2018版高中数学北师大版必修四学案:第三章+2.3+两角和与差的正切函数

2.3 学习目标 两角和与差的正切函数 1.能利用两角和与差的正弦、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两 角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能 灵活应用. 知识点一 两角和与差的正切 思考 1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式? 思考 2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式? 梳理 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 tan α+tan β 1-tan αtan β 使用条件 α,β,α+β 均不等于 π kπ+ (k∈Z) 2 α,β,α-β 均不等于 π kπ+ (k∈Z) 2 两角和的正切 T(α+β) tan(α+β)= 两角差的正切 T(α-β) tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan αtanβ 知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α+β)的变形: tan α+tan β=__________________________. tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=____________. tan αtan β=________________________. (2)T(α-β)的变形: tan α-tan β=________________________. tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=____________. tan αtan β=________________________. 类型一 正切公式的正用 例1 1 (1)已知 tan α=-2,tan(α+β)= ,则 tan β 的值为________. 7 1 1 (2)已知 α,β 均为锐角,tan α= ,tan β= ,则 α+β=______. 2 3 反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式 T(α+β)求角的步骤: ①计算待求角的正切值. ②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角. π 3 π θ+ ?= ,则 tan?θ- ?=________. 跟踪训练 1 已知 θ 是第四象限角,且 sin? 4 ? ? 5 ? 4? 类型二 正切公式的逆用 例2 1+tan 15° (1) =________; 1-tan 15° 1- 3tan 75° (2) =________. 3+tan 75° 反思与感悟 注意正切公式的结构特征, 遇到两角正切的和与差, 构造成与公式一致的形式, 1 当式子出现 ,1, 3这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的提示. 2 跟踪训练 2 求下列各式的值: cos 75° -sin 75° (1) ; cos 75° +sin 75° 1-tan 27° tan 33° (2) . tan 27° +tan 33° 类型三 正切公式的变形使用 例3 (1)化简:tan 23° +tan 37° + 3tan 23° tan 37° ; (2)若锐角 α,β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,求 α+β 的值. 反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式: ①tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β)或②1?tan α· tan β= tan α± tan β .当 α± β 为特殊角时,常考 tan?α± β? 虑使用变形形式①,遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能 起到快速、简捷的效果. π 跟踪训练 3 在△ABC 中, A+B≠ , 且 tan A+tan B+ 3= 3tan Atan B, 则角 C 的值为( 2 π A. 3 π C. 6 2π B. 3 π D. 4 ) 4 1.若 tan α=3,tan β= ,则 tan(α-β)等于( 3 1 1 A. B.- C.3 D.-3 3 3 ) π ? 4 ?π ? 2.已知 cos α=- ,且 α∈? ?2,π?,则 tan?4 -α?等于( 5 1 A.- 7 1 B.-7 C. D.7 7 ) 3.已知 A+B=45° ,则(1+tan A)(1+tan B)的值为( A.1 B.2 C.-2 D.不确定 ) 1 5 4.已知 A,B 都是锐角,且 tan A= ,sin B= ,则 A+B=________. 3 5 sin α+cos α 5.已知 =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α 1.公式 T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)公式 T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差,分母为 1 与 tan αtan β 的差或和. (2)符号变化规律可简记为“分子同,分母反”. 2.应用公式 T(α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围 π 由正切函数的定义可知,α、β、α+β(或 α-β)的终边不能落在 y 轴上,即不为 kπ+ (k∈Z). 2 (2)公式的逆用 π π 3 π 一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如 tan =1,tan = ,tan = 3等. 4 6 3 3 1+tan α 1-tan α π π 特别要注意 tan( +α)= ,tan( -α)= . 4 4 1-tan α 1+tan α (3)公式的变形应用 只要用到 tan α± tan β,tan αtan β 时,有灵活应用公式 T(α±β)的意识,就不难想到解题思路. 特别提醒:tan α+tan β,tan αtan β,容易与根与系数的关系联系,应注意此类题型. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 = sin?α+β? tan(α+β)= cos?α+β? sin αcos β+cos αsin β , co

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