标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:第一章 1(1).2 第二课时 导数的运算法则_图文

第二课时

导数的运算法则

预习课本 P15~18,思考并完成下列问题
(1)导数的四则运算法则是什么?在使用运算法则时的前提条 件是什么?

(2)复合函数的定义是什么,它的求导法则又是什么?

[新知初探]
1.导数的四则运算法则 (1)条件:f(x),g(x)是可导的.
g′(x) . (2)结论:①[f(x)± g(x)]′= f′(x)±

②[f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) .
f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? (g(x)≠0) 2 ? ? [g?x?] ③? ′=______________________________ . ? g ? x ? ? ?

[点睛]

应用导数公式的注意事项

(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导 数运算. (2)两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为 零)必可导. (3)若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不 可导. (4)对于较复杂的函数式,应先进行适当的化简变形,化为 较简单的函数式后再求导,可简化求导过程.

2.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义:①一般形式是 y=f(g(x)) . ②可分解为 y=f(u) 与 u=g(x) ,其中 u 称为中间变量 . (2)求导法则:复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),
ux′ u=g(x)的导数间的关系为:yx′= y u′· .

[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f′(x)=2x,则 f(x)=x2. (2)函数 f(x)=xex 的导数是 f′(x)=ex(x+1). (3)函数 f(x)=sin(-x)的导数为 f′(x)=cos x. ( × ) ( √ ) ( × )

2.函数 y=sin x· cos x 的导数是 A.y′=cos 2x+sin 2x C.y′=2cos x· sin x B.y′=cos 2x D.y′=cos x· sin x

(

)

答案:B
3.函数y=xcos x-sin x的导数为 .

答案:-xsin x
4.若f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,则a= .

答案:1

利用导数四则运算法则求导

[典例]
2

求下列函数的导数:
3 x

cos x (1)y=x +log3x;(2)y=x · e ;(3)y= x .

[ 解]

(1)y′=(x2+log3x)′=(x2)′+(log3x)′

1 =2x+ . xln 3 (2)y′=(x3· ex)′=(x3)′· ex+x3· (ex)′ =3x2· ex+x3· ex=ex(x3+3x2).
?cos (3)y′=? x ?

?cos x?′· x-cos x· ?x?′ x? ?′= x2 ?

-x· sin x-cos x xsin x+cos x = =- . x2 x2

求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商, 再根据导数的运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、 商的导数, 依次转化为“两 个”函数的积、商的导数计算.

[活学活用] 求下列函数的导数:
x e (1)y=sin x-2x2;(2)y=cos x· ln x;(3)y=sin x. 解:(1)y′=(sin x-2x2)′=(sin x)′-(2x2)′=cos x-4x.

(2)y′=(cos x· ln x)′=(cos x)′· ln x+cos x· (ln x)′ cos x =-sin x· ln x+ x .
? ex ? ?ex?′· sin x-ex· ?sin (3)y′=?sin x?′= sin 2x ? ?

x?′

ex· sin x-ex· cos x ex?sin x-cos x? = = sin2x sin2x

复合函数的导数运算

[典例]

求下列函数的导数:

1 sin(ax+b) (1)y= ; (2) y = e ; 2 1-2x (3)y=sin
2

? π? ?2x+ ?;(4)y=5log2(2x+1). 3? ?

[解] (1)设 y= 则 y′ = ( 1 =- (1-2x2) 2

,u=1-2x2, )′(1-2x2)′= (-4x)=2x(1-2x2) · (-4x) .

(2)设 y=eu,u=sin v,v=ax+b, 则 yx′=yu′· uv′· vx′=eu· cos v· a =acos(ax+b)· esin(ax+b). π (3)设 y=u ,u=sin v,v=2x+3,
2

则 yx′=yu′· uv′· vx′=2u· cos v· 2 =4sin vcos v=2sin
? 2π? 2v=2sin?4x+ 3 ?. ? ?

(4)设 y=5log2u,u=2x+1, 则 y′=5(log2u)′· (2x+1)′ 10 10 =uln 2= . ?2x+1?ln 2

1.求复合函数的导数的步骤

2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数. (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导, 这是求复合函数导数时的易错点.

[活学活用] 求下列函数的导数: (1)y=(3x-2)2; (3)y=e2x
+1;

(2)y=ln(6x+4);

(4)y= 2x-1;

? π? (5)y=sin?3x-4?;(6)y=cos2x. ? ?

解:(1)y′=2(3x-2)· (3x-2)′=18x-12; 1 3 (2)y′= · (6x+4)′= ; 6x+4 3x+2 (3)y′=e2x+1· (2x+1)′=2e2x+1;

1 1 (4)y′= · (2x-1)′= . 2 2x-1 2x-1
? ? π? ? π? π? ?3x- ?′=3cos?3x- ?. (5)y′=cos?3x-4?· 4? 4? ? ?? ?

(6)y′=2cos x· (cos x)′=-2cos x· sin x=-sin 2x.

与切线有关的综合问题

[典例] 为 .

π (1) 函 数 y = 2cos x 在 x = 12 处 的 切 线 斜 率
2

(2)已知函数 f(x)=ax2+ln x 的导数为 f′(x), ①求 f(1)+f′(1). ②若曲线 y=f(x)存在垂直于 y 轴的切线,求实数 a 的取值 范围.

[解析]

(1)由函数 y=2cos2x=1+cos 2x,得 y′=(1+cos

π 2x)′=-2sin 2x,所以函数在 x= 处的切线斜率为 12
? π? -2sin?2×12?=-1. ? ?

答案:-1 (2)解:①由题意,函数的定义域为(0,+∞), 1 由 f(x)=ax +ln x,得 f′(x)=2ax+x,
2

所以 f(1)+f′(1)=3a+1.

②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,故此时切线斜 1 率为0,问题转化为在x∈(0,+∞)内导函数f′(x)=2ax+ x 存在 零点, 1 即f′(x)=0? 2ax+x=0有正实数解, 即2ax2=-1有正实数解,故有a<0,所以实数a的取值范 围是(-∞,0).

关于函数导数的应用及其解决方法 (1)应用:导数应用主要有:求在某点处的切线方程, 已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合 应用. (2)方法:先求出函数的导数,若已知切点则求出切线 斜率、切线方程﹔若切点未知,则先设出切点,用切点表 示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,切点在解决 此类问题时起着至关重要的作用.

[活学活用] 15 若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x 和 y=ax + x-9 都相 4
3 2

切,则 a 的值为 25 A.-1 或- 64 7 25 C.- 或- 4 64 21 B.-1 或 4 7 D.- 或 7 4

(

)

解析: 选A

设过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 相切于点(x0, x3 0),

2 2 3 则切线方程为 y-x3 = 3 x ( x - x ) ,即 y = 3 x x - 2 x 0 0 0 0 0.

3 又点(1,0)在切线上,代入以上方程得 x0=0 或 x0=2. 当 x0=0 时,直线方程为 y=0. 15 25 由 y=0 与 y=ax2+ 4 x-9 相切可得 a=-64. 3 27 27 当 x0=2时,直线方程为 y= 4 x- 4 . 27 27 15 2 由 y= 4 x- 4 与 y=ax + 4 x-9 相切可得 a=-1.

“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(四)”

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