2019-2020学年高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教A版必修3.doc

2019-2020 学年高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征学案 新人教 A 版必修 3
学习目标 1.正确理解样本数据标准差的意义和 作用,学会计算数据的标准差。 2.能 根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、 标准差) ,并做出合理的解释。 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 学习过程 一、课前准备 1. 预习众数、中位数、平均数的概念。 2.标准差、方差的概念。 (1).数据的离散程度可用极差、 、

来描述.样本方差描述了一组数据围绕平均

数波动的大小.一般地,设样本的数据为 x1 , x2 , x3 ,

xn ,样本的平均数为 x ,则定义

s2 ?

, s 2 表示方差。

(2).为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求出样本方差的算术 平方根 s= , s 表示样本标准差。不要漏写单位。 3.如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢? ①众数: 。 ②中位数: 。 ③平均数: 。 二、新课导学 ※ 探索新知 新知 1:众数、中位数、平均数 (1)众数:一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数. (2)中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数称为这组数据 的中位数. ① 当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大的顺序排列中间的那个数. ②当数据个数为偶数时,中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的两个数的平均 数. (3)平均数:如果有 n 个数 x1 , x2 , x3 ,

xn ,那么

x1 ? x2 ? ? ? xn 叫这 n 个数的平均数. n
新知 2:标准差、方差 1.标准差 考察样本数据的分散程度的大小, 最常用的统计量是标准差。 标准差是样本数据到平均数的 一种平均距离,一般用 s 表示。 样本数据 x1, x2,

, xn 的标准差的算法:

① ②

算出样本数据的平均数 x 。 算出每个样本数据与样本 xi ? x(i ? 1, 2,

n)

③ 算出②中 xi

? x(i ? 1, 2,

n) 的平方。

④ 算出③中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 ⑤ 算出④中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。 其计算公式为:

s?

1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] n

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 思考:标准差的取值范围是什么?标准差为 0 的样本数据有什么特点? 1.从标准差的定义和计算公式都可以得出: s ? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都 等于样本平均数。 2.方差 2 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测量样本数 据分散程度的工具: 在刻画样本数据的分散程度上,方差和标 准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差。
s2 ? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n ? ( xn ? x) 2 ]

※ 典型例题 例 1 甲乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图. (1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.



例 2 若 k1 , k 2 , k 3 ,? ? ?, k8 的平均数为 8,方差为 3,则 2(k1 ? 3),2(k 2 ? 3),? ? ?,2(k8 ? 3) 的平均 数为 ,方差为 .

※ 动手试试 练 1.某工厂人员及工资构成如下: 人员 经理 周工资 2200 人数 1 管 理人 高级技 工 员 工 人 250 6 220 5 学 合计 徒

2 00 100 10 1 23

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂的 工资水平吗?为什么?

练 2.(2010·南通模拟)从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位: cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米苗长得高? (2)哪种玉米苗长得齐?

练 3.若一组数据 x1 , x2 , 平均数为 三、总结提升

xn 的平均数为 4,方差为 2,则 6x1 ? 2,6x2 ? 2,


,6 xn ? 2



,标准差为

1.用样本的数字特征估计总体的数字 特征分两类: ①用样本平均数估计总体平均数。 ②用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。 2.平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。 3.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。 学习评价 ※ 当堂检测 1.下列说法正确的是(



A. 在两组数据中,平均数较大的一组方差较大 B. 平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均数的波动大小 C. 方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D. 在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高.

2.一个样本数据按从小到大的顺序排列为 13,14,19 X,23,27,28,31,其中位数为 22, 则 x=( ) A .21 B .22 C .20 D.23 3.在 某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( A.92 ,2 B.92,2.8 C.93 ,2 D.93 , 2.8 ) ) 89 90 95 93 94

4.样本 101,98,102,100,99 的标准差为(

A. 2 B.0 C.1 D.2 5.一组数据的每一数据都减去 80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是 1.2,方差为 4.4,则原来数据的平均数和方差分别是 、 . 6.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛,成绩如下: 甲 8.5 3.5 乙 8.8 3.5 丙 8.8 2.1 丁 8 8.7

平均环数 方 差 则加奥运会的最佳人选是 .

课后作业 1.某人 5 次上班途中所的花时间(单位:min)分别为:x,y,10,11,9.已知这组数据的 平均数是 10,方差为 2,则 x ? y 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若数据 x1 , x2 , 数据的方差为

x20 这 20 个数据的平均数为 x ;方差为 0.20,则 x1 , x2 ,


x20 , x 这 21 个

3.甲乙两台机床同时生产一种零件,10 天中,两台机床每天出的次品数分别是: 甲 乙 0 2 1 3 0 1 2 1 2 0 0 2 3 1 1 1 2 0 4 1

分别计算两组数据的平均数与标准差,从计算结果看,哪台机床的性能 较好?


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