标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:第一章 1.1 1(1).3 导数的几何意义

1.1.3 导数的几何意义

预习课本 P6~8,思考并完成下列问题
(1)导数的几何意义是什么?

(2)导函数的概念是什么?怎样求导函数?

(3)怎么求过一点的曲线的切线方程?

[新知初探]
1.导数的几何意义 (1)切线的概念: 如图, 对于割线 PPn, 当点 Pn 趋近于点 P 时, 割线 PPn 趋近于确定的位置, 这个确定位置的 直线 PT 称为点 P 处的切线.

(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的 f?x0+Δx?-f?x0? li m =f′(x0) Δ x Δx→0 斜率k,即k= ____________________________ . 2.导函数的概念 (1)定义:当x变化时, 为f(x)的导函数(简称导数).

f′(x)

便是x的一个函数,我们称它

f?x+Δx?-f?x? li m Δx Δx→0 (2)记法:f′(x)或y′,即f′(x)=y′=__________________.

[点睛]

曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有

多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定 是曲线的切线.

[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同. (2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公 共点. (3)函数 f(x)=0 没有导函数. ( × ) ( × ) ( × )

2.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( A.不存在 C.与 x 轴垂直 B.与 x 轴平行或重合 D.与 x 轴斜交

)

答案:B
3.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则 f′(1)= A.4 C.-2
答案:D

( B.-4 D.2

)

4.抛物线 y2=x 与 x 轴、y 轴都只有一个公共点,在 x 轴和 y 轴这两条直线中,只有________是它的切线, 而______不是它的切线.

答案:y 轴

x轴

求曲线的切线方程
[典例] 1 4 已知曲线 C:y= x3+ ,求曲线 C 上的横坐标 3 3

为 2 的点处的切线方程.
[解] 将 x=2 代入曲线 C 的方程得 y=4,

∴切点 P(2,4).

1 4 1 4 ?2+Δx?3+ - ×23- 3 3 3 3 Δy y′|x=2= li m = li m Δ x Δx Δx→0 Δ x →0 1 = li m [4+2·Δx+ (Δx)2]=4. 3 Δx→0 ∴k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.

1.过曲线上一点求切线方程的三个步骤

2. 求过曲线 y=f(x)外一点 P(x1, y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0,f(x0)). f?x0+Δx?-f?x0? (2)利用所设切点求斜率 k=f′(x0)=li m . Δ x Δx→0 (3)用(x0,f(x0)),P(x1,y1)表示斜率. (4)根据斜率相等求得 x0,然后求得斜率 k. (5)根据点斜式写出切线方程. (6)将切线方程化为一般式.

[活学活用] 过点(1,-1)且与曲线 y=x3-2x 相切的直线方程为(
A.x-y-2=0 或 5x+4y-1=0 B.x-y-2=0 C.x-y-2=0 或 4x+5y+1=0 D.x-y+2=0 解析:选 A 显然点(1,-1)在曲线 y=x3-2x 上,
f?1+Δx?-f?1? 若切点为(1,-1),则由 f′(1)=li m Δx Δx→0 ?1+Δx?3-2?1+Δx?-?-1? = li m Δx Δx→0 = li m [(Δx)2+3Δx+1]=1,
Δx→0

)

∴切线方程为 y-(-1)=1×(x-1),即 x-y-2=0.

若切点不是(1,-1),设切点为(x0,y0), 3 y0+1 x3 - 2 x + 1 ? x 0 0 0-x0?-?x0-1? 则 k= = = x0-1 x0-1 x0 - 1 =x2 0+x0-1, 又由导数的几何意义知 f?x0+Δx?-f?x0? k=f′(x0)= li m Δx Δx→0 ?x0+Δx?3-2?x0+Δx?-?x3 0-2x0? = li m =3x2 0-2, Δ x Δx→0 2 2 ∴x2 + x - 1 = 3 x - 2 ,∴ 2 x 0 0 0 0-x0-1=0, 1 5 2 ∵x0≠1,∴x0=- .∴k=x0+x0-1=- , 2 4 5 ∴切线方程为 y-(-1)=- (x-1), 4 即 5x+4y-1=0,故选 A.

[典例]

求切点坐标 已知抛物线 y=2x2+1 分别满足下列条件,请求

出切点的坐标. (1)切线的倾斜角为 45°. (2)切线平行于直线 4x-y-2=0. (3)切线垂直于直线 x+8y-3=0.
[解] 设切点坐标为(x0,y0),则
2 Δy=2(x0+Δx)2+1-2x2 - 1 = 4 x ·Δ x + 2(Δ x ) , 0 0

Δy ∴ =4x0+2Δx, Δx Δy 当 Δx→0 时, →4x0,即 f′(x0)=4x0. Δx

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1. 1 即 f′(x0)=4x0=1,得 x0= , 4 ?1 9? ∴切点的坐标为?4,8?. ? ? (2)∵抛物线的切线平行于直线 4x-y-2=0, ∴k=4,即 f′(x0)=4x0=4,得 x0=1, ∴切点坐标为(1,3). (3)∵抛物线的切线与直线 x+8y-3=0 垂直, 则
? 1? ?- ?=-1,即 k· ? 8?

k=8,

故 f′(x0)=4x0=8,得 x0=2,∴切点坐标为(2,9).

求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标; (2)利用导数或斜率公式求出斜率; (3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标; (4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.

[活学活用]
直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切,则 a 的值 为___________,切点坐标为____________.
解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0), ?x+Δx?3-?x+Δx?2+1-?x3-x2+1? 因为y′=li m Δx Δx → 0 =3x2-2x, 1 2 则y′|x=x0=3x0-2x0=1,解得x0=1或x0=- , 3
2 当x0=1时,y0=x3 - x 0 0+1=1,

又(x0,y0)在直线y=x+a上,

将 x0=1,y0=1 代入得 a=0 与已知条件矛盾舍去.
? 1? ? 1? 1 23 3 2 当 x0=- 时,y0=?-3? -?-3? +1= , 3 27 ? ? ? ? ? 1 则切点坐标为?-3, ? ? 1 23? 23? ?, ?- , ?代入直线 y=x+a 中 将 27? 27? ? 3

32 得 a= . 27 32 答案: 27
? 1 ?- , ? 3

23? ? 27?

“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二)” (单击进入电子文档)


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