2019年陕西省咸阳市高二上学期期末考试数学(文)试卷有答案名师版

咸阳市第一学期期末教学质量检测

高二数学(文科)试题

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的). 1.设 0 ? a ? b ? 1, c ? R ,则下列不等式成立的是( )

A. a2 ? b2

B. 1 ? 1 ab

C. ab ? 1

2.下列求导数运算正确的是( )

D. b ? c ? a ? c

A.

? ??

x

?

1 x

?? ??

?1?

1 x2

B. ?log2

x??

?

1 x ln 2

? ? C. 3x ? ? 3x log3 e

? ? D. x2 cos x ? ? ?2x sin x

3. 命题“若 a ? 2 则 a ?1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )

A.1

B. 2

C. 3 D.4

4. 在等比数列?an? 中,若 a1 ? 2, a4 ? 16 ,则?an? 的前 5 项和 S5 等于( )

A.30

B.31

C.62

D. 64

5. 如果 a ? R ,且 a2 ? a ? 0 ,那么 a, a2 , ?a 的大小关系为( )

A. a2 ? a ? ?a

B. ?a ? a2 ? a

6.“ a ?1”是“ ln a ? 0 ”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. ?a ? a ? a2

D. a2 ? ?a ? a

C. 充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

7.

若不等式组

? ??4

x?a?0 ? 2x ? x ?

2

有解,则实数

a

的取值范围是(



A. a ? ?2

B. a ? ?2

C. a ? ?2

D. a ? ?2

8. 已知 x ? 3 ,则函数 f ? x? ? x ? 4 的最小值为( )
x?3

A. 1

B. 4

C. 7

D.5

9.已知 ?ABC 的三边长构成公差为 2 的等差数列,且最大角为 120°,则这个三角形的周长为 ( )

A. 15

B. 18

C. 21

D.24

10. 方程 x2 ? 2ax ?1 ? 0 的两根分别在 ?0,1? 与 ?1, 2? 内,则实数 a 的取值范围为( )

A.1 ? a ? 5 4

B. a ? ?1 或 a ?1

C. ?1? a ?1

D. ? 5 ? a ? ?1 4

11. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,内容极为丰富,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人

所得与下三人等,问各得几何”.意思是:“5 人分取 5 钱,各人所得钱数依次成等差数列,其中前 2 人所得

钱数之和与后 3 人所得钱数之和相等”,则最中间一人分得的钱数最多的是( )

A. 5 钱 6

B.1 钱

C. 7 钱 6

D. 4 钱 3

12.函数 y ? f ?x? 的导函数与圆 y ? f ?? x? 的图象如图所示,则函数 y ? f ? x? 的图像可能是 ( )

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.设函数

y

?

f

?x?的 x

?

x0

处可导,且

lim
?x?0

f

? x0

? 3?x? ?
?x

f

? x0 ?

? 1,则

f ?? x0 ? 等于



14.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

?

0? ,点 ?4, 2? 在它的一条渐近线上,则其离心率等于



15.若命题“ ?x0 ? R, x02 ? ?a ?1? x0 ?1? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是



? x?2

16.设

x,

y

满足的约束条件是

? ?

y?2

,则 z ? x ? 2y 的最大值是



??x ? y ? 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知动圆在运动过程中,其圆心 M 到点 ?0,1? 与到直线 y ? ?1的距离始终保持相等.

(1)求圆心 M 的轨迹方程;
? ? (2)若直线 l : y ? kx ? 2 k ? 2 与点 M 的轨迹交于 A、B 两点,且 AB ? 8 ,求 k 的值.

? ? 18.已知 an 是等比数列, a1 ? 2 ,且 a1, a3 ?1, a4 成等差数列. (1)求数列?an? 的通项公式; ? ? (2)若 bn ? log2 an ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
19. 在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ,且 b ? 1 c ? a cos C . 2
(1)求角 A ;

(2)若 4?b ? c? ? 3bc,a ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

20.已知函数 f ? x? ? x3 ?12x .(1)求函数 f ? x? 的极值;(2)当 x ???3,3? 时,求函数 f ? x? 的最值.

21.

已知椭圆 M

x2 : a2

?

y2 3

? 1?a ? 0? 的一个焦点为 F ??1,0? ,左、右顶点分别为 A、B ,经过点 F

且斜

率为 k 的直线 l 与椭圆 M 交于 C ? x1, y1 ?, D? x2, y2 ?两点.

(1)求椭圆 M 的方程;

(2)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 S1 ? S2 关于 k 的表达式.

22.已知 f ? x? ? xln x, g ?x? ? x3 ? ax2 ? x ? 2.

(1)若函数

g

?

x?

的单调递减区间为

? ??

?

1 3

,1???

,求函数

y

?

g

?

x

?

的图像在点

P

??1,1?

处的切线方程;

(2)若不等式 2 f ? x? ? g?? x? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

一、选择题

试卷答案

1-5 DBBCB
二、填空题

6-10BDCAA

11、12:BD

13. 1 3

14. 5 2

三、解答题

15. ???,?1? ?3,???

16. 6

17.解:(1)∵圆心 M 到点 ?0,1? 与到直线 y ? ?1的距离始终保持相等,

∴圆心 M 的轨迹为抛物线,且 p ? 1,解得 p ? 2 , 2
∴圆心 M 的轨迹方程为 x2 ? 4 y ;

(2)联立

? ? ?

y? x2

kx ? 2 ? 4y

消去

y

并整理,得

x2

?

4kx

?

8

?

0



设 A? x1, y1 ?、B? x2, y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8 ,

AB ? 1? k 2 ? x1 ? ?x2 2 ? 4x1x2 ? 1? k 2 ?4k ?2 ? 32 ? 8 ,

解得 k ? ? 3 ,结合已知得 k ? 3 .
? ? 18.解(1)设数列 an 的公比为 q ,则 a3 ? a1 q2 ? 2q2 , a4 ? a1 q3 ? 2q3 ,
? ? ∵ a1, a3 ?1, a4 成等差数列,∴ a1 ? a4 ? 2?a3 ?1? ,即 2 ? 2q3 ? 2 2q2 ?1 ,

整理得 q2 ?q ? 2? ? 0 ,

? ? ∵ q ? 0 ,∴ q ? 2 ,∴ an ? 2 2n?1 ? 2n n ? N* ;

(2)∵ bn ? log2 an ? log2 2n ? n ,

∴ Sn ? b1 ? b2 ?

? bn ? 1? 2 ?

? n ? n?n ?1? ,
2

∴数列?bn?的前 n

项和

Sn

?

n ?n ?1?
2



19.解:(1)在 ?ABC 中,∵ b ? 1 c ? a cos C , 2

由正弦定理,得 sin B ? 1 sin C ? sin Acos C , 2

又∵ sin B ? sin ? A? C? ,

∴ sin ? A ? C ? ? 1 sin C ? sin Acos C ,即 cos Asin C ? 1 sin C ,

2

2

又∵ sinC ? 0,∴ cos A ? 1 , 2

又∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? 600 ;
(2)由余弦定理,得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? ?b ? c?2 ? 3bc ,

∵ 4?b ? c? ? 3bc, a ? 2 3 , ∴ ?b ? c?2 ? 4?b ? c? ?12 ,解得 b ? c ? 6,代入上式,得 bc ? 8,

∴ ?ABC 的面积 S ? 1 bc sin A ? 1 ?8? 3 ? 2 3 .

2

22

20.解:(1) f ??x? ? 3x2 ?12 ? 3?x ? 2??x ? 2? ,

令 f ?? x? ? 3x2 ?12 ? 3?x ? 2??x ? 2? ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? ?2 ,

x, f ??x?, f ?x? 的变化如下表:

x

? ??, ?2?

-2

??2, 2?

2

f ??x?

+

0

-

0

f ?x?

单调递增

16

单调递减

-16

∴函数 f ? x? 的极大值为 f ??2? ?16 ,极小值为 f ?2? ? ?16;

(2)由(1)知 f ??2? ?16, f ?2? ? ?16 ,又 f ??3? ? 9, f ?3? ? ?9 ,

∴当 x ???3,3?时,函数 f ? x? 的最大值为 f ??2? ?16 ,最小值为 f ?2? ? ?16.

21.解:(1)∵ F ??1,0? 为椭圆 M 的焦点,∴ c ?1,

? 2, ???
+ 单调递增

又 b ? 3 ,∴ a ? 2 , ∴椭圆 M 的方程为 x2 ? y2 ? 1;
43
(2)依题意,知 k ? 0 ,设直线方程为 y ? k ? x ?1?,
? ? 和椭圆方程联立消掉 y ,得 3 ? 4k2 x2 ? 8k2x ? 4k2 ?12 ? 0 ,

计算知

?

?

0 ,∴方程有两实根,且

x1

?

x2

?

?

8k 2 3 ? 4k 2

,

x1x2

?

4k 2 3?

?12 4k 2



此时 S1 ? S2

?1 4 2

y1 ? y2

? 2 y1 ? y2

? 2 k ? x1 ?1? ? k ? x2 ?1? ? 2 k ? x2 ? x1 ? ? 2k

12 k

?



3 ? 4k 2

22.解:(1)

g??

x?

?

3x2

?

2ax

?1,由题意,知

3x2

?

2ax

?1

?

0

的解集是

? ??

?

1 3

,1???



即方程 3x2 ? 2ax ?1 ? 0 的两根分别是 ? 1 ,1. 3

将 x ?1或 ? 1 代入方程 3x2 ? 2ax ?1 ? 0 ,得 a ? ?1, 3

∴ g ? x? ? x3 ? x2 ? x ? 2, g?? x? ? 3x2 ? 2x ?1 ,∴ g???1? ? 4 ,

∴ g ? x? 的图像在点 P??1,1? 处的切线斜率 k ? g???1? ? 4 ,

∴函数 y ? g ? x? 的图像在点 P??1,1? 处的切线方程为: y ?1 ? 4? x ?1?,即 4x ? y ? 5 ? 0;

(2)∵ 2 f ? x? ? g?? x? ? 2 恒成立,

即 2x ln x ? 3x2 ? 2ax ?1对一切 x ??0, ??? 恒成立,

整理可得 a ? ln x ? 3 x ? 1 对一切 x ??0, ??? 恒成立,
2 2x



h?x?

?

ln

x

?

3 2

x

?

1 2x

,则 h?? x?

?

1 x

?

3 2

?

1 2x2



令 h?? x? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? 1 (舍),
3

当 0 ? x ?1时, h?? x? ? 0, h? x? 单调递增;当 x ?1时, h?? x? ? 0, h? x?单调递减,

∴当 x ?1时, h? x? 取得最大值 h?1? ? ?2 ,∴ a ? ?2 .

故实数 a 的取值范围是??2, ???.


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