【精品】高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法教案北师大版必修4

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2.2.2 向量的减法
整体设计 教学分析 向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握 向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反 向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量 减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过 阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间 的相互转化、 相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了 数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识. 三维目标 1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌 握相反向量. 2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟 练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量. 重点难点 教学重点:向量的减法运算及其几何意义. 教学难点:对向量减法定义的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法. 由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算 :减去一个数等于加上这个数的相反数 .向量 的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 思路 2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆 运算——减法.引导学生去探究、发现. 推进新课 新知探究 提出问题 ①向量是否有减法? ②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念? ③如何理解向量的减法? ④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则 , 那么 , 向量的减法是否也有类似的法 则? 活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算 ,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数 的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算 也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引 进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 a 和-a 互为相反向量. 于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 精品小初高学习文件

精品小初高学习文件 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0. 所以,如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则

图1 如图 1,设向量 AB =b, AC =a,则 AD =-b,由向量减法的定义,知 AE =a+(-b)=a-b. 又 b+ BC =a,所以 BC =a-b. 由此,我们得到 a-b 的作图方法. (2)三角形法则

图2 如图 2,已知 a、b,在平面内任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则 BA =a-b,即 a-b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 讨论结果:①向量也有减法运算. ②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数 x 的相反数是-x 类似,我们规定,与 a 长度相等,方向相反的量,叫作 a 的相反向量,记作 -a. ③向量减法的定义.我们定义 a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. ④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在, 是数形结合思想的重要体现. 提出问题 ①上图中,如果从 a 的终点到 b 的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量 a、b 的方向使 a∥b,怎样作出 a-b 呢? 讨论结果:① AB =b-a. ②略. 应用示例 思路 1 例 1 如图 3,已知向量 a,b,c,求作向量 a-b+c. 精品小初高学习文件

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图3 活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学 生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 解:在平面上任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则 BA =a-b. 再作 BC =c,并以 BA、BC 为邻边作 BADC, 则 BD = BA + BC =a-b+c(如图 4).

图4 变式训练 (2006 上海高考)在 ABCD 中,下列结论中错误的是( A. AB = DC C. AB - AD = BD ) B. AD + AB = AC D. AD + BC =0

解 析 :A 显 然 正 确 , 由 平 行 四 边 形 法 则 , 可 知 B 正 确 ,C 中 , AB - AD = BD 错 误 ,D 中, AD + BC = AD + DA =0 正确. 答案:C 2.如图 5,ABCD 中, AB =a, AD =b,你能用 a、b 表示向量 AC 、 DB 吗?

图5 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多 注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道 AC =a+b, 同样,由向量的减法,知 DB = AB - AD =a-b. 变式训练 1.(2005 高考模拟) 量 OD 等于( ) 已知一点 O 到 ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c,则向

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图6 A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c 解析:如图 6,点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c,结合图形有

OD = OA + AD = OA + BC = OA + OC - OB =a-b+c.
答案:B 2.若 AC =a+b, DB =a-b. ①当 a、b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直? ②当 a、b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? ③当 a、b 满足什么条件时,a+b 平分 a 与 b 所夹的角? ④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗?

图7 解析:如图 7,用向量构建平行四边形,其中向量 AC 、 DB 恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得

AC =a+b, DB = AB - AD =a-b.
由此问题就可转换为: ①当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线互相垂直?(|a|=|b|) ②当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线相等?(a、b 互相垂直) ③当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线平分内角?(a、b 相等) ④a+b 与 B-b 可能是相等向量吗?(不可能,因为对角线方向不同) 点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问 题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的 威力与魅力,教师引导学生注意领悟. 思路 2 例 1 判断题: (1)若非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,则 a+b 的方向必与 a、b 之一的方向相同. (2)△ABC 中,必有 AB + BC + CA =0. (3)若 AB + BC + CA =0,则 A、B、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)|a+b|≥|a-b|. 活动:根据向量的加、减法及其几何意义. 解:(1)a 与 b 方向相同,则 a+b 的方向与 a 和 b 方向都相同; 若 a 与 b 方向相反,则有可能 a 与 b 互为相反向量, 精品小初高学习文件

精品小初高学习文件 此时 a+b=0 的方向不确定,说与 a、b 之一方向相同不妥. (2)由向量加法法则 AB + BC = AC , AC 与 CA 是互为相反向量,所以有上述结论. (3)因为当 A、B、C 三点共线时也有 AB + BC + AC =0,而此时构不成三角形. (4)当 a 与 b 不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的两条对角线的 长,其大小不定; 当 a、b 为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|; 当 a、b 中有零向量时,|a+b|=|a-b|. 综上所述,只有(2)正确. 例 2 若| AB |=8,| AC |=5,则| BC |的取值范围是( A.[3,8] D.(3,13) 解析: BC = AC - AB . (1)当 AB 、 AC 同向时,| BC |=8-5=3; (2)当 AB 、 AC 反向时,| BC |=8+5=13; (3)当 AB 、 AC 不共线时,3<| BC |<13. 综上,可知 3≤| BC |≤13. 答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解. 变式训练 已知 a、 b、 c 是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形 的充要条件为 a+b+c=0. 证明:已知 0≠0,b≠0,c≠0,且 a b,b c,c a, B.(3,8) ) C.[3,13]

(1)必要性:作 AB =a, BC =b,则由假设 CA =c, 另一方面 a+b= AB + BC = AC . 由于 CA 与 AC 是一对相反向量, ∴有 AC + CA =0,故有 a+b+c=0. (2)充分性:作 AB =a, BC =b,则 AC =a+b,又由条件 a+b+c=0, ∴ AC +c=0.等式两边同加 CA ,得 CA + AC +c= CA +0. ∴c= CA ,故顺次将向量 a、b、c 的终点和始点相连接成一三角形. 精品小初高学习文件

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图8 例 3 已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|. 解:如图 8,设 AB =a, AD =b,以 AB、AD 为邻边作 ABCD,则 AC =a+b, DB =a-b. 因为|a+b|=|a-b|,所以| AC |=| DB |. 又四边形 ABCD 为平行四边形,所以四边形 ABCD 为矩形.故 AD⊥AB. 在 Rt△DAB
2



,|
2

AB

|=6,|

AD

|=8,











,



| DB |= | AB | ? | AD | ?

6 2 ? 8 2 =10.所以|a+b|=|a-b|=10.

知能训练 课本本节练习 1、2. 课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向 量差的作图. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. 作业 课本习题 2—2A 组 4、5. 设计感想 1.向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法 各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作 出从同一点出发的两个向量 a、 b 的差,即 a-b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点 的向量,第二种作图方法比较简捷. 2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头 的方向不要搞错了,a-b 的箭头方向要指向 a,如果指向 b 则表示 b-a,在几何证明题目中,特 别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 3.关于向量减法,在向量代数中常有两种定义方法,第一种方法是将向量的减法定义为向量 加法的逆运算,也就是说,如果 b+x=a,则 x 叫作 a 与 b 的差,记作 a-b.这样作 a-b 时,可先在 平面内任取一点 O,再作 OA =a, OB =b,则 BA 就是 a-b.这种定义向量减法,学生较难理解定 义本身,但很容易作 a-b. 第二种方法是在相反向量的基础上,通过向量加法定义,即定义 a-b=a+(-b). 用这种方法定义,通过类比有理数的减法,学生容易接受 a-b=a+(-b),但作图较繁. 实际上这两种定义方法没有本质的区别,为了便于学生接受,降低理论要求,教科书先定 义了相反向量,然后将 a+(-b)定义为 a-b,并探究了在此定义下作两个向量差的方法以及向 量减法的运算. 作两个向量差时,教师应提醒学生注意向量的方向,也就是箭头不要搞错了,a-b 的箭头 要指向向量 a,如果指向向量 b,则表示 b-a. 精品小初高学习文件

精品小初高学习文件 备课资料 一、向量减法法则的理解 向量减法的三角形法则的式子内容是 :两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须 相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点 ,以被减向量 的终点的字母为终点的向量. 只要学生理解法则内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手 ,尤其遇到向 量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题: 例 1 化简: AB - AC + BD - CD . 解:原式= CB + BD - CD = CD - CD =0. 例 2 化简: OA + OC + BO + CO . 解:原式=( OA + BO )+( OC + CO )=( OA - BO )+0= BA . 二、备用习题 1.下列等式中,正确的个数是 ①a+b=b+a ②a-b=b-a ③0-a=-a A.5 B.4 ( ④-(-a)=a C.3 ⑤a+(-a)=0 D.2 ) )

2.如图 12,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 AF - DB 等于(

图 12 A. FD B. FC ) B.( AD + MB )+( BC + CM ) D. OC - OA + CD ) C. FE D. BE

3.下列式子中不能化简为 AD 的是( A.( AB + CD )+ BC C. MB + AD - BM

4.已知 A、B、C 三点不共线,O 是△ABC 内一点,若 OA + OB + OC =0,则 O 是△ABC 的( A.重心 B.垂心 C.内心 5.已知两向量 a 和 b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a 的方向与 b 的方向垂直. 参考答案: 1.C 2.D 3.C 4.A 5.证明:(1)充分性:

D.外心

设 OA =a, OB =b, 使 OA ⊥ OB , 以 OA 、 OB 为 邻 边 作 矩 形 OBCA, 则

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|a+b|=| OC |,|a-b|=| BA |. ∵四边形 OBCA 为矩形, ∴| OC |=| BA |,故|a+b|=|a-b|. (2)必要性: 设 OA =a, OB =b,以 OA、OB 为邻边作平行四边形, 则|a+b|=| OC |,|a-b|=| BA |.∵|a+b|=|a-b|,∴| OC ||=| BA |.∴ OBCA 为矩形. ∴a 的方向与 b 的方向垂直.

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