2-2-1-3 对数与对数运算(第3课时) 换底公式

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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2.2 对数函数

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2.2.1

对数与对数运算(第3课时)

换底公式

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基本初等函数(Ⅰ)

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课 时 学 案

课 时 作 业

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2.1 2.2.1 第3课时

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1.对数的换底公式 logcN logaN= ,其中a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0. logca lgN lga ;用自然对数表示:logaN 用常用对数表示:logaN=_____ lnN lna =_______.
1 ;②logab· 1 ; 推论:①logab· logba=__ logbc· logca=___ n logab ③logambn=______ ______. mlogab;④log1 b=-
a
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2.1 2.2.1 第3课时

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1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵, 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的耗氧量单位数O可以表示为函数O =100· 9v,其中v表示鲑鱼的游速,单位是m/s.当一条鲑鱼的耗氧 量是3 700个单位时,它的游速是多少?

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答:由题意得 3 700=100· 9v,即 9v=37,用科学计算器得 v lg37 =log937= lg9 ≈1.64(m/s). 即当一条鲑鱼的耗氧量是 3 700 个单位时,它的游速是 1.64 m/s.

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课 时 学 案

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题型一

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对数的换底公式

例1

化简下列各式.

(1)3log916+4log1625; (2)[(1-log63)2+log62· log618]· log46.

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解析 (1)3log916+4log1625

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=3log3242+4log4252=3log34+4log45=4+5=9. (2)[(1-log63)2+log62· log618]· log46 log66 =[(log66-log63) +log62(log66+log63)]log 4 6
2

6 1 =[(log62) +log62(1+log62)]· log64
2 2 =[log2 2 + 2log 2 - log 6 6 62]·

1 2log62

1 =2log62· 2log62=1.
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探究 1

利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异

为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系, 对于复杂的真数,可以先化简再计算.

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思考题1 化简下列各式. (1)(log43+log83)· (log32+log92); (2)25log52-16log23; (3)log816+log927+5log
答案 5 (1)4 (2)-77
3 +1
5

.

5 (3)176

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范例 2

32 计算:2log32-log3 +log38-5log53. 9

解析

原式= 2log32 - (log332 - log39) + 3log32 - 3 = 2log32

-5log32+2+3log32-3=-1.

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思考题 2 4

求下列各式的值. 1 1 (2)log 6+log 6. 4 9

(1)log81 3;

1 答案 (1)16

(2)2

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例3 计算: 1 1 1 (1)log225· log38· log59; (2)设lg2=a,lg3=b,求log5 12.

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1 1 1 解析 (1)log2 · log3 · log5 25 8 9 =log25-2log32-3log53-2 =-12log25log32log53=-12.

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(2)log512=log5(3×4)=log53+2log52 lg3 lg2 lg3 lg2 =lg5+2lg5= 10+2 10 lg 2 lg 2 lg3 lg2 = +2 . lg10-lg2 lg10-lg2 因为 lg2=a,lg3=b, 2a+b b a 所以 log512= +2 = . 1-a 1-a 1-a

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探究 2

将 log512 转化为用 lg2,lg3 来表示,是解此类问题

的共同思路,其中真数的变形和准确应用对数运算性质是解好本 题的关键.

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思考题 3 (1)计算 log225· log34· log59; (2)已知 log189=a,18b=5. 试求 log3645 的值(用含 a,b 的式子表示).

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2.1 2.2.1 第3课时

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解析

(1)原式=log252· log322· log532

=8log25· log32· log53=8. (2)b=log185,a=log189, a+b a+b log1845 log3645=log 36= = . 18 2 - a 18 log18?18× 9 ?

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课 后 巩 固

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log49 1. 的值为( log43 1 A.2 3 C.2

) B.2 9 D.2

答案 B

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2.log56· log67· log78· log89· log910 的值为( A.1 1 C. lg5 B.lg5 D.1+lg2

)

答案

C

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1 1 3.已知 3 =5 =M,且 + =2,则 M 的值为( a b
a b

)

A.15 C.3

B. 15 D.5

答案 B

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2.1 2.2.1 第3课时

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4.已知 log23=a,log37=b,则 log27=________.(用 a,b 表示)
答案 ab

lg3 lg7 lg3 lg7 解析 由 log23= =a,log37= =b,得 log27= · = lg2 lg3 lg2 lg3 ab.

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2.1 2.2.1 第3课时

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1 1 5. log28- log39+log2325=________. 3 4
答案 13 6

1 5 13 解析 原式=1-2+3= 6 .

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2.1 2.2.1 第3课时

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6.计算. (1)log7 343 3 49 +log2128;

1 1 (2)log 39+log927+(4)log416 .

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2.1 2.2.1 第3课时

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343

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解析 28 7= . 3

(1)log7

+log2128=log7(7 ×7 3 49

3



2 3

2 )+log22 =3- + 3
7

(2)原式=log3 32 +log3233 +(4 )log4 3 1 =4+ +16=21 . 2 2

1 2

-1

1 16

1 2 3 - =1 +2+4log4(16 ) 1 2

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2.1 2.2.1 第3课时

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课时作业(二十六)

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第二章

2.1 2.2.1 第3课时


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