2016年高一升高二暑假专题二——新课预读系列


暑假衔接班教材 人教 A 版

年级: 姓名: 校区:

高一升高二

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

第六部分

新课预读系列

空间几何体
一、基本概念 1、棱柱 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互 相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形 2、棱锥 棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的 几何体叫做棱锥 棱锥的性质: (1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形 (2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱 锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质: (1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高 相等,它叫做正棱锥的斜高。 (3) 多个特殊的直角三角形 esp: a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形 的垂心。 b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在 底面的射影为底面三角形的垂心。
3、棱台 棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分形成的多面体为棱台。 4、圆柱 圆柱的定义:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 5、圆锥 圆锥的定义: 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为 圆锥。 6、圆台 圆台的定义:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间形成的部分为圆台。 7、球 球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体为球体,简称球。 二、表面积、体积公式
用优质的教育 开启成功的人生

2

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 1、柱体、锥体、台体的表面积 2、柱体、锥体、台体的体积

十一大校区总电话:88369993

第十二讲
学习过程

空间几何体的结构

知识点 1:空间几何体的结构类型 空间几何体分为多面体和旋转体 知识点 2、柱锥台球的结构特征 2、棱柱:一般地,有两个面相互平行,其它各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面组成的多面体。棱柱包括:斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、直平行六面体、斜 平行六面体、长方体、正方体。 3、 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体,而此类旋转体 我们称它为圆柱。

(3)棱锥:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的 多面体。棱锥的本质特征:一、有一个面是多边形。二、其余各面是有一个公共顶点的三角形,二者缺 一不可。 (4)圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成旋转体; (5)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台 圆台:与棱台类似,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台。

(6)棱、锥、台的关系 上底变小 柱 体 上底面扩大到与 下底面相等
用优质的教育 开启成功的人生

上底缩小到一个点 台 体 上底面扩大 3

锥 体

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 知识点 3:简单组合体的结构特征 (1) 多面体与多面体组合

十一大校区总电话:88369993

(2) 多面体与旋转体组合

(3) 旋转体与旋转体组合

学习结论
1、 空间几何体的分类。 2、 柱锥台球的概念、性质及画法 3、 简单组合体的几种组合方法

【精典范例 1】
例 1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥; 丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。 以上各命题中,真命题的个数是 ( A ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 例 2:画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法: ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形; ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段; ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 ⑷画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将 多余的线段檫去.
用优质的教育 开启成功的人生

4

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 点评:(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得

十一大校区总电话:88369993

思维点拔:
解柱、锥、台概念性问题和画图需要: (1).准确地理解柱、锥、台的定义 (2).灵活理解柱、锥、台的特点: 例如:棱锥的特点是:⑴两个底面是全等的多边形;⑵多边形的对应边互相平行;⑶棱柱的侧面都是平 行四边形。反过来,若一个几何体,具有上面三条,能构成棱柱吗?或者说,上面三条能作为棱柱的定 义吗? 答:不能. 点评:就棱柱来验证这三条性质,无一例外,能不能找到反例,是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

自主训练一
1. 如图, 四棱柱的六个面都是平行四边形。 这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? D1 A1 D A B1 C C1

B 答:由四边形 ABCD 沿 AA1 方向平移得到. 2.下图中的几何体是不是棱台?为什么?

答:不是,因为四条侧棱延长不交于一点. 3.多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体。 答:4个面,四面体.

【精典范例 2】
例 1:给出下列命题: 甲:圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线 乙:圆台的任意两条母线必相交 丙:球面作为旋转面,只有一条旋转轴,没有母线。 其中正确的命题的有 ( A ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 例 2:如图,将直角梯形 ABCD 绕 AB 边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构 成的?。 D C

A
用优质的教育 开启成功的人生

B
保驾护航 祝你成功

5

步步升教育焦点专题 例 3:指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的?。

十一大校区总电话:88369993

甲 自主训练



1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成?

2. 如图,将平行四边形 ABCD 绕 AB 边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构 成的? D C A B

答:圆锥和圆柱 3.充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成? 答:圆

【精典范例 3】
例题 1、下列三个命题中正确的有( ) (1) 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台。 (2) 两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台。 (3) 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 例题 2、如图所示,圆台的上、下底面半径分别为 5cm、10cm,母线长 AB=20cm,从圆台母线 AB 的中 点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点 A. 求: (1)绳子的最短长度; (2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离. 说明: 圆锥、 圆台侧面展开图首先要求出圆心角, “还台为锥”是解决台体问题的常用方法, “以曲化直” 是求表面上两点最短距离的主要方法。

用优质的教育

开启成功的人生

6

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

第十三讲 空间几何体的三视图和直观图
一. 基础知识展现
1. 光有一点向外散射形成的投影叫做_________ 2. 一束平行光线照射下形成的投影叫做__________ 3. 光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图,这种投影图叫几何体的 _______;光线从几何 体的左面向右面正投影得到投影图,这种投影图叫几何体的_______;光线从几何体的上面向 下面正投影得到投影图,这种投影图叫几何体的 _______ ;几何体的________、 _________、 _________统称为几何体的三视图。

二.对概念的分析与理解
1.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有下述性质: (1) 直线或线段的平行投影仍是直线或线段。 (2) 平行直线的平行投影是平行或重合的直线。 (3) 平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长。 (4) 与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等。 2.三视图的排列规则是:先画正视图,俯视图安排在正视图的正下方,长度与正视图一样;侧视图安排 在正视图的正右方,高度与正视图一样。正视图反映物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图; 俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等。 3.辨析平行投影和中心投影 剖析:平行投影和中心投影都是投影,但二者又有区别: (1) 中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行。
用优质的教育 开启成功的人生

7

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

(2) 平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相 同;而中心投影则不同。 (3) 画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法 4.旋转体的三视图 当旋转体的底面水平放置时,它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为: (1) 圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆。 (2) 圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心 (3) 圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆。 (4) 球的正视图、侧视图和俯视图都是圆。 显然,它们有共同的特征:①俯视图肯定存在一个圆,还可能存在另外的圆或者点,但是不会出现 其他的图形,因为它们是绕着轴旋转形成的。②它们的正视图和侧视图都是相同的,都是这个结合 体的轴截面。对于球比较特殊,它的轴截面也是圆,所以使得它的三个视图是完全相同的。

典型例题
C1 D1 的中点, 例 1: 如图所示, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, G 是正方形 BCC1B1 E, F 分别是 AA1 ,
的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图中的_________

小结:画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点等,画出这些关键 点的投影,再依次连接这些点即可得此图形在该平面上的投影。 例 2: 某几何体的三视图如图所示,试分析该几何体的结构特征。

用优质的教育

开启成功的人生

8

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 5.用斜二测画法画直观图

十一大校区总电话:88369993

“平行于 x 轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半” 。 关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法, 而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的 顶点。应为多边形顶点的位置一旦确定,依次连接这些顶点就可画出多边形。

自主训练
画水平放置的正五边形的直观图。

例 3:如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°、腰和上底长均为 1 的等腰梯 形,则这个平面图形的面积是( )
B' A' D' C'

2 1 2. + 2 2

2 B .1+ 2

C. 1 ? 2

D. 2 ? 2
' ' '

小结:有直观图还原为原图是画直观图的逆过程,有两个量发生了变化,一是 ?x O y 由 45°恢复为

?xOy ? 90? ,二是与 O' y ' 平行的线段,在平面 xOy 中的长度是直观图中的二倍。
四、课堂练习巩固与提高 1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个 几何体是( A.棱锥 ) B 棱柱 C 圆锥 D 圆柱 )

2.下列几何体各自的三视图中有且仅有两个视图相同的是(

(1)正方体

(2)圆锥

(3)三棱台

(4)正四棱锥

A(1) (2)
用优质的教育

B(1) (3)

C(1) (4) 9

D(2) (4)
保驾护航 祝你成功

开启成功的人生

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

3.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BB1,BC 的中点,则阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影为(
B1 C1 M N C B D D1


D1
A1

A 1 D1

A 1 D1

A 1 D1

A1

D
A

A A

D B

A

D C

A

D D

A

4. 如图,三角形 ?A B C 是 ?ABC 得直观图其中 A B ? A C ,那么 ?ABC 是(
' ' ' ' ' ' '



y' C'

A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 钝角三角形 5. 已知 ?ABC 的直观图如图所示,则 ?ABC 的面积为_________ 6.下列说法正确的是( )
A' O'

B' x'

第 4 题图 A 平行投影的投影线相交于一点,中心投影的投影线相交于一点
3 y' C' B' 2 3 x'

B 平行投影的投影线相交于一点,中心投影的投影线互相平行 C 平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线互相平行 D 平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点 7.如图所示,几何体的正视图和侧视图都正确的是( )

2 1 O' (A') 1

(第 5 题)

(第 7 题) 8.如图所示,多面体 ABC ? A B C 的正视图是(
' ' '



(第 8 题)
用优质的教育 开启成功的人生

10

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

9.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的图像可能 是 ( )

(第 9 题)

10.如图所示, ?A' B ' C ' 是水平放置的 ?ABC 的直观图,则在 ?ABC 的三边及中线 AD 中,最长的线段 是( ) B AD C BC D AC

A AB

11. AB ? 2CD, AB ∥ x 轴, CD ∥ y 轴,已知在直观图中, AB 的直观图是 A' B' , CD 的直观图是

C ' D ' ,则(
A A' B ' ? 2C ' D '

) B A' B' ? C ' D' C A' B ' ? 4C ' D ' D A' B ' ?

1 C ' D' 2


12.如图, 矩形 O' A' B' C ' 是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中 O' A' ? 6, O' C ' ? 2 , 则原图是 ( A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 梯形

13.如图,水平放置的 ?ABC 的斜二测直观图是图中的 ?A' B ' C ' ,已知 A' C ' ? 6, B' C ' ? 4 ,则 AB 边的 实际长度是_______。
y' B'

A'

y'

y' C' O' B' A' x'
(C') O'

(O')
A' x'

B'

D'

C'

x'

(第 12 题)

(第 13 题)

(第 10 题)

14.下列图形: (1) 线段; (2) 直线; (3) 圆; (4) 梯形; (5) 长方体。 其中投影不可能是直线的是_ ________。
用优质的教育 开启成功的人生

11

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

15.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,则 用_______个这样的几何体可以拼成一个棱长为 4 的正方体。

y' 4 2 B' O' 2 4 x' A'

(第 15 题)

(第 16 题)

16.如图,是 ?AOB 用斜二测画法画出的直观图,则 ?AOB 的面积是________。 17.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C ? ABD 的正视图与侧视图如图所示, 求 侧视图的面积。

(第 17 题)

用优质的教育

开启成功的人生

12

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

第十四讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l

空间几何体表面积和体积

全面积(S 全)

体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底 S 侧+S 上底+S 下底
1 S 底·h 3 1 h(S 上底+S 下底+ S下底 ? S下底 ) 3

ch 各侧面积之和

棱 锥 棱 台

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+ 2 2 (r 1+r 2) π



S侧 S全
V

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径, R 表示半径 初试身手 1.已知棱台的体积是 76cm3,高是 6cm,一个底面面积是 18cm2,则这个棱台的另一个底面面积为( ) (A)8cm2 (B)6cm2 (C)7cm2 (D)5cm2 2.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后剩下 的几何体的体积是( ) (A)

6 7

(B)

5 6

(C)

4 5

(D)

2 3

3.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的 2 倍,圆锥的高与底面半径之比为( ) (A)4:3 (B)1:1 (C)2:1 (D)1:2 4.圆柱的侧面展开图是矩形 ABCD,母线为 AD,对角线 AC=8cm,AB 与 AC 成角为 30 ,则圆柱的表面 积为( ) (A) 16 3cm
用优质的教育
2
?

(B) (32 3 ?

12

?

)cm 2 (C) (16 3 ?
13

24

?

)cm 2

(D) (16 3 ?
保驾护航

12

?

)cm 2

开启成功的人生

祝你成功

步步升教育焦点专题
3

十一大校区总电话:88369993
3

5.一圆球形气球,体积是 a ,再打入一些空气后,气球仍然保持为球形,体积是 b 。则气球半径增加 的百分率为( ) (A)

b3 ? a 3 ?100 0 0 a3

(B)

a ?b b ?a ? 100 o ?100 o (C) o o a b
?

(D)

b?a ? 100 o o a

6.在 ? ABC 中, AB ? 2 , BC=1.5 , ?ABC ? 120 ,如图所示。若将 ? ABC 绕 BC 旋转一周,则所形 成的旋转体的体积是( ) (A)

9 ? 2

(B)

7 ? 2

(C)

5 ? 2

(D)

3 ? 2

6、圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是 16 2? ,则圆锥的体积是 A

64? 3
4

B

128? 3
2 2

C

64?

D

128 2?

7、 若一棱锥的底面积是 8, 则这个棱锥的中截面 (过棱锥高的中点且平行于底面的截面) 的面积是 ( ) A B C 2 D

2

8、若一圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积和侧面积之比是( ) A

1 ? 2? 2?

B

1 ? 4? 4?

C

1 ? 2?

?

D

1 ? 4? 2?

[基础训练 A 组] 一、选择题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 )

主视图

左视图 ) D. 4 3

俯视图

2.棱长都是 1的三棱锥的表面积为( A.

3

B. 2 3

C. 3 3

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4,5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积 是( ) A. 25?
开启成功的人生

B. 50?

C. 125?

D.都不对 14
保驾护航 祝你成功

用优质的教育

步步升教育焦点专题 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A. 3 :1 B. 3 : 2 )

十一大校区总电话:88369993

C. 2 : 3 D. 3 : 3

5.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体 积是( )A.

9 ? 2
) B. 140

B.

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2

6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长分别是 9 和 15 ,则这个棱柱 的侧面积是( A. 130 二、填空题 1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________条侧棱。 2.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 3. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 中心, 若正方体的棱长为 a , 则三棱锥 O ? AB1D1 的体积为_____________。 4.如图, E , F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、面 BCC1 B1 的中心,则四边形 BFD1 E 在该正方体的面上 的射影可能是____________。 5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 , 这个长方体的对角线长是__________;若长方体的共顶点的三个侧面 面积分别为 3,5,15 ,则它的体积为___________. 三、解答题 1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的底面直径为 ________个顶点,顶点最少的一个棱台有

C. 150

D. 160

12M ,高 4M ,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓
库的底面直径比原来大 4M (高不变) ;二是高度增加 4M (底面直径不变)。 (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;

用优质的教育

开启成功的人生

15

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题
0

十一大校区总电话:88369993

2.将圆心角为 120 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积

[综合训练 B 组] 一、选择题 1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 ,腰和上底均为1 的等腰梯形,那么原平 面图形的面积是( A. 2 ? ) B.
0

2

1? 2 2

C.

2? 2 2


D. 1 ? 2

2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8


3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是( A. 8? cm
2

B. 12? cm

2

C. 16? cm

2

D. 20? cm

2

4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 ,圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底 面的半径为( A. 7 ) B. 6 C. 5 D. 3 )

5.棱台上、下底面面积之比为 1 : 9 ,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( A. 1 : 7 B. 2 : 7 C. 7 :19 D. 5 :16

E D A

F C B

6.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正 方形, EF // AB , EF ? 多面体的体积为( A.

3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 ,则该 2


9 2

B. 5

C. 6

D.

15 2
16
保驾护航 祝你成功

用优质的教育

开启成功的人生

步步升教育焦点专题 二、填空题

十一大校区总电话:88369993

1.圆台的较小底面半径为 1,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 , 则圆台的侧面积为____________。 2. Rt ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为 _____。 3.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体 4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4,5 ,从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________。

0

图(1)

图(2)

6.若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为___。 [提高训练 C 组] 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A

B

C

D )

2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为( A. 1: 2 : 3 B. 1: 3 : 5 C. 1: 2 : 4 D. 1: 3 : 9

3.在棱长为 1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去 8 个三棱锥后 , 剩下的几何体的体积是( A. ) C.

2 3

B.

7 6

4 5

D.

5 6
17
保驾护航 祝你成功

用优质的教育

开启成功的人生

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993 )

4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 ? ( A. 1 : 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 )

5.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( A. 8 : 27 B. 2 : 3 C. 4 : 9 D. 2 : 9

6 . 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 及 其 尺 寸 如 下 ( 单 位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为:

5

6

A. 24? cm , 12? cm
2

2

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm
2
0

2

D. 以上都不正确

7. 若圆锥的表面积是 15? ,侧面展开图的圆心角是 60 ,则圆锥的体积是_______。 8.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 9.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 10.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米则此球的 半径为_________厘米. 11.已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为___________。 12. (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱,求圆柱的表面积 .

0 0 13.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 ,

求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

用优质的教育

开启成功的人生

18

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

第二章 点、平面、直线之间的位置关系
【知识点梳理】
1、公理及推论 公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内. 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? . 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. 公理 2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号:平面 α 和 β 相交,交线是 a,记作 α ∩β =a. 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l . 公理 2 作用:①它是判定两个平面相交的方法. ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点. ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据. 公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一面. 公理 3 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据;②它是证明平面重合的依据. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2、空间直线与直线之间的位置关系 (1) 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2) 异面直线性质:既不平行,又不相交. (3) 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线. (4) 异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成 角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直. (5)求异面直线所成角步骤:A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移 到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角.C、利用三角形来求角. (6)异面直线的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度, 叫做两条异面直线间的距离. (7)两条异面直线的公垂线有且只有一条. (8)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补. 3、空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α ;a∩α =A;a∥α . 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外. 4、平面与平面之间的位置关系: 平行—没有公共点:α ∥β ;相交—有一条公共直线:α ∩β =l.

用优质的教育

开启成功的人生

19

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

第十五讲
【自学检测】

第一节 点、线、面位置关系

1.平面概述 (1)平面的两个特征:①无限延展 ②没有厚度 (2)平面的画法: (3)平面的表示: 平面可以看成点的集合,点 A 在平面 ? 内,记作 ,点 B 不在平面 ? 内,记作 2.三个公理 公理 1: 用数学符号表示为: 公理 2: 公理 3: 用数学符号表示为: 3.空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线: (2)空间两条直线的位置关系: 相交直线——在同一平面内, ; 平行直线——在同一平面内, ; 异面直线—— ,没有公共点. 相交直线和平行直线也称为共面直线. 异面直线的画法 (3)在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的. 公理 4: (平行线的传递性) (4)等角定理: (5)异面直线 a ,b 所成的角(异面直线 a ,b 的夹角) (6)如果两条异面直线 a ,b ,那么我们就说异面直线 a ,b 互相垂直,记作 所以,在空间里说两条直线互相垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况. 4.空间中直线与平面的位置关系 (1) (无数个公共点) ; (2) (有且只有一个公共点) ; (3) (没有公共点) 直线和平面相交或平行统称 用图形分别可表示为 用符号分别可表示为 5.两个平面的位置关系 (1) (没有公共点) (2) (有一条公共直线) 平面 ? 与平面 ? 平行,记作

用优质的教育

开启成功的人生

20

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

【典型例题】
题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题 例题 1: 已知 ?ABC 在平面 ? 外,它的三边所在的直线分别交面 ? 于 P, Q, R ,求证: P, Q, R 在同一 条直线上.
A

C

B R P Q ?

变式 1:已知 E、F、G、H 分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD 各边 AB、AD、BC、CD 上的 点, 且直线 EF 和 GH 交于点 P, 求证: B、D、P 在同一条直线上. A E B G D H C F P

思维点拔:
证明多点共线,通常利用公里 2,即两相交平面交线的唯一性;证明点在相交平面的交线上,必须证明 这些点分别在两个平面内。

自主训练
1、如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB,AA1 中点,求证 CE,D1F,DA 三条直线交于一点。 D1 A1 F A D E B B1 C C1

用优质的教育

开启成功的人生

21

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993 个.1或4

2、在空间中有四点,若其中任意三点都不共线,则经过其中三个点的平面有 3、已知四条不相同的直线, 过其中每两条作平面, 至多可确定_______个平面.6 题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角 异面直线的判定方法:(1)定义法(2)判定定理(3)反证法 D1 例 1:已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体. (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线 BC1 是异面直线; A1 (2)求异面直线 AA1 与 BC 所成的角; (3)求异面直线 BC1 和 AC 所成的角. D A

C1 B1 C B

思维点拔:
(1) 证两直线异面的方法①定义法②反证法③判定定理 (2) 求两条异面直线所成的角的方法:①作②证③求 自主训练 1.指出下列命题是否正确,并说明理由: (1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线; (2) 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,那些棱所在直线与直线 AA1 是异面直线且互相垂直. C1 D1 A1

D

B1 C B

A

3.在空间四边形 ABCD 中, E、F 分别是 AB、CD 中点, 且 EF=5 , 又 AD=6, BC=8. 求 AD 与 BC 所成角的 大小. A

E

D H

F C

B

用优质的教育

开启成功的人生

22

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

4、已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M、N 分别是 BB1 和 BC 的中点,AB=4,AD=2, BB1 ? 2 15 ,求 异面直线 B1 D 与 MN 所成角的余弦值。

5、给出下列关于互不相同的直线 l , m, n 和平面 ? , ? , ? 的三个命题: ①若 l , m 为异面直线, l ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? ; ②若 ? / / ? , l ? ? , m ? ? ,则 l / / m ; ③若 ? ? ? ? l ,

? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l / /? ,则 m / / n ,

其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 6. 设 AA1是正方体的一条棱,这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 7、若 OA//O1A1 , OB//O1B1 , 则∠AOB 与∠A1O1B1 关系 ( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.以上答案都不对 8、如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 E、F 分别是 AB、BC 的中点, 求证: EF//A1C1

D1

C1

A1 D

B1

C F E B

A

用优质的教育

开启成功的人生

23

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

第十六讲
【知识点梳理】

直线、平面平行的判定及其性质

1、直线和平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. (记忆口诀:线线平行 线面平行) 符号表示为: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .图形如右图所示.

2、面面平行判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. a ? ? , b ? ? , a ? b ? P? 用符号表示为: b ? ? ? // ? . a a // ? , b // ? ? P 图形如右图所示.

?

?
3、直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过该直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行. a β (记忆口诀:线面平行 线线平行) a // ? ? b ? 用符号表示为: a ? ? ? ? a // b . ? ? ? ? ? b? ? 图形如右图所示. 4、面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用符号语言表示为: ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b . 其它性质:① ? // ? , l ? ? ? l // ? ; ② ? // ? , l ? ? ? l ? ? ; ③夹在平行平面间的平行线段相等. 图形如右图所示.

【典型例题】
题型一、线面平行的判定定理 例 1:已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .

P

M B

A
C

D
用优质的教育 开启成功的人生

24

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

变式 1:如图, 已知 E、F 分别是三棱锥 A-BCD 的侧棱 AB、AD 中点, 求证: EF//平面 BCD. A E B C F D

题型二、面面平行的判定定理 例 2:如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱, A1 D1 , C1 B1 , C1 D1 的中点,求证:平面 AMN//平面 EFDB.

变式 2:如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求证: 平面 C1DB//平面 AB1D1. D1
1

C1
1

A1 1 D

B1 C

A

B

用优质的教育

开启成功的人生

25

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

题型三、线面平行的性质定理 例 3:如图,□EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上,求证:BD∥面 EFGH, AC∥面 EFGH.

题型四、面面平行的性质定理 例 4:如图,直线 AC,DF 被三个平行平面α 、β 、γ 所截.求证: .

A α B β γ C

D

E

F

【方法与技巧总结】
1.位置关系: (1)两条异面直线相互垂直证明方法:①证明两条异面直线所成角为 90? ;②证明线面垂直,得到线 线垂直; (2)直线和平面相互平行证明方法:①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;②利用平行四边 形.③利用三角形中位线. (3)面与面平行证明方法:主要证明线线平行即可. (4)掌握线性平行,线面平行,面面平行三者之间的相互转化. 2.求角: (1)两条异面直线所成的角求法:①先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线 所成的角,然后通过解三角形去求得;②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面 直线所成角得范围是 (0,

?
2

];

(2)直线和平面所成的角:先找射影,构造成直角三角形.
用优质的教育 开启成功的人生

26

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

【巩固练习】 1. A 、 B 、 C 表示不同的点, a 、 l 表示不同的直线, ? 、 ? 表示不同的平面,下列推理不正确的是 ( ) A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB 直线 C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A, B, C ? ? , A, B, C ? ? 且 A, B, C 不共线 ? ? 与 ? 重合 2.对于直线 m、n 和平面 ? ,下面命题中的真命题是( ) A.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n // ? B.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n与? 相交 C.如果 m ? ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n D.如果 m // ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n 3.有以下命题,正确命题的序号是 . ①直线与平面没有公共点,则直线与平面平行; ②直线与平面内的任何一条直线都不相交,则直线与平面平行; ③直线上有两点,它们到平面的距离相等,则直线与平面平行; ④直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行. 4.在三棱锥 P ? ABC 中, O, D 分别是 AB, PB 的中点.求证: OD / / 平面 PAC .

5.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, E , F 分别是 PB, PC 的中点,证明: EF / / 平 面 PAD .

6.如图所示,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, D 点为棱 AB 的中点, 求证: AC1 / / 平面 CDB1 .

用优质的教育

开启成功的人生

27

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 中点, M 为 PD 中点.证明: P PB / / 平面 ACM .

M

D O A

C

B

8.如图,已知 DE ∥ AB ,2AB=DE,且 F 是 CD 的中点,求证: AF ∥平面 BCE .

9.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是线段 AC 1 1 的中点,底面 ABCD 的中心是 F ,求证:

CE ∥平面 A1 BD .

10. 如图,在四棱锥 P – ABCD 中,M,N 分别是侧棱 PA 和底面 BC 边的中点,O 是底面平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点.求证:过 O、M、N 三点的平面与侧面 PCD 平行.

用优质的教育

开启成功的人生

28

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 巩固练习答案 1. 【答案】C 2. 【答案】C 3. 【答案】①② 4. 【答案】 因为, O, D 分别为 AB, PB 的中点 所以, OD / / PA 又因为, PA ? 平面 PAC , OD ? 平面 PAC 所以, OD / / 平面 PAC 5. 【答案】 因为, E , F 分别是 PB, PC 的中点 所有, EF / / BC 由题可得, AD / / BC ,即 AD / / EF 又因为, AD ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD 所以, EF / / 平面 PAD 6. 【答案】 连接 C1 B 交 CB1 于点 E ,连接 ED 在平行四边形 BB1CC1 中, E 为 C1 B 中点 又因为 D 为 AB 中点 所以, ED / /C1 A 又因为, ED ? 平面 CDB1 , C1 A ? 平面 CDB1 所以, C1 A / / 平面 CDB1 7. 【答案】 证明:连接 BD, MO

十一大校区总电话:88369993

在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点, 又 M 为 PD 的中点,所以 PB / / MO 因为 PB ? 平面 ACM , MO ? 平面 ACM 所以 PB / / 平面 ACM . 8. 【答案】 取 CE 中点 P ,连结 FP, BP , ∵ F 为 CD 的中点,∴ PF / / ED, PF ? 又 AB / / ED, AB ?

1 ED 2

1 DE 2

∴ AB / / PF , AB ? PF

∴ ABFP 为平行四边形,∴ AF / / BP . 又∵ AF ? 平面 BCE , BP ? 平面 BCE ∴ AF / / 平面 BCE 9. 【答案】 连接 A 1F 因为 AA AA1 ? BB1 ? CC1 , 1 // BB 1 // CC1 , 所以 ACC1 A 1 为平行四边形,因此 AC / / AC 1 1 , AC ? AC 1 1 在正方形 ABCD 中, F 为中心,即 F 为 AC 中点 由于 E 是线段 AC 1 1 的中点,所以 FC / / A 1E, FC ? A 1E , 所以 A1 EFC 为平行四边形,即 FA 1 / /CE 因为 FA1 ? 面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , 所以 CE ∥平面 A1 BD 10. 【答案】证明:∵O、M 分别是 AC、PA 的中点,连接 OM,则 OM//PC. ∵OM ? 平面 PCD,PC ? 平面 PCD,∴OM//平面 PCB. 连结 ON,则 ON//AB,由 AB//CD,知 ON//CD. ∵ON ? 平面 PCD,CD ? 平面 PCD,∴ON//平面 PCD. 又∵OM∩ON=O,∴OM、ON 确定一个平面 OMN. 由两个平面平行的判定定理,知平面 OMN 与平面 PCD 平行, 即过 D、M、N 三点的平面与侧面 PCD 平行.
用优质的教育 开启成功的人生

29

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

第十七讲
【知识点梳理】

直线、平面垂直的判定及其性质

1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理 (1)判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 若 a ? m , a ? n , m ? ? , n ? ? , m ? n ? A ,则 a ? ? . a

m A α n (2)性质定理 垂直于同一个平面的两直线平行.若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b . 2、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 (1)判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 若 a ? ? , a ? ? ,则 ? ? ? .

(2)性质定理 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 若 ? ? ? , ? ? ? ? b , a ? b , a ? ? ,则 a ? ? .

3、直线和平面所成角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角. 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0 角. 斜线与平面所成角(0,

? ? ) ;直线和平面所成角范围:?0, ? 2 2

4、垂线、斜线与射影 (1)垂线:自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做 A 这点到这个平面的垂线段. (2)斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线 叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜足;斜线上一点与斜足间的线段 O ? B 叫这点到这个平面的斜线段. (3)射影:过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的 射影.垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影. 直线与平面平行,直线在平面内的射影是一条直线.直线与平面垂直射影是点.斜线任一点在平面 内的射影一定在斜线的射影上.
用优质的教育 开启成功的人生

30

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

【典型例题】
题型一、线面垂直的判定与性质 例题 1:如图,直角 △ ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中点. (1)求证: SD ? 平面 ABC ; (2)若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

S

A

D

C

B
变式 1、如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。求 证:CE⊥平面 PAD;

题型二、平面与平面垂直 例题 2: 设 m、 n 是两条不同的直线,? 、? 是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 ①m⊥ ? ,n ? ? ,m⊥n ? (填序号) .

? ⊥?

② ? ∥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ? ? m⊥n ④ ? ⊥ ? , ? ∩ ? =m,n⊥m ? n⊥ ?

③ ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ? ? m⊥n

例题 3:如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB ⊥平面 ABCD.

用优质的教育

开启成功的人生

31

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

例题 4:如图,△ABC 为正三角形,CE⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE=AC=2BD,M 是 AE 的中点, 求证:①平面 BDM⊥平面 ECA;②平面 DEA⊥平面 ECA.

题型三、直线与平面所成角 例题 5:如图,在正方体 AC1 中,求面对角线 A1 B 与对角面 BB1D1D 所成的角.
D1
O

C1 B1

A1

D

C

A

B

【方法与技巧总结】 1、三垂线定理:在平面内一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的 射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 如图: PA, PO 分别是平面 ? 的垂线和斜线, AO 是 PO 在平面

P

? 的射影, a ? ? , a ? AO .则 a ? PO ;
2、三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个 平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 如图: PA, PO 分别是平面 ? 的垂线和斜线, AO 是 PO 在平面 ? 的射影, a ? ? , a ? PO .则: a ? AO ;
用优质的教育 开启成功的人生

a A α O

32

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题

十一大校区总电话:88369993

【巩固练习】
1.给出下列四个命题: ①若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直; ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线与平面垂直; ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线; ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个. 2.已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列正确命题的序号是 ①若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n ③若 m∥ ? ,m∥ ? ,则 ? ∥ ? ②若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 m⊥ ? ,n⊥ ? ,则 m∥n .

3.如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧棱 PA=a,PB=PD= 2a ,则它的 5 个面中,互相垂直的面有 4.a、b 表示直线, ? , ? , ? 表示平面. ①若 ? ∩ ? =a,b ? ? ,a⊥b,则 ? ⊥ ? ; ②若 a ? ? ,a 垂直于 ? 内任意一条直线,则 ? ⊥ ? ; ③若 ? ⊥ ? , ? ∩ ? =a, ? ∩ ? =b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 ? ,则 a 不可能垂直于平面 ? 内无数条直线; ⑤若 a⊥ ? ,b⊥ ? ,a∥b,则 ? ∥ ? . 上述五个命题中,正确命题的序号是 . 对.

5.如图, 在空间四边形 ABCD 中, AB ? BC, CD ? DA, E , F , G 分别是 CD, DA, AC 的中点,求证:平 面 BEF ? 平面 BGD .
A

F G B E C D

用优质的教育

开启成功的人生

33

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 6.四面体 ABCD 中,AC=BD,E、F 分别是 AD、BC 的中点,且 EF= ACD.

十一大校区总电话:88369993
2 AC,∠BDC=90°.求证:BD⊥平面 2

7. 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 为正三角形, 其所在平面垂直于底面 ABCD,若 G 为 AD 边的中点, (1)求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论.

8. (天津文) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD ? PD, BC ? 1, PC ? 2 3 , PD ? CD ? 2 . (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC ? 平面 ABCD ; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

立体几何大题
用优质的教育 开启成功的人生

34

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 十一大校区总电话:88369993 亲爱的同学们,立体几何,直观图、三视图、表面积和体积、垂直、平行、线面角、二面角.每年高 考都有大题有小题,在高考中占有极其重要的地位,是历年高考的“兵家必争之地”.开学后,我们将 对高考题型进行完美总结,助你提分,敬请期待! 题型一、传统三问(平行、垂直、体积) 1、 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱为 2,底面是边长为 2 的等边三角形, D, E 分别是线段

BC, B1C1 的中点. (1)证明: A1 E // 平面 AC1 D ; (2)证明:平面 AC1 D ? 平面 BCC1 B1 ; (3)求三棱锥 B ? AC1 D 的体积.

A1 E B1 A D B

C1

C

2、 如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面 PAD , AB ∥ CD , PD ? AD , E 是 PB 的中点, F 是

1 AB , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高. 2 (Ⅰ)证明: PH ? 平面 ABCD ;
DC 上的点且 DF ?
(Ⅱ)若 PH ? 1 , AD ? 2 , FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (Ⅲ)证明: EF ? 平面 PAB .

巩固练习答案
用优质的教育 开启成功的人生

35

保驾护航

祝你成功

步步升教育焦点专题 1.答案 2 2.答案 ④ 3.答案 2 7 4.答案 ②⑤

十一大校区总电话:88369993
A

5.证明: AB ? BC , G 为 AC 中点,所以 AC ? BG . 同理可证 AC ? DG, ∴ AC ? 面 BGD. 又易知 EF//AC,则 EF ? 面 BGD. 又因为 EF ? 面 BEF,所以平面 BEF ? 平面 BGD . 6.证明:如图所示,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG、EF. ∵E、F 分别为 AD、BC 的中点, ∴EG //
1 2 1 1 AC,FG // BD. 2 2
2 2

F G B E C D

又 AC=BD,∴EG=FG= AC. ∴在△EFG 中,EG +FG = AC =EF . ∴EG⊥FG. ∴BD⊥AC. 又∠BDC=90°,即 BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面 ACD. 7. 【解析】 (1)证明 在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,G 为 AD 的中点,所以 BG⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BG⊥平面 PAD. (2)证明:连接 PG,因为△PAD 为正三角形, G 为 AD 的中点,得 PG⊥AD,由(1)知 BG⊥AD, PG ? 平面 PGB,BG ? 平面 PGB,PG∩BG=G, 所以 AD⊥平面 PGB,因为 PB ? 平面 PGB,所以 AD⊥PB. (3)解:当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下:取 PC 的中点 F,连接 DE、EF、DF, 在△PBC 中,FE∥PB,在菱形 ABCD 中,GB∥DE, 而 FE ? 平面 DEF,DE ? 平面 DEF,EF∩DE=E,所以平面 DEF∥平面 PGB, 因为 BG⊥平面 PAD,所以 BG⊥PG,又因为 PG⊥AD,AD∩BG=G, ∴PG⊥平面 ABCD,而 PG ? 平面 PGB,所以平面 PGB⊥平面 ABCD,所以平面 DEF⊥平面 ABCD. 8、解:(1)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD ? BC ,且 AD / / BC ,又因 为 AD ? PD ,故 ?PAD 或其补角是异面直线 PA 与 BC 所成的角.

1 2

2

2

PD ? 2 ,所以异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2. AD (2)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 AD ? CD ,又由于 AD ? PD , CD ? PD ? D ,因此 AD ? 平面 PDC ,而 AD ? 平面 ABCD ,所以平面 PDC ? 平面 ABCD . (3) 在平面 PDC 内 , 过点 P 作 PE ? CD 交直线 CD 于点 E , 连接 EB . 由于平面 PDC ? 平面 ABCD,由此得 ?PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 在 ?PDC 中, PD ? CD ? 2, PC ? 2 3 ,可得 ?PCD ? 30?
在 Rt ?PDA 中, tan ?PAD ? 在 Rt ?PEC 中, PE ? PC sin 30? ? 3 由 AD / / BC, AD ? 平面 PDC ,得 BC ? 平面 PDC ,因此 BC ? PC 在 Rt ?PCB 中, PB ?

PC2 ? BC2 ? 13 ,在 Rt ?PEB 中, PE 39 sin ?PBE ? ? PB 13 39 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 . 13

用优质的教育

开启成功的人生

36

保驾护航

祝你成功


相关文档

安徽省六安市舒城中学2016年高一语文暑假作业 2 语基及阅读训练二 Word版含答案
暑假专题——高一语文现代文阅读练习
2016年中考语文考点总动员系列 专题13 文言文阅读(课外)
2016年中考数学母题题源系列:专题20阅读理解题
2016年中考语文考点总动员系列 专题16 抒情性文体阅读
2014暑假高一升高二英语阅读训练专题练习
2016年高一英语专题阅读理解专项练习:WeekEleven假日活动 Word版含答案
2014暑假高一升高二英语《词汇及阅读训练》专题练习
2016年中考英语考点总动员系列 专题17 阅读理解
电脑版