2014届湖南省岳阳一中高三第六次阶段考试理科数学试题(含答案解析)

岳阳市一中 2014 届高三第六次质量检测数学试卷(文)
时量:120 分钟 分值:150 分 命题人:戴毅
一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知复数 z = A.(0,1)

i + i 2 + i 3 + × × × + i 2014 ,则复数 z 在复平面内对应的点为( 1+ i
B.(1,0) ) C.(0,-1)



D.(-1,0)2.若 a > b > 0 ,

2.下列不等式中总成立的是( A. a +

1 1 >b+ b a

B. a+ )

1 1 >b+ a b

C.

b b +1 > a a +1

D.

2a + b a > a + 2b b

3.以下判断正确的是(

A.函数 y = f ( x ) 为 R 上的可导函数, 则 f ?( x0 ) = 0 是 x0 为函数 f ( x ) 极值点的充要条件. B.命题“ 存在x ? R, x + x - 1 < 0 ”的否定是“ 任意x ? R, x + x - 1 > 0 ”.
2 2

C.命题“在 DABC 中,若 A > B, 则 sin A > sin B ”的逆命题为假命题. D.“ b = 0 ”是“函数 f ( x) = ax + bx + c 是偶函数”的充要条件.
2

4.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5 次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人 的平均得分分别为 x甲 、 x乙 ,则下列判断正确的是( A. x甲 < x乙 ,甲比乙成绩稳定 C. x甲 > x乙 ,甲比乙成绩稳定 )
6 甲 7 8 4 0 7 8 9 乙 5 8 3 6 8

B. x甲 < x乙 ,乙比甲成绩稳定 D. x甲 > x乙 ,乙比甲成绩稳定

5.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为

10 3 ,则 h 的值为(
A.



3 2

B. 3 D. 5 3

C. 3 3

2n + 1 p ), 则a1 + a2 + a3 + L + a2014 = () 2 2013 ? 2014 2014 ? 2015 A. B. 2 2 2013 ? 2013 2014 ? 2014 C. D. 2 2 p 7.右上图是函数 y = A sin(wx + j )( A > 0, w > 0, | j |? ) 图像的一部分.为了得到这个函 2 数的图像,只要将 y = sin x ( x ? R ) 的图像上所有的点( )
6.已知数列 {an } 的通项公式是 an = n 2 sin(

A .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变.
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π 3

1 2

B .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变.

π 3

C .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变.
D .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变.
8.如图,P 是△ABC 所在的平面内一点,且满足 BA + BC = 点,则( π 6

π 6

1 2

uuu r

uuu r

r 2 uuu BP ,D,E 是 BP 的三等分 3

A. BA = EC

uuu r uuu r

uuu r uuu r

)

B. BA + BC = DP

uuu r

uuu r

uuu r

C. PA + PC =4 BD

uuu r

D. PA - PC = BC - BA

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

9.已知偶函数 f ( x) = log a | x + b | 在(0,+∞)上单调递减,则 f (b - 2) 与 f ( a + 1) 的大 小关系是( ) B. f ( a + 1) = f (b - 2) D.无法确定

A. f (b - 2) < f ( a + 1) C. f (b - 2) > f ( a + 1)

10.已知 0 < m1 < 2 < m2 ,且 log a m1 = m1 - 1, log a m 2 = m 2 - 1 ,则实数 a 的取值范围 是( ) A. 2 < a < 3 B. 0 < a < 1 C. 1 < a < 2 D. 3 < a < 4

二、填空题(本大题共有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.己知全集 U = R ,集合 A = 则

x-2 ü {x | x + 1 > 2, x ? R}, B = ì ? 0, x ? R ? , íx | ? x ?
.

(C A) I B =
U

12. 在极坐标系中, 圆 r = 4 cos q 的圆心到直线 r sin(q + 为 .

p ) = 4 2 的距离 4
.

13.执行如右图所示的程序框图,输出的 s 值为 14. 设双曲线 左

x2 y2 = 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 交双曲线 4 3

支于 A, B 两点,则

BF2 + AF2 的最小值为

.

15.对于实数 x ,将满足“ 0 ?

y < 1 且 x - y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,

用符号 á x ? 表示.对于实数 a ,无穷数列 {an } 满足如下条件:

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ì 1 ?á ? ① a1 = á a? ;② an +1 = í an ? 0 ?
(Ⅰ)若 a (Ⅱ)当 a

(an ? 0) (an = 0)



= 2 时,数列 {an } 通项公式为



1 > 时,对任意 n ? N * 都有 an = a ,则 a 的值为 3



三、解答题(本大题共 6 大题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本题满分 12 分) 某园林局对 1 000 株树木的生长情况进行调查,其中杉树 600 株,槐 树 400 株.现用分层抽样方法从这 1 000 株树木中随机抽取 100 株,杉树与槐树的树干 周长(单位:cm)的抽查结果如下表: 树干周长(单位:cm) 杉树 槐树 [30,40) 6 4 [40,50) 19 20 [50,60) 21 y [60,70) x 6

(1)求 x,y 值及估计槐树树干周长的众数; (2)如果杉树的树干周长超过 60 cm 就可以砍伐,请估计该片园林可以砍伐的杉树有多 少株? (3)树干周长在 30 cm 到 40 cm 之间的 4 株槐树有 1 株患虫害,现要对这 4 株树逐一进 行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为 2 株的概率. 17.(本题满分 12 分) 在 DABC 中,边 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且满足

b cos C = (3a - c ) cos B .
(Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若 BC × BA = 4 , b = 4 2 ,求边 a , c 的值.

uuu r uuu r

18. (本题满分 12 分) 在如图所示的组合体中,三棱柱 ABC - A1 B1C1 的侧 面 ABB1 A1 是圆柱的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、B 重合的一个点. (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ^ 平面 A1 AC ; (Ⅱ) 当点 C 是弧 AB 的中点时, 求四棱锥 A1 - BCC1 B1 与圆柱的体积比.

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19. (本题满分 13 分) 某商场对 A 品牌的商品进行了市场调查,预计 2014 年从 1 月起前 x 个 月顾客对 A 品牌的商品的需求总量 P ( x ) 件与月份 x 的近似关系是:

P ( x) =

1 x ( x + 1)( 41 - 2 x ) ( x ? 12, x ? N * ) 2

(1)写出第 x 月的需求量 f ( x ) 的表达式;

(2) 若第 x 月的销售量 g ( x) = í x 2 1
x

ì ?

f ( x) - 21x, (1 ? x < 7, x ? N *)
(单位:件) ,

( x 2 - 10 x + 96), (7 ? x ? 12, x ? N * ) ? ?e 3

每件利润 q ( x) 元与月份 x 的近似关系为: q ( x) =

10e x ,问:该商场销售 A 品牌商品,预 x

计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?( e 6 ? 403 )

20.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 , 且直线 2 a b 2

y = x + b 是抛物线 C2 : y 2 = 4 x 的一条切线。
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)过点 S (0, - ) 的动直线 l 交椭圆 C1 于 A、B 两点,试问:在直角坐标平面上 是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在,求出 T 的坐标;若不存在,请说明理由。

1 3

21.设曲线 C : f ( x ) = ln x - ex ( e = 2.71828 ××× ), f ?( x ) 表示 f ( x ) 导函数. (I)求函数 f ( x ) 的极值; (II)数列 {an } 满足 a1 = e , an +1 = 2 f ?(

1 ) + 3e .求证:数列 {an } 中不存在成等差数 an

列的三项; ( III )对 于曲线 C 上的不 同 两点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , x1 < x2 ,求 证: 存在 唯 一的 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) .

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岳阳市一中 2014 届高三第六次质量检测数学试卷(文)
时量:120 分钟 分值:150 分 命题人:戴毅
二. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知复数 z =

i + i 2 + i 3 + × × × + i 2014 ,则复数 z 在复平面内对应的点为( A ) 1+ i C .(0,-1) A .(0,1) B .(1,0) D .(-1,0)


2.若 a > b > 0 ,则下列不等式中总成立的是(A A. C.

a+

1 1 >b+ b a b b +1 > a a +1

1 1 >b+ a b 2a + b a D. > a + 2b b
B. a + D )

3.以下判断正确的是(

A.函数 y = f ( x ) 为 R 上的可导函数,则 f ' ( x0 ) = 0 是 x0 为函数 f ( x ) 极值点的充要条件. B.命题“ 存在x ? R, x 2 + x - 1 < 0 ”的否定是“ 任意x ? R, x 2 + x - 1 > 0 ”. C.命题“在 DABC 中,若 A > B, 则 sin A > sin B ”的逆命题为假命题. D.“ b = 0 ”是“函数 f ( x) = ax 2 + bx + c 是偶函数”的充要条件. 4.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5 次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人 的平均得分分别为 x甲 、 x乙 ,则下列判断正确的是( B ) A. x甲 < x乙 ,甲比乙成绩稳定 B. x甲 < x乙 ,乙比甲成绩稳定 C. x甲 > x乙 ,甲比乙成绩稳定 D x甲 > x乙 ,乙比甲成绩稳定 5.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为
6 甲 7 8 4 0 7 8 9 乙 5 8 3 6 8

10 3 ,则 h 的值为( B
C. 3 3 6 . 已 知 D. 5 3 数 列

)A.

3 2

B. 3

{an }













2n + 1 p ), 则a1 + a2 + a3 + L + a2014 = ( B ) 2 2013 ? 2014 2014 ? 2015 A. B. 2 2 2013 ? 2013 2014 ? 2014 C. D. 2 2 p 7.右图是函数 y=Asin(ωx+φ)( A > 0,w > 0 , | j |? )图像的一 2 an = n 2 sin(
部分.为了得到这个函数的图像,只要将 y=sin x(x∈R)的图像上所
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有的点(

A

) π 3 1 2

A .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变. B .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变.
π 3

C .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变.
D .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变.
8. 如图, P 是△ABC 所在的平面内一点, 且满足 BA + BC = π 6

π 6

1 2

uuu r

uuu r

r 2 uuu BP ,D,E 是 BP 的三等分点,则( B ) 3 r r uuu uuu r uuu uuu r uuu r A. BA = EC B. BA + BC = DP
C. PA + PC =4 BD

uuu r

uuu r

uuu r

D. PA - PC = BC - BA

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

9.已知偶函数 f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上单调递减,则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关 系是(A )

A.f(b-2)<f(a+1) B.f(b-2)=f(a+1) C.f(b-2)>f(a+1) D.无法确定的 10.已知 0 < m1 < 2 < m2 ,且 log a m1 = m1 - 1, log a m 2 = m 2 - 1 ,则实数 a 的取值范围 是( C ) A. 2 < a < 3 B. 0 < a < 1 C. 1 < a < 2 D. 3 < a < 4

二、填空题(本大题共有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.己知全集 U = R ,集合 A = 则

x-2 ü {x | x + 1 > 2, x ? R}, B = ì ? 0, x ? R ? , íx | ? x ?
.

(C A) I B =
U

{ x | 0 < x ? 1}

12. 在极坐标系中,圆 r = 4 cos q 的圆心到直线 r sin(q +

p ) = 4 2 的距离为 4

3 2 .
13.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 14. 设双曲线 2 .

x2 y2 = 1 的 左,右焦点分别 为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 交双曲线 4 3

左支于 A, B 两点,则

BF2 + AF2 的最小值为

11

.

15. 对于实数 x , 将满足“ 0 ?

y < 1 且 x - y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的

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小数部分,用符号 á x ? 表示.对于实数 a ,无穷数列 {an } 满足如下条件:

ì 1 ?á ? ① a1 = á a? ;② an +1 = í an ? 0 ?
(Ⅰ)若 a (Ⅱ)当 a

(an ? 0) (an = 0)



= 2 时,数列 {an } 通项公式为



1 > 时,对任意 n ? N * 都有 an = a ,则 a 的值为 3



15.答案: (Ⅰ) an

= 2 - 1; (Ⅱ) 2 - 1 或

5 -1 2
1 ? = á 2 +1? = 2 - 1 . 2 -1

【解析】 (Ⅰ)若 a

= 2 时, a1 = á 2? = 2 - 1 ,则 a2 = á

(Ⅱ)当 a

1 1 1 > 时,由 an = a 知, a < 1 ,所以 a1 = á a? = a , a2 = á ? ,且 ? (1,3) . a a 3

①当

1 1 1 1 5 -1 - 5 -1 (a = 舍去) ? (1, 2) 时, a2 = á ? = - 1 ,故 - 1 = a ? a = a a a a 2 2 1 1 1 1 ? [2,3) 时, a2 = á ? = - 2 ,故 - 2 = a ? a = 2 - 1 ( a = - 2 - 1 舍去) a a a a

②当

综上, a

= 2 - 1或

5 -1 2

三、解答题(本大题共 6 大题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本题满分 12 分)某园林局对 1 000 株树木的生长情况进行调查,其中杉树 600 株,槐 树 400 株.现用分层抽样方法从这 1 000 株树木中随机抽取 100 株,杉树与槐树的树干 周长(单位:cm)的抽查结果如下表: 树干周长(单位:cm) 杉树 槐树 [30,40) 6 4 [40,50) 19 20 [50,60) 21 y [60,70) x 6

(1)求 x,y 值及估计槐树树干周长的众数; (2)如果杉树的树干周长超过 60 cm 就可以砍伐,请估计该片园林可以砍伐的杉树有多 少株? (3)树干周长在 30 cm 到 40 cm 之间的 4 株槐树有 1 株患虫害,现要对这 4 株树逐一进 行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为 2 株的概率.

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(1)按分层抽样方法随机抽取 100 株,可得槐树为 40 株,杉树为 60 株,

∴x=60-6-19-21=14,y=40-4-20-6=10. 估计槐树树干周长的众数为 45 cm. 14 (2) ×600=140, 60 估计该片园林可以砍伐的杉树有 140 株. (3)设 4 株树为 B1,B2,B3,D,设 D 为有虫害的那株, 基本事件为(D),(B1,D),(B2,D),(B3,D),(B1,B2,D),(B1,B3,D),(B2,B1, D),(B2,B3,D),(B3,B1,D),(B3,B2,D),(B1,B2,B3),(B1,B3,B2),(B2,B1, B3),(B2,B3,B1),(B3,B1,B2),(B3,B2,B1)共 16 种, 设事件 A:排查的树木恰好为 2 株,事件 A 包含(B1,D),(B2,D),(B3,D)3 种, 3 ∴P(A)= . 16

17.(本题满分 12 分) 在 DABC 中,边 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且满足

b cos C = (3a - c ) cos B .
(Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若 BC × BA = 4 , b = 4 2 ,求边 a , c 的值. 17.解:(Ⅰ)由正弦定理和 b cos C = (3a - c ) cos B ,得

uuu r uuu r

sin B cos C = (3sin A - sin C ) cos B ,
化简,得 sin B cos C + sin C cos B = 3sin A cos B , 即 sin (B + C) = 3sin A cos B , 故 sin A = 3sin A cos B . 因为 sinA≠0,

1 . ………………………………………………………6 分 3 uuu r uuu r (Ⅱ)因为 BC × BA = 4 ,
所以 cos B = 所以 BC × BA =| BC | × | BA | × cos B = 4 . 所以 BC × BA = 12 ,即 ac = 12 .

uuu r uuu r



又因为 cos B =

a2 + c 2 - b2 1 = , 2ac 3

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整理,得 a 2 + c 2 = 40 .

联立①② í

ìa 2 + c 2 = 40, , ?ac = 12,

解得 í

ìa = 2, ìa = 6, 或í ………………………………………………………12 分 ?c = 6, ?c = 2.

18. (本题满分 12 分) 在如图所示的组合体中, 三棱柱 ABC - A1 B1C1 的 侧面 ABB1 A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的 一个点. (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ^ 平面 A1 AC ; (Ⅱ) 当点 C 是弧 AB 的中点时, 求四棱锥 A1 - BCC1 B1 与圆柱的体积比. (Ⅰ)∵侧面 ABB1 A1 是圆柱的的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的一个点, ∴ AC ^ BC , 又圆柱母线 AA1 ^平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ AA1 ^ BC , 又 AA1 I AC = A ,∴ BC ^平面 A1 AC , ∵ BC ? 平面 A1 BC ,∴平面 A1 BC ^ 平面 A1 AC ; (Ⅱ)设圆柱的底面半径为 r ,母线长度为 h , 当点 C 是弧 AB 的中点时, AC = BC =

2r ,

1 2 VA1 - BCC1B1 = × ( 2r ) × ( 2r ) × h = r 2 h , 3 3

V圆柱 =p r 2 h ,

∴ VA1 - BCC1B1:V圆柱 =2:3p .

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19. (本题满分 13 分) 某商场对 A 品牌的商品进行了市场调查,预计 2014 年从 1 月起前 x 个 月顾客对 A 品牌的商品的需求总量 P ( x ) 件与月份 x 的近似关系是:

P ( x) =

1 x ( x + 1)( 41 - 2 x ) ( x ? 12, x ? N * ) 2

(1)写出第 x 月的需求量 f ( x ) 的表达式;

(2) 若第 x 月的销售量 g ( x) = í x 2 1
x

ì ?

f ( x) - 21x, (1 ? x < 7, x ? N *)
(单位:件) ,

( x 2 - 10 x + 96), (7 ? x ? 12, x ? N * ) ? ?e 3

每件利润 q ( x) 元与月份 x 的近似关系为: q ( x) =

10e x ,问:该商场销售 A 品牌商品,预 x
6

计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e ≈403) 解:(1)当 x=1 时,f(1)=P(1)=39; 当 x≥2 时,f(x)=P(x)﹣P(x﹣1)= x(x+1) (41﹣2x)﹣ (x﹣1)x(43﹣ 2x)=3x(14﹣x); 2 + ∴f(x)=﹣3x +42x(x≤12 且 x∈N ); (2)设月利润为 h(x),则 h(x)=q(x)g(x)

=

∴h′(x)= ∴当 1≤x≤6 时,h′(x)≥0,当 6<x<7 时,h′(x)<0, ∴h(x)在 x∈[1,6]上单调递增,在(6,7)上单调递减 + 6 ∴当 1≤x<7 且 x∈N 时,h(x)max=h(6)=30e ≈12090; ∵当 7≤x≤8 时,h′(x)≥0,当 8≤x≤12 时,h′(x)≤0, ∴h(x)在 x∈[7,8]上单调递增,在(8,12)上单调递减 + ∴当 7≤x≤12 且 x∈N 时,h(x)max=h(8)≈2987<12090 综上,预计该商场第 6 个月的月利润达到最大,最大利润约为 12090 元. 20.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 , 且直线 2 a b 2 y = x + b 是抛物线 C2 : y 2 = 4 x 的一条切线。 (1)求椭圆 C1 的方程; 1 (2)过点 S (0, - ) 的动直线 l 交椭圆 C1 于 A、B 两点,试问:在直角坐标平面上 3
是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在,求出 T 的坐标;若不存在,请说明理由。
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20.解: (I)由 í

ìy = x + b ? y = 4x
2

得 x 2 + (2b - 4) x + b 2 = 0

直线 y = x + b 是抛物线 C2 : y 2 = 4 x 的一条切线。所以 D = 0 ? b = 1

e=

x2 c 2 = ? a = 2 所以椭圆 C1 : + y 2 = 1 …………………………5 分 a 2 2
1 3 4 3

(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆方程为 x 2 + ( y + ) 2 = ( ) 2 当直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆方程为 x 2 + y 2 = 1 所以两圆的交点为点(0,1)猜想:所求的点 T 为点(0,1).…………8 分 证明如下。当直线 l 与 x 轴垂直时,以 AB 为直径的圆过点(0,1) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设直线 l 为: y = kx -

1 3

1 ì 12 k ì y = kx x +x = ? 3 得 (18k 2 + 9) x 2 - 12kx - 16 = 0 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 则 ? 由? ? 1 2 18k 2 + 9 í 2 í ? x + y2 = 1 ? x x = -16 ? 1 2 18k 2 + 9 ? ? ?2

uur uur 4 16 -16 4 12k 16 TA · TB = x1 x2 - ( x1 + x2 ) + = (1 + k 2 ) - ? + =0 2 2 3 9 18k + 9 3 18k + 9 9 uur uur 所以 TA ^ TB ,即以 AB 为直径的圆过点(0,1)

所以存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过定点 T. ……………………13 分 21. (本题满分 13 分) 设曲线 C : f ( x ) = ln x - ex ( e = 2.71828 ××× ), f ?( x ) 表示 f ( x ) 导函数. (I)求函数 f ( x ) 的极值; (II)数列 {an } 满足 a1 = e , an +1 = 2 f ?(

1 ) + 3e .求证:数列 {an } 中不存在成等差数 an

列的三项; ( III )对 于曲线 C 上的不 同 两点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , x1 < x2 ,求 证: 存在 唯 一的 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) . .解: (I) f ?( x ) =

1 1 - ex 1 -e = = 0 ,得 x = x x e 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 变化情况如下表:
x

f ?( x )
f ( x)
∴当 x =

1 (0, ) e
+ 单调递增

1 e
0 极大值

1 ( , +?) e
- 单调递减 …………(4 分)

1 1 时, f ( x) 取得极大值 f ( ) = -2 ,没有极小值; e e
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(II)∵ an +1 = 2 f ?(

a +e 1 ) + 3e ,∴ an +1 = 2an + e n +1 = 2 ,∴ an = e(2 n - 1) an an + e

…………(6 分) 假设数列 {an } 中存在成等差数列的三项 ar , as , at ( r < s < t ) ,则 2 as = ar + at ,

2e(2s - 1) = e(2r - 1) + e(2t - 1), 2s +1 = 2r + 2t ,\ 2s - r +1 = 1 + 2t - r
又s - r + 1 > 0, t - r > 0,\ 2 s - r +1 为偶数,1 + 2t - r 为奇数, 假设不成立 因此,数列 {an } 中不存在成等差数列的三项
(III) (方法 1) ∵ f ?( x0 ) = k AB , ∴ …………(8 分)

ln x2 - ln x1 - e( x2 - x1 ) x - x1 x 1 , ∴ 2 -e = - ln 2 = 0 x0 x2 - x1 x0 x1 x x 即 x0 ln 2 - ( x2 - x1 ) = 0 ,设 g ( x ) = x ln 2 - ( x2 - x1 ) x1 x1 x x / g ( x1 ) = x1 ln 2 - ( x2 - x1 ) , g ( x1 ) x = ln 2 - 1 > 0 , g ( x1 ) 是 x1 的增函数, 1 x1 x1 x ∵ x1 < x2 ,∴ g ( x1 ) < g ( x2 ) = x2 ln 2 - ( x2 - x2 ) = 0 ; x2 x x / g ( x2 ) = x2 ln 2 - ( x2 - x1 ) , g ( x2 ) x = ln 2 - 1 > 0 , g ( x2 ) 是 x2 的增函数, 2 x1 x1 x ∵ x1 < x2 ,∴ g ( x2 ) > g ( x1 ) = x1 ln 1 - ( x1 - x1 ) = 0 , x1 x ………… (10 分) ∴函数 g ( x ) = x ln 2 - ( x2 - x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 , x1 x x x 又∵ 2 > 1,\ ln 2 > 0 ,函数 g ( x ) = x ln 2 - ( x2 - x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1 x - x1 x ∴函数 g ( x ) = 2 - ln 2 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,命题成立…………(12 分) x x1 ln x2 - ln x1 - e( x2 - x1 ) 1 , (方法 2)∵ f ?( x0 ) = k AB ,∴ -e = x0 x2 - x1 即 x0 ln x2 - x0 ln x1 + x1 - x2 = 0 , x0 ? ( x1 , x2 ) ,且 x0 唯一
设 g ( x) = x ln x2 - x ln x1 + x1 - x2 ,则 g ( x1 ) = x1 ln x2 - x1 ln x1 + x1 - x2 , 再设 h( x) = x ln x2 - x ln x + x - x2 , 0 < x < x2 ,∴ h?( x) = ln x2 - ln x > 0 ∴ h( x) = x ln x2 - x ln x + x - x2 在 0 < x < x2 是增函数 ∴ g ( x1 ) = h( x1 ) < h( x2 ) = 0 ,同理 g ( x2 ) > 0 ∴方程 x ln x2 - x ln x1 + x1 - x2 = 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有解 …………(10 分)

∵一次函数在 ( x1 , x2 ) g ( x) = (ln x2 - ln x1 ) x + x1 - x2 是增函数 ∴方程 x ln x2 - x ln x1 + x1 - x2 = 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有唯一解,命题成立………(12 分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线 C 不存在拐点,不给分。

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