「精品」高中数学第一章计数原理课时训练08杨辉三角新人教B版选修2_3

课时训练 08 杨辉三角

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(限时:10 分钟)

1.在(a+b)n 的展开式中,第 2 项与第 6 项的二项式系数相等,则 n=( )

A.6 B.7

C.8 D.9

答案:A

2.已知(a+b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( )

A.11 B.10

C.9 D.8

答案:D

3.若???x+1x???n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项为(

)

A.10 B.20

C.30 D.120

答案:B

4.设???5x- 1x???n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若MN=32,则展开式中 x2

的系数为__________.

答案:1 250

5.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求 a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求 a1+a3+a5. 解析:(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a5=1. (2)令 x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.

因为偶数项的系数为负,

所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5| =a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.
(3)由 a0+a1+a2+…+a5=1, -a0+a1-a2+…+a5=-35, 得 2(a1+a3+a5)=1-35, 所以 a1+a3+a5=1-2 35=-121.

(限时:30 分钟) 一、选择题 1.(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是( ) A.第 n 项 B.第 n+1 项 C.第 n+2 项 D.第 n-1 项 答案:B 2.若(x+3y)n 展开式的系数和等于(7a+b)10 展开式中的二项式系数之和,则 n 的值为( ) A.5 B.8 C.10 D.15 答案:A
1

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3.设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1 展开式的二项式系数

的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( )

A.5 B.6

C.7 D.8

答案:B

4.(2- x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为( )

A.-1 B.0

C.1 D.2

答案:B 5.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为( ) A.80 B.40

C.20 D.10 解析:由于 x+1=x-1+2,因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,故展开式中 x-1 的系数为 C4524=80.
答案:A

二、填空题

6.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 等于__________. 解析:设 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,因为 f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4, 所以 f′(1)=a1+2a2+3a3+4a4+5a5,又因为 f(x)=(2x-3)5,所以 f′(x)=10(2x-3)4,所以 f′(1) =10,即 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.
答案:10 7.(1-2x)7 展开式中系数最大的项为________.

解析:展开式共有 8 项,系数最大的项必为正项,即在第 1,3,5,7 这四项中取得.又因(1-2x)7

括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只需比较

T5 和 T7 两项系数大小即可.

TT57的 的系 系数数=CC6747

- -

64=C17C×37 4>1,

所以系数最大的项是第 5 项, 即 T5=C47(-2x)4=560x4. 答案:560x4 8.计算 C0n+3C1n+5C2n+…+(2n+1)Cmn=________(n∈N*). 解析:设 Sn=C0n+3C1n+5C2n+…+(2n+1)Cnn,则 Sn=(2n+1)C0n+(2n-1)C1n+…+3Cnn-1+Cnn, 所以 2Sn=2(n+1)(C0n+C1n+…+Cnn)=2(n+1)·2n, 所以 Sn=(n+1)·2n. 答案:(n+1)·2n

三、解答题

9.已知???14+2x???n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展开式中二项式系数最大的项
的系数.

解析:由 C0n+C1n+C2n=37,得 1+n+12n(n-1)=37,得 n=8.

???14+2x???8 的展开式共有 9 项. 其中 T5=C48???14???4(2x)4=385x4,该项的二项式系数最大,系数为385.

10.设(2- 3x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值. (1)a0. (2)a1+a2+a3+a4+…+a100. (3)a1+a3+a5+…+a99. (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.

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(5)|a0|+|a1|+…+|a100|. 解析:(1)令 x=0,则展开式为 a0=2100. (2)令 x=1,可得

a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100,(*)

所以 a1+a2+…+a100=(2- 3)100-2100.

(3)令 x=-1,可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+

a1+a3+…+a99=

- 3 - 100 2

+ 3 100 .

3)100.与(*)式联立相减得

(4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]·[(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)] =(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)
=[(2- 3)(2+ 3)]100 =1100=1.

(5)因为 Tr+1=(-1)rCr1002100-r( 3)rxr, 所以 a2k-1<0(k∈N*), 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100| =a0-a1+a2-a3+…+a100
=(2+ 3)100.
11.已知???x+2 1 x???n 的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求 n 的值.

(2)展开式中二项式系数最大的项.

(3)展开式中系数最大的项.

解析:(1)由题设,???x+2

1

x???n

的展开式的通项公式为:Tk+1=Cknxn-k·???2

1

x???k=???12???kCknx

n-3 k 2



故 C0n+14C2n=2×12C1n,

即 n2-9n+8=0. 解得 n=8 或 n=1(舍去). 所以 n=8.

(2)展开式中二项式系数最大的为第 5 项,则

T5=???12???4C48x

8-

3?4 2

=385x2.

(3)设第 r+1 项的系数最大,

?? 21rCr8≥2r1+1Cr8+1,

???21rCr8≥2r1-1Cr8-1,

??8-1 r≥

1 r+



即???21r≥9-1 r.

解得 r=2 或 r=3.
7
所以系数最大的项为 T3=7x5,T4=7x 2 .

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