1y2=

×100﹣

×(20+18p)+

=0,

∴p=5, 当 p=5 时,方程①成为 x2﹣110x+100=0 显然此方程有解.

∴p=5 成立.

故选:D.

12.已知点 F1、F2 是双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 为坐
标原点,点 P 在双曲线 C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双 曲线 C 的离心率的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.[ ,+∞) C.(1, ] D.(1, ] 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2 为直角三角形,且 PF1⊥PF2,运用 双曲线的定义,可得|PF1|﹣|PF2|=2a, 又|PF1|≥3|PF2|,可得|PF2|≤a,再由勾股定理,即可得到 c≤ a,运用离心 率公式,即可得到所求范围. 【解答】解:由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c, 即有△PF1F2 为直角三角形,且 PF1⊥PF2, 可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a, 又|PF1|≥3|PF2|,可得|PF2|≤a, 即有(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2, 化为(|PF2|+a)2=2c2﹣a2,

即有 2c2﹣a2≤4a2, 可得 c≤ a, 由 e= 可得 1<e≤ , 故选:C.
二、填空题(共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 x2﹣2y2=1 的渐近线方程为 y=± x . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】将双曲线的方程化为标准方程,求得 a,b,由渐近线方程为 y=± x,即 可得到所求方程. 【解答】解:双曲线 x2﹣2y2=1 即为 x2﹣ =1,
可得 a=1,b= , 渐近线方程为 y=± x, 即为 y=± x. 故答案为:y=± x.
14.若实数列 1,a,b,c,4 是等比数列,则 b 的值为 2 . 【考点】等比数列的性质. 【分析】先根据数列的第一项和第五项的值,求得公比 q,进而通过等比数列的通 项公式求得第三项 b. 【解答】解:依题意可知 a1=1,a5=4 ∴ =q4=4

∴q2=2 ∴b=a1q2=2 故答案为 2
15.设抛物线 y2=4px(p>0)上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 10,则 p= 4 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为 10,进而利用抛物线方程求 得其准线方程,利用点到直线的距离求得 p,可得答案. 【解答】解:∵横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10, ∴该点到准线的距离为 10, 抛物线 y2=4px 的准线方程为 x=﹣p, ∴6+p=10,求得 p=4, 故答案为:4

16.过椭圆

+

=1 内一点 M(2,1)引一条弦,使得弦被 M 点平分,则

此弦所在的直线方程为 x+2y﹣4=0 . 【考点】直线与圆锥曲线的关系.

【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得

,两

式相减,结合中点坐标公式可求直线的斜率,进而可求直线方程 【解答】解:设直线与椭圆交于点 A,B,设 A(x1,y1),B(x2,y2)

由题意可得

,两式相减可得

由中点坐标公式可得,



=

=﹣

∴所求的直线的方程为 y﹣1=﹣ (x﹣2)即 x+2y﹣4=0 故答案为 x+2y﹣4=0

三、解答题(17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分,共 70 分)

17.已知 a>0,b>0,且



(1)求 ab 的最小值; (2)求 a+2b 的最小值,并求出 a,b 相应的取值. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式.

【分析】(1)根据题意,由基本不等式的性质可得 2=( + )≥2 ,将其化简

变形可得 ab≥1,即可得答案;

(2)根据题意,a+2b= (a+2b)( + ),进而变形可得 (a+2b)( + )=

(5+ + ),由基本不等式的性质计算可得答案.

【解答】解:(1)由 a>0,b>0,且



可得 2=( + )≥2 ,变形可得 ab≥1,

当且仅当 b=a=1 时取得等号, 则 ab 的最小值为 1;

(2)a+2b= (a+2b)( + )= (3+ + )≥ (3+2

等号成立的充要条件是 a= b,

∴a+2b 的最小值为

;此时 a= b.

)=



18.已知抛物线的标准方程是 y2=6x, (1)求它的焦点坐标和准线方程, (2)直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°,且与抛物线的交点为 A、B,求

AB 的长度. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】(1)抛物线的标准方程是 y2=6x,焦点在 x 轴上,开口向右,2p=6,即可 求出抛物线的焦点坐标和准线方程, (2)先根据题意给出直线 l 的方程,代入抛物线,求出两交点的横坐标的和,然 后利用焦半径公式求解即可. 【解答】解:(1)抛物线的标准方程是 y2=6x,焦点在 x 轴上,开口向右,2p=6, ∴=
∴焦点为 F( ,0),准线方程:x=﹣ , (2)∵直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45°, ∴直线 L 的方程为 y=x﹣ ,
代入抛物线 y2=6x 化简得 x2﹣9x+ =0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=9, 所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12. 故所求的弦长为 12.

19.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,已知 2asinB= b. (1)求角 A; (2)若 b=1,a= ,求 S△ABC. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】(1)根据已知和正弦定理,确定出 sinA 的值,进而确定角 A 的大小. (2)根据正弦定理,可求 sinB,进而确定 B 的大小,再根据三角形面积公式即可 计算得解. 【解答】解:(1)由 2asinB= b,

可得



∴sinA= , ∵A 为锐角,

∴A=60°. (2)∵b=1,a= ,A=60°,

∴由

,可得:

,解得:sinB= ,

∴在锐角△ABC 中,B=30°,C=180°﹣A﹣B=90°,

∴S△ABC= ab=

=.

20.已知 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 Sn= an2+ an﹣
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 an=2nbn,求数列{bn}的前 n 项和. 【考点】数列的求和.

【分析】(1)运用 an=

即可求出 an;

(2)运用数列的求和方法:错位相减法,即可求出数列{bn}的前 n 项和.

【解答】解:(1)∵Sn=

+ an﹣ ,

∴Sn﹣1=

+ an﹣1﹣ ,

∴an=Sn﹣Sn﹣1= ( ﹣
∵正项数列{an}, ∴an﹣an﹣1=2,易得 a1=3, ∴an=2n+1; (2)∵an=2nbn

)+ (an﹣an﹣1)(n≥2),

∴bn= =

∴Tn=

+

+…+

Tn=

+

+…+

+

上面两式相减得,

Tn= + + +…+ ﹣

= +2?





∴Tn=5﹣(2n+5)



21.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ),且离心率等于 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(2,0)作直线 PA,PB 交椭圆于 A,B 两点,且满足 PA⊥PB,试判 断直线 AB 是否过定点,若过定点求出点坐标,若不过定点请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)利用椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ),且离心率等

于 ,建立方程,求出 a,b,即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),把直线的方程与椭 圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用 PA⊥PB,得(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2=0, 即可得出 m 与 k 的关系,再由直线恒过定点的求法,从而得出答案.
【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ),且离心率

等于 ,



=1,

=,

∴a=2,b= ,

∴椭圆 C 的方程为

=1;

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立椭圆方程得(1+2k2)x2+4mkx+2(m2﹣2)=0,

∴x1+x2=﹣

,x1x2=



y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=



由 PA⊥PB,得(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2=0,代入得 4k2+8mkx+3m2=0 ∴m=﹣2k(舍去),m=﹣ k,

∴直线 AB 的方程为 y=k(x﹣ ),所以过定点( ,0).

22.设 A、B 分别为双曲线

的左右顶点,双曲线的实轴长

为 ,焦点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程;

(2)已知直线

与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上

存在点 D,使

,求 t 的值及点 D 的坐标.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程.

【分析】(1)由实轴长可得 a 值,由焦点到渐近线的距离可得 b,c 的方程,再由

a,b,c 间的平方关系即可求得 b;

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,则 x1+x2=tx0, y1+y2=ty0,联立直线方程与双曲线方程消掉 y 得 x 的二次方程,由韦达定理可得

x1+x2,进而求得 y1+y2,从而可得 ,再由点 D 在双曲线上得一方程,联立方程组

即可求得 D 点坐标,从而求得 t 值;

【解答】解:(1)由实轴长为 ,得



渐近线方程为

x,即 bx﹣2 y=0,

∵焦点到渐近线的距离为 ,



,又 c2=b2+a2,∴b2=3,

∴双曲线方程为:



(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 由

∴y1+y2= ∴ ∴



﹣4=12,

,解得 ,t=4.

,∴t=4,

2017 年 2 月 6 日


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