重庆市三所重点校及部分中学2012-2013学年高二上学期期末联考数学(文)试题

2012—2013 学年度高 2014 级上期过程性调研抽测数学试题(文科)
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知圆 O : (x ? 2)2 ? (y ? 3)2 ? 1 ,则圆心坐标是( )

A.(2,3)

B.(?2, ?3)
)

C.(?2,3)

D.(2, ?3)

2.抛物线 x 2 ? 4y 的准线方程是(

A.y ? 1

B.y ? ?1

C.x ? ?1

D.x ? 1

3. 曲线 y ? x3 ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A. -9 B. -3 C.15[ D. 9 学 )

4.已知直线 l: 3x ? 2y ?1 ? 0, 则过点 P(0,3) 且与直线 l 平行的直线方程是(

A.3x ? 2y ? 6 ? 0

B. 3 x ?

2? y ? 6

0 C. 2 x ?

y ?

5 ?

0 D. 3x ?

2? y ? 6

0

5.“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 ? 垂直”的( )条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或 称主视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图 (或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形, 6 则该几何体的体积为( )

A.48

B.64

C.96

D.192

8
第 6题图

7.若直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 O : x ? y ? 1 相离,则点 P(a, b) 与圆 O 的位置关系是(
2 2



D. 以上都有可能 8. 已知函数 y ? f (x) ,其导函数 y ? f (x) 的图象如图所示,则 y ? f (x) ( ) A.在 ( ??,0) 上为减函数 B.在 x ? 0 处取极小值 C.在 (4, ??) 上为减函数 D.在 x ? 2 处取极大值
'

A. 在圆上

B. 在圆外

C. 在圆内

9.设 a、 b 是空间不同的直线, ?,?,? 是空间不同的平面 ① a ? ?, b ? ?, 则 a // b ; ③ ? ? ?, ? ? ?, 则 ? // ? ; 以上结论正确的是( A. ①② ) ② a ? ?, b ? ?, a // b ,则 ? // ? ; ④ a ? ?, ? ? ?, 则 a // ? .

B. ①④

C. ③④

D. ②③

10.一个圆形纸片,圆心为 O, F 为圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 点与 F 点重合, 然后抹平纸片,折痕为 CD ,设 CD 与 OM 交与 P 点,则 P 点的轨迹是( )

A. 双曲线

B. 椭圆

C. 抛物线

D. 圆

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. 11.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1,则它的渐近线方程是 4
.

.

12.已知椭圆

x 2 y2 ? ? 1 ,则它的离心率为 9 5
? ? ? cos x, 则 f ' ( ) ? 2 2
.

13.已知 f (x) ?

14. 如右图是一个几何体的三视图,俯视图是 顶角为 120 度的等腰三角形,则这个几何体的 表面积为 . 15.已知直线 x ? y ? a 与圆 x 2 ? y2 ? 4 交于 A, B 两点,且 | OA+OB| ?| OA ? OB|(其中 O 为坐标 原点) ,则实数 a 等于 .

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程,并答 在答题卡相应位置上. 16(本大题满分 13 分) 已知直线 l 过两直线 x ? 2y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P .求解下列问题. (1)直线 l 经过点 Q (2,1) ,求直线 l 的方程; (2)直线 l 与直线 3x ? 4y ? 5 ? 0 垂直,求直线 l 的方程.

17. (本大题满分 13 分) 已知命题 p :"?x ?[1, 2], x 2 ? a ? 0", 命题 q :"?x0 ? R, x02 ? 2ax0 ? 2? a ? 0"若命题“ p 且 q ” 是真 命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本大题满分 13 分) 已知函数 f (x) ? ?x3 ? 3x 2 ? 9x ? a . (1)求 f (x) 的单调递减区间. (2)若 f (x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20 ,求它在该区间上的最小值.

19. (本大题满分 12 分) 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? BB1 ? 1 ,AB ? 2 . (Ⅰ)求证:平面 AB1C ? 平面B1CB ; (Ⅱ)求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.
A1 C1

B1

C

A

第 19题图

B

20. (本大题满分 12 分) 已知 f (x) ? (x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a)ex (x ? R,a ? R) .

(1)a ? 0 时,求曲线 y ? f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线的斜率. (2) 当 a ?
2 时,求函数 f (x) 的极值. 3

21. (本大题满分 12 分) 若F 1、F 2 分别是椭圆

x2 ? y2 ? 1 的左、右焦点. 4
5 , 求点 P 的坐标. 4

(1)设点 P 是第一象限内椭圆上的点,且 PF1 PF2 ? ?

(2)设过定点 M(0, 2) 的直线 l 与椭圆交于不同的点 A、B, 且 OA OB ? 0 , (其中 O 为原点) ,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围.

数学参考答案及评分意见
一、选择题:1—5 A B D D C: 6—10 B C C A B 二、填空题:11. y ? ?2x ; 12. 三、解答题: 16.解: (1)由 ?

2 ; 13. ?1 ; 14. 8 ? 6 3 ; 15. ?2 3

?x ? 2y ? 4 ? 0 ?x ? 0 · · · · · · · · · ·3 分 ?? ? P(0, 2) · ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2

· · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? 所求直线方程为: x ? 2y ? 4 ? 0 · (2)设所求直线方程为: 4x ? 3y ? C ? 0 · · · · · · · · · · · ·8 分 又 过 P(0,2)

? C ? ?6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

· · · · · · · · · · · · · · ·13 分 ? 直线方程为: 4x ? 3y ? 6 ? 0 · 17.解:由命题 p 可知: x ? a
2

x ? [1, 2] ? a ? 1 · · · · · · · · · · ·5 分
2

由命题 q 可知: ? 4a ? 4(2 ? a) ? 4(a ? a ? 2) ? 0 · · · ·9 分
2

? a ? 1或a ? ?2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 又 p且q 是真命题 ? a ? ?2或a ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分
18.解: (1) · · · · ·3 分 f ' (x) ? ?3x 2 ? 6x ? 9 ? ?3(x 2 ? 2x ? 3) ? ?3(x ? 3)(x ?1) ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ? f ' (x) ? 0 ? x ? 3或x ? ?1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? 减区间为 (??, ?1]和 [3, ??) · (2)由(1)知, f (x) 在 [?2, ?1] 上单调递减 [?1, 2] 上单调递增

? f (?2) ? 2 ? a

f ( 2? )

2 ?2

af ( ? 1) ? ? 5? · a· · · · · · · ·10 分
? a ? ?2 · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

?f (x)max ? f (2) ? 22 ? a ? 20

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 ?f (x)min ? f (?1) ? ?7 · 19.解: (Ⅰ)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 平面ABC , 又可知 BB1 ? AC ,………………………2 分

AB ? 2 , 由于 AC ? BC ? BB1 ? 1 ,
2 2 2 则由 AC ? BC ? AB 可知, AC ? BC ,…………………… 4 分 则 AC ? 平面B1CB

所以有平面 AB1C ? 平面B1CB ……………………………………………6 分 (Ⅱ)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 平面ABC ,…………………….8 分 因为 AC ? BC , AC ? BC ? 1, 所以 ? ABC 面积为

1 ................10 分 2

AA1 ? BB1 ? 1, 1 1 1 ? VB1 ? ABC ? ? ?1 ? .............12 分 3 2 6
20.解: (1) a ? 0 时, f (x) ? x 2ex ,f ' (x) ? (x 2 ? 2x)ex ,f ' (1) ? 3e

? y ? f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线斜率为 3e· · · · · · · · · · · · · · · ·3 分
(2) f ' (x) ? [x 2 ? (a ? 2)x ? 2a 2 ? 4a]ex 令 f ' (x) ? 0 得 x ? ?2a或a ? 2

a?

2 3

??2a ? a ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

①当 a ?

2 时, ?2a ? a ? 2 得: 3

(? ?, ?2a],[a ? 2, ??) 为增函数 f(x)在
在 [?2a,a ? 2] 为减函数· · · · · · · · · ·6 分

? f (x) 极大值 ? f (?2a) ? 3ae?2a
f(x)极小值 ? f (a ? 2) ? (4 ? 3a)ea ?2 · · · · · · · · · · · ·8 分 ②当 a ?

2 时, ?2a ? a ? 2 得 3

f (x) 在 (??,a ? 2],[?2a, ??) 上为增函数,在 [a ? 2, ?2a] 上为减函数· · · · · · · ·10 分

? f (x) 极大值 ? f (a ? 2) ? (4 ? 3a)ea ?2 ? f (x) 极小值 ? f (?2a) ? 3ae?2a · · · · · · · · · · · · · ·12 分
21 . 解 : (1) 易 知 a ? 2,b ? 1,c ? 3.?F 1 (? 3,0),F 2 ( 3,0). 设 P(x, y)(x ? 0, y ? 0). 则

5 x2 PF1 PF2 ? (? 3 ? x, ? y)( 3 ? x, ? y) ? x ? y ? 3 ? ? ,又 ? y 2 ? 1, · · · · · · · ·3 分 4 4
2 2

7 ? 2 x ? y2 ? ? ? 4 联立得 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

?x ? 1 3 ? 解得 ? · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 3 , P(1, 2 ) · ?y ? ? 2

( 2 ) 显 然 x ? 0 不 满 足 题 设 条 件 , 可 设 l 的 方 程 为 y ? kx ? 2, 设 A(x1 ,y1 ),B(x 2 ,y2 ), 联 立 得

? x2 ? ? y2 ? 1 ?4 ? y ? kx ? 2 ?
? x1 x 2 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? (1 ? 4k 2 )x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ·

12 16k , x1 ? x 2 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 3 2 2 2 2 由△ ? (16k) ? 4 ?12 ? (1 ? 4k ) ? 0 ? 4k ? 3 ? 0, 得 k ? · · · · · · · · · · · · · ·9 分 4
又 OA OB>0, · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ?OA OB ? x1x2 ? y1y2 ? 0 ·

y1y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k(x1 ? x2 ) ? 4
? x1x 2 ? y1y 2 ? (1 ? k 2 )x1x 2 ? 2k(x1 ? x 2 ) ? 4 ?
?? 1 ? k2 ? 4 4
3 3 3 ? k 2 ? 4,? k 的取值范围是 (?2, ? ) ( , 2). · · · · ·12 分 4 2 2

12(1 ? k 2 ) 2k 16k 4(4 ? k 2 ) ? ? 4 ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

综上可得


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