高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A选修22 (1)_图文

导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 预习课本 P22~26,思考并完成下列问题 (1)函数的单调性与导数的正负有什么关系? (2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么? (3)怎样求函数的单调区间? [新知初探] 1.函数的单调性与其导数正负的关系 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在 这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个 区间内单调递减 ;如果恒有 f′(x)=0,那么函数 y=f(x)在这个 区间内是常数函数 . [点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明 (1)若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0, 在其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). (2)f(x) 为增函数的充要条件是对任意的 x ∈ (a , b) 都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0. 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这 个函数在这个范围内变化的 快 , 其图象比较陡峭. 即|f′(x)| 越大,则函数 f(x)的切线的斜率越大,函数 f(x)的变化率就 越大. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0,则函数 f(x)在定义域上 单调递增. ( × ) (2) 函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越 “陡 峭”. ( × ) (3)函数在某个区间上变化越快, 函数在这个区间上导数的绝对 值越大. (√ ) 2.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是 A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞) ( ) 答案:D 3.函数 f(x)=2x-sin x 在(-∞,+∞)上 A.是增函数 B.是减函数 C.在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减 D.在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增 ( ) 答案:A 4. 函数 y=x3+x 在(-∞,+∞)上的图象是 升”或“下降”)的. (填“上 答案:上升 判断或讨论函数的单调性 [典例] 调性. 3 已知函数 f(x)=ax -3x +1-a,讨论函数 f(x)的单 3 2 [解] 由题设知 a≠0. 2 f′(x)=3ax ? 2? -6x=3ax?x-a?, ? ? 2 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=a. 当 a>0 时,若 x∈(-∞,0),则 f′(x)>0. ∴f(x)在区间(-∞,0)上为增函数. 若 ? 2? x∈?0,a?,则 ? ? f′(x)<0, ? 2? ∴f(x)在区间?0,a?上为减函数. ? ? 若 ?2 ? x∈?a,+∞?,则 ? ? f′(x)>0, ?2 ? ∴f(x)在区间?a,+∞?上是增函数. ? ? 当 a<0 时,若 ? 2? x∈?-∞,a?,则 ? ? f′(x)<0. ? 2? ∴f(x)在?-∞,a?上是减函数. ? ? 若 ?2 ? x∈?a,0?,则 ? ? f′(x)>0. ?2 ? ∴f(x)在区间?a,0?上为增函数. ? ? 若 x∈(0,+∞),则 f′(x)<0. ∴f(x)在区间(0,+∞)上为减函数. 利用导数证明或判断函数单调性的思路 [活学活用] 判断函数 y=ax3-1(a∈R)在(-∞,+∞)上的单调性. 解:∵y′=(ax3-1)′=3ax2. ①当 a>0 时,y′≥0,函数在 R 上单调递增; ②当 a<0 时,y′≤0,函数在 R 上单调递减; ③当 a=0 时,y′=0,函数在 R 上不具备单调性. 求函数的单调区间 [典例] 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-3x+1; b (2)f(x)=x+x(b>0). [解] (1)函数 f(x)的定义域为 R, f′(x)=3x2-3,令 f′(x)>0,则 3x2-3>0. 即 3(x+1)(x-1)>0,解得 x>1 或 x<-1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞), 令 f′(x)<0,则 3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-1,1). (2)函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ? b? b ? ? f′(x)= x+x ′=1-x2, ? ? 1 令 f′(x)>0,则x2(x+ b)(x- b)>0, ∴x> b,或 x<- b. ∴函数的单调递增区间为(-∞,- b)和( b,+∞). 1 令 f′(x)<0,则x2(x+ b)(x- b)<0, ∴- b<x< b,且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(- b,0)和(0, b). (1)利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为: ①确定函数 f(x)的定义域; ②求导数 f′(x); ③ 在 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 解 不 等 式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; ④根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间. (2) 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一 个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗 号”或“和”字隔开. [活学活用] 1.函数 f(x)=2x2-ln x 的递增区间是 ? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? C.?2,+∞? ? ? ? ? 1? ?1 B.?0,2?和?2,+∞? ? ? ? ? ? 1? ? 1? D.?-∞,2?和?0,2? ? ? ? ? ( ) 解析:选 C ∵f(x)=2x2-ln x, 2 1 4x -1 ?2x-1??2x+1? ∴f′(x)=4x-x= x = (x>0)

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