【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第十二章 概 率 第4课


§ 12.4

离散型随机变量及其分布列

1. 离散型随机变量 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称 X 为离散型随机变量. 2. 离散型随机变量的分布列及性质 (1)离散型随机变量的分布列: 若离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x1, x2, ?, xi, ?, xn, X 取每一个值 xi(i=1,2, ?, n)的概率为 p1,p2,?,pn,则表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

称为离散型随机变量 X 的概率分布或称为离散型随机变量 X 的分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质: ①pi≥0_(i=1,2,3,?,n);②p1+p2+?+pn=1; ③P(xi≤x≤xj)=pi+pi+1+?+pj. 3. 常见离散型随机变量的分布列 (1)二点分布: 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 q

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布. (2)超几何分布: 设有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n 件(n≤N),这 n 件
n m Cm MCN-M 中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量, 当 X=m 时的概率为 P(X=m)= n CN


(0≤m≤l,l 为 n 和 M 中较小的一个),称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超 几何分布,也称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.

( √

) ) ) ) )

(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象. ( √

(3)某人射击时命中的概率为 0.5,此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布.( × (4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名, 其中女演员的人数 X 服从超几何分布. ( √ 2. 袋中有 3 个白球,5 个黑球,从中任取两个,可以作为随机变量的是 A.至少取到 1 个白球 C.取到白球的个数 答案 C B.至多取到 1 个白球 D.取到的球的个数 (

解析 选项 A,B 表述的都是随机事件,选项 D 是确定的值 2,并不随机;选项 C 是随 机变量,可能取值为 0,1,2. 3. 随机变量 X 的分布列如下: X P -1 a 0 b 1 c ( )

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)等于 1 A. 6 1 C. 2 答案 D 解析 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 2 又 a+b+c=1,∴b= ,∴P(|X|=1)=a+c= . 3 3 1 B. 3 2 D. 3

4. 设某运动员投篮投中的概率为 0.3,则一次投篮时投中次数 X 的分布列是________. 答案 X P 0 0.7 1 0.3

1 5. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)=________. 2 答案 3 16

1 1 3 解析 P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 3+ 4= . 2 2 16

题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例1 设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为

X P 则 q 等于 A.1 B.1± 2 2 C.1- 2 2

-1 1 2

0 1-2q

1 q2 ( )

D.1+

2 2

思维启迪 利用分布列的两个性质求解. 答案 C 解析 由分布列的性质知 1-2q≥0, ? ?q ≥0, ?1 ? ?2+1-2q+q =1
2 2

∴q=1-

2 . 2

思维升华

(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验,以保证每

个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的取值概率时,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的 取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式. 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 求:(1)2X+1 的分布列; (2)|X-1|的分布列. 解 由分布列的性质知: 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为 X 2X+1 |X-1| 从而由上表得两个分布列为 (1)2X+1 的分布列 2X+1 P (2)|X-1|的分布列为 |X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3

题型二 求离散型随机变量的分布列 例2 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 , ...3 件,否则不进货 ... 将频率视为概率. (1)求当天商店不进货 的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 思维启迪 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各 个值对应的概率,只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题. 解 + 1 (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件)= 20 5 3 = . 20 10

(2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; 20 4 P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商品销售量为 1 9 5 3 3 件)= + + = . 20 20 20 4 所以 X 的分布列为 X P 2 1 4 3 3 4

思维升华 求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤:①理解 X 的意义,写出 X 可能取的 全部值;②求 X 取每个值的概率;③写出 X 的分布列. 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意 应用计数原理、古典概型等知识. 4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元. (1)从中任取一支,求其标价 X 的分布列; (2)从中任取两支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价,求 Y 的分布列. 解 (1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40,且取得任一支的概率相等,故 X 的分布列为 X P 10 1 4 20 1 4 30 1 4 40 1 4

(2)根据题意,Y 的可能取值为 20,30,40,且 P(Y=20)= 2 1 P(Y=30)= 2= , C4 3 3 1 P(Y=40)= 2= . C4 2 ∴Y 的分布列为 Y P 题型三 超几何分布 例3 20 1 6 30 1 3 40 1 2

1 1 = , C2 6 4

一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1

7 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列. 思维启迪 (1)列出符合题意的关于袋中白球个数 x 的方程;

(2)随机变量 X 服从超几何分布. 解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,设袋中白球的个数

C2 7 10-x 为 x,则 P(A)=1- 2 = , C10 9 得到 x=5.故白球有 5 个. (2)X 服从超几何分布,
3 k Ck 5C5 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10


于是可得其分布列为 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

思维升华 对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应用公式给出.超几 何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的 概率实质上是古典概型. 盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规 定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒 内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率;

(3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列. 解 C3 7 7 (1)P=1- 3= . C9 12

(2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为
2 1 C1 C2 5 2C3 2C4 事件 C,则 P(B+C)=P(B)+P(C)= 3 + 3 = . C9 C9 42

(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,ξ 服从超几何分布,
3 k Ck 3C6 P(ξ=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C9


2 C3 5 C1 15 6 3C6 故 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 = ; C9 21 C9 28 1 C2 3 3C6 P(ξ=2)= 3 = , C9 14

C3 1 3 P(ξ=3)= 3= . C9 84 ξ 的分布列为 ξ P 0 5 21 1 15 28 2 3 14 3 1 84

分类讨论思想在概率中的应用

典例:(12 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地 先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列. 思维启迪 (1)根据 x,y 的取值,随机变量 ξ 的最大值为 3,当 ξ=3 时,只能 x=1,y=3 或 x=3,y=1;(2)根据 x,y 的取值,ξ 的所有取值为 0,1,2,3,列举计数计算其相应的概率 值即可. 规范解答 解 (1)∵x,y 可能的取值为 1,2,3,

∴|x-2|≤1,|y-x|≤2, ∴ξ≤3,且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,ξ=3. 因此,随机变量 ξ 的最大值为 3.[3 分] ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9(种), 2 ∴P(ξ=3)= . 9

2 故随机变量 ξ 的最大值为 3,事件“ξ 取得最大值”的概率为 . 9 (2)ξ 的所有取值为 0,1,2,3. ∵ξ=0 时,只有 x=2,y=2 这一种情况,

[6 分]

ξ=1 时,有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种情况, ξ=2 时,有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况, ξ=3 时,有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 两种情况. 1 4 2 ∴P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= , 9 9 9 2 P(ξ=3)= . 9 则随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 9 1 4 9 2 2 9 3 2 9 [12 分] 温馨提醒 (1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率. [10 分] [8 分]

(2)随机变量 ξ 的值是 x,y 的函数,所以要对 x,y 的取值进行分类讨论. (3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.

方法与技巧 1.对于随机变量 X 的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内 的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取 这些值的概率. 2.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定 ξ 的取值情况,然后利用排列、组 合与概率知识求出 ξ 取各个值的概率. 失误与防范 掌握离散型随机变量的分布列,须注意: (1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量 X 所有可能取得的值;第二行是对应于随机 变量 X 的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的 概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求 一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 a 1 5 1. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4), 其中 a 是常数, 则 P( <X< ) 2 2 n?n+1? 的值为 2 A. 3 3 4 5 B. C. D. 4 5 6 ( )

答案 D a 解析 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4 1 5 5 1 5 1 5 ∵P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= × + × = . 2 2 4 2 4 6 6 2. 袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红球放 回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ξ,则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( A.ξ=4 C.ξ=6 答案 C 解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故 ξ=6. 3. 一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒子中任取 3 个球来用,用完后装 回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4)的值为 ( 1 27 A. B. 220 55 答案 C 解析 由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球,
1 C2 27 3C9 故 P(X=4)= 3 = . C12 220

)

B.ξ=5 D.ξ≤5

)

27 21 C. D. 220 55

4. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍, 用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数, 则 P(X =0)等于 1 A.0 B. 2 1 2 C. D. 3 3 ( )

答案 C 解析 设 X 的分布列为 X P 0 p 1 2p

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为 p,则成功率为 2p.由 p 1 +2p=1 得 p= ,故应选 C. 3 5. 在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村
6 C4 7C8 庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是 C15

(

)

A.P(X=2) C.P(X=4) 答案 C

B.P(X≤2) D.P(X≤4)

10 k Ck 7C8 解析 X 服从超几何分布 P(X=k)= 10 ,故 k=4. C15


二、填空题 6. 设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,那么 n=______. 答案 10 1 解析 由于随机变量 X 等可能取 1,2,3,?,n.所以取到每个数的概率均为 . n 3 ∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= =0.3, n ∴n=10. 7. 已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取值范 围是________. 1 1? 答案 ? ?-3,3? 解析 设 ξ 取 x1,x2,x3 时的概率分别为 a-d,a,a+d, 1 则(a-d)+a+(a+d)=1,∴a= , 3

?3-d≥0 由? 1 ?3+d≥0
答案 1 6

1

1 1 得- ≤d≤ . 3 3

8. 抛掷 2 颗骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)=________.

解析 相应的基本事件空间有 36 个基本事件,

其中 X=2 对应(1,1);X=3 对应(1,2),(2,1);X=4 对应(1,3),(2,2),(3,1). 所以 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) = 1 2 3 1 + + = . 36 36 36 6

三、解答题 9. 从一批含有 13 件正品与 2 件次品的产品中,不放回地任取 3 件,求取得次品数的分布列. 解 设随机变量 ξ 表示取出次品的个数,则 ξ 服从超几何分布,它的可能取值为 0,1,2,

其相应的概率为
3 2 C0 C1 2C13 22 2C13 12 P(ξ=0)= 3 = ,P(ξ=1)= 3 = , C15 35 C15 35 1 C2 1 2C13 P(ξ=2)= 3 = . C15 35

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 22 35 1 12 35 2 1 35

10. (2013· 重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定: 在一次摸奖中, 摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意 摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与均值 E(X). 解 设 Ai(i=0,1,2,3)表示摸到 i 个红球,Bj(j=0,1)表示摸到 j 个蓝球,则 Ai 与 Bj 独立.
2 C1 3C4 18 (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)= 3 = . C7 35

(2)X 的所有可能值为 0,10,50,200,且 C3 1 31 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= 3·= , C7 3 105 C3 2 32 P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= 3·= , C7 3 105
1 C2 12 4 3C4 1 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= 3 ·= = , C7 3 105 35

1 2 4 6 P(X=0)=1- - - = . 105 105 35 7

综上可知,获奖金额 X 的分布列为 X P 0 6 7 10 4 35 50 2 105 200 1 105

6 4 2 1 从而有 E(X)=0× +10× +50× +200× =4(元). 7 35 105 105 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为 A.第一次出现的点数 C.两次出现点数之和 答案 C 解析 A、B 中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所反映的结果,都不是本题涉及 B.第二次出现的点数 D.两次出现相同点的种数 ( )

试验的结果.D 中出现相同点数的种数就是 6 种,又不是变量.C 整体反映两次投掷的 结果,可以预见两次出现数字的和是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这十一种结果,但每掷一 次前,无法预见是十一种中的哪一个,故是随机变量,选 C. 2. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人中女生人数不超过 1 人的 概率是________. 答案 4 5

解析 设所选女生人数为 x,则 x 服从超几何分布,其中 N=6,M=2,n=3,则 P(x≤1)=P(x=0)+P(x=1)=
3 2 C0 C1 4 2C4 2C4 3 + 3 = . C6 C6 5

3. 由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其表如下: X P 1 0.20 2 0.10 3 0.x5 4 0.10 5 0.1y 6 0.20

则丢失的两个数据依次为________. 答案 2,5 解析 由于 0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1, 得 0.x5+0.1y=0.40,于是两个数据分别为 2,5. 4. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最 大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都 通过的最大信息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______. 答案 4 5

解析 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)

1 C2 4 2C2 =1- 3 = . C5 5

5. 某电视台的一个智力游戏节目中,有一道将中国四大名著《三国演义》 、 《水浒传》 、 《西 游记》 、 《红楼梦》与它们的作者连线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者 也只能与一本名著连线,每连对一个得 2 分,连错得-1 分,某观众只知道《三国演义》 的作者是罗贯中,其他不知道随意连线,将他的得分记为 ξ: (1)求该观众得分 ξ 为负数的概率; (2)求 ξ 的分布列. 解 (1)当该观众只连对《三国演义》 ,其他全部连错时,得分为负数,此时 ξ=-1,

故得分为负数的概率为 2 1 P(ξ=-1)= 3= . A3 3 (2)ξ 的可能取值为-1,2,8. 3 1 P(ξ=2)= 3= , A3 2 1 1 P(ξ=8)= 3= . A3 6 ξ 的分布列为 ξ P -1 1 3 2 1 2 8 1 6

1 6. 袋中装有黑球和白球共 7 个, 从中任取 2 个球都是白球的概率为 .现有甲、 乙两人从袋中 7 轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取,??,取后不放回,直到两人中有一人 取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用 X 表示取球终止时所 需要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 X 的分布列; (3)求甲取到白球的概率. C2 1 x 解 (1)设袋中白球共有 x 个,根据已知条件 2= , C7 7 即 x2-x-6=0,解得 x=3,或 x=-2(舍去). 即袋中原有白球的个数为 3. (2)X 表示取球终止时所需要的次数,则 X 的取值分别为 1,2,3,4,5.
1 A1 3 A1 2 3 4A3 因此,P(X=1)= 1= ,P(X=2)= 2 = , A7 7 A7 7 1 1 A2 6 A3 3 4A3 4A3 P(X=3)= 3 = ,P(X=4)= 4 = , A7 35 A7 35

1 A4 1 4A3 P(X=5)= 5 = . A7 35

则随机变量 X 的分布列为 X P (3)甲取到白球的概率为 3 6 1 22 P=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)= + + = . 7 35 35 35 1 3 7 2 2 7 3 6 35 4 3 35 5 1 35


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