高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修2_2

1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 主题1 函数的单调性与导数的关系 1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,图2表示高台跳水 运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t)= h′(t)=-9.8t+6.5的图象. (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的 增加而增加,即t∈(0,a)时,h(t)是单调_____. 递增 此时,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5>0. (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的 增加而减少,即t∈(a,b)时,h(t)是单调_____. 相应地,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5<0. 递减 2. 观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数 正负的关系, (1)观察图象,完成下列填空. 图①中的函数y=x的导函数y′=__,此函数的单调 递增区间为_____________; (-∞,+∞) 1 图②中的函数y=x2的导函数y′=___ 2x ,此函数的单 调递增区间为__________,单调递减区间为__________. (0,+∞) (-∞,0) 图③中的函数y=x3的导函数y′=___,此函数的单 3x2 调递增区间为_____________; (-∞,+∞) 图④中的函数y= 的导函数y′= 1 x ? 1 ,此函数的 2 单调递减区间为_____________________. x (-∞,0),(0,+∞) (2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考 函数的单调性与导函数的正、负有什么关系? 提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与 导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此 时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0时, 此时对应的函数为减函数. 3.观察下图, 请完成下表: 区间 y=f(x) 切线斜率 f′(x) (-∞,a) 增 ___ 正 ____ >0 (a,b) ___ 减 负 ____ <0 (b,+∞) 增 ___ 正 >0 结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调递___ 增 单调递___ 减 常函数 主题2 函数变化的快慢与导数的关系 , x 1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y= y=x2,y=x3的图象. 提示:这几个函数的图象如图所示. 2. 观察以上函数的图象,当 x > 0 时,函数增长的快慢 与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么? 提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的, 导函数值小. 结论:函数变化的快慢与导数间的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_______ 绝对值 _____,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数 较大 的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数 的图象就“平缓”. 导数符号 大于0为正 小于0为负 导数变化 导数越来越___ 大 导数越来越___ 小 导数越来越___ 大 导数越来越___ 小 原函数图象变化 越来越陡峭 越来越平缓 越来越平缓 越来越陡峭 【微思考】 1.回忆函数单调性的常规定义,分析用导数研究函 数的单调性与常规定义的联系? 提示:增函数时有 ?y >0 >0 0 ,则导数大于 求极限,若极限值大于 x1 ? x 2 ?x f (x1 ) ? f (x 2 ) 也即 , 对式子 ?y ?x 0,从而为增函数. 减函数时有 对式子 ?y f (x1 ) ? f (x 2 ) x1 ? x 2 <0 也即 ?y ?x <0 , 求极限,若极限值小于0,则导数小于0, ?x 从而为减函数 . 2. 在区间 (a,b) 上,如果 f ' (x) > 0 ,则 f(x)在该区间 上单调递增,但反过来也成立吗? 提示:不一定成立 . 例如, f(x) = x3 在 R 上为增函数, 但 f′(0) = 0 ,即 f′(x) > 0 是 f(x) 在该区间上单调递 增的充分不必要条件. 3. 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个, 那么如何表示这些区间?函数的单调区间与其定义域 满足什么关系? 提示:不能用“ ∪ ”连接,只能用“,”或“和”字 隔开,函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间 而言的,故单调区间是定义域的子集. 【预习自测】 1.函数f(x)=x+ln x在(0,6)上是( A.单调增函数 B.单调减函数 ) C.在 ? 1? D.在 ? 0 , ? ? e? ? 1? ? 0, ? ? e? 上是减函数,在 上是增函数,在 上是增函数 ?1 ? ? , 6 ? 上是减函数 ?e ? ?1 ? ? ,6 ? ?e ? 【解析】选A.因为x∈(0,6),所以 故函数在(0,6)上单调递增. f ?? x ? ? 1 ? 1 x ?0 , 2.f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)<0,则f(x)在(a,b) 内是( A.增函数 ) B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 【解析】选B.易知导函数f′(x)<0,f(x)单调递减. 3.函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为( A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增 ) 【解析】选C.y′=-6x,故当x∈(-1,0)时,y′>0; 当 x∈(0 , 1) 时, y′ < 0 ,所以原函数在区间 (-1 , 1) 上先增后减. 4.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是 函数f(x)的导函数),下列四个图象中为y=f(x)的大致 图象的是( ) 【解析】选C.由题图知:当x<-1时,xf′(x)<0,所 以f′(x)>0,函数y=f(x)单调

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